1.3.2函数的奇偶性

xy0思考：初中几何中轴对称，中心对称是如何定义的？轴对称：两个图形关于某条直线对称（即一个图形沿直线折叠，能够与另一图形重合）中心对称：两个图形关于某一点对称（即把一个图形绕某点旋转，能够与另一图形重合）180。观察下图，思考并讨论以下问题：(1)这两个函数图象有什么共同特征吗？(2)相应的两个函数值对应表是如何体现这些特征的？f(-3)=9=f(3)f(-2)=4=f(2)f(-1)=1=f(1)f(-3)=3=f(3)f(-2)=2=f(2)f(-1)=1=f(1)f(x)=x2f(x)=|x|实际上，对于R内任意的一个x,都有f(-x)=(-x)2=x2=f(x),这时我们称函数y=x2为偶函数.1．偶函数一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数．例如，函数都是偶函数，它们的图象分别如下图(1)、(2)所示.12)(,1)(22xxfxxf定义：一般地对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么函数f(x)就叫偶函数。问题1：研究函数优先考虑定义域，偶函数的定义域有什么要求？（定义域关于原点对称）问题2：为什么强调任意和都有？（说明具有一般性，避免特殊性）问题3：偶函数的图像有什么特点？（关于y轴对称）f(x)为偶函数f(x)的图像关于y轴对称问题4：如何判断一个函数是偶函数？1形----函数图像关于y轴对称（图像容易画出的函数）2数----利用定义（1）首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称（2）确定f(x)于f(-x)的关系（3）若f(-x)=f(x)，则f(x)是偶函数问题5：请举出一些偶函数，为什么它是偶函数？试一试观察函数f(x)=x和f(x)=1/x的图象(下图)，你能发现两个函数图象有什么共同特征吗？f(-3)=-3=-f(3)f(-2)=-2=-f(2)f(-1)=-1=-f(1)实际上，对于R内任意的一个x,都有f(-x)=-x=-f(x),这时我们称函数y=x为奇函数.f(-3)=-1/3=-f(3)f(-2)=-1/2=-f(2)f(-1)=-1=-f(1)2．奇函数一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=－f(x)，那么f(x)就叫做奇函数．如果一个函数f(x)是奇函数或偶函数，那么我们就说函数f(x)具有奇偶性.问题1：什么是奇函数？定义：一般地对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(-x)=-f(x)，那么函数f(x)就叫奇函数。问题2：奇函数的定义域有什么要求？奇函数的定义域关于原点对称问题3：为什么强调任意和一般？（说明具有一般性，避免特殊性）问题4：奇函数的图像有什么特点？函数的图像关于原点对称f(x)为奇函数f(x)的图像关于原点对称3、奇、偶函数定义的逆命题也成立，即若f(x)为奇函数，则f(-x)=-f(x)也成立.若f(x)为偶函数，则f(-x)=f(x)也成立.2、由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x，则－x也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）．注意：1、函数的奇偶性是相对于函数的整个定义域而言的是函数的整体性质；5、奇函数的图象关于原点对称.反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么就称这个函数为奇函数.4、偶函数的图象关于y轴对称.反过来，如果一个函数的图象关于y轴对称，那么就称这个函数为偶函数.()fx（1）若则是偶函数；(1)(1),ff()fx（2）若对于定义域内的一些，使则是偶函数；x()(),fxfx()fx（3）若对于定义域内的无数个，使则是偶函数；()fxx()(),fxfx（4）若对于定义域内的任意，使则是偶函数；x()(),fxfx()fx（5）若则不是偶函数。(1)(1),ff()fx对于定义在上的函数，R【练习1】判断：例1、判断下列函数的奇偶性：42(1)()(2)()411(3)()(4)()fxxfxxfxxfxxx(1)解：定义域为R∵f(-x)=(-x)4=f(x)即f(-x)=f(x)∴f(x)偶函数(2)解：定义域为{x|x≧4}定义域不关于原点对称。∴f(x)是非奇非偶函数(3)解：定义域为{x|x≠0}∵f(-x)=-x+1/(-x)=-f(x)即f(-x)=-f(x)∴f(x)奇函数(4)解：定义域为{x|x≠0}∵f(-x)=1/(-x)2=f(x)即f(-x)=f(x)∴f(x)偶函数(5)f(x)=5(6)f(x)=0yox5oyx(7)f(x)=x+1(8)f(x)=x2x∈[-1,3]yoxox-13y3.用定义判断函数奇偶性的步骤：(1)、先求定义域，看是否关于原点对称；(2)、再判断f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)是否恒成立.(3)、下结论4.奇偶函数图象的性质1、奇函数的图象关于原点对称.反过来，也成立.其图象在两个半对称区间上的单调性是一致的.2、偶函数的图象关于y轴对称.反过来，也成立.其图象在两个半对称区间上的单调性是相反的.说明：奇偶函数图象的性质可用于：a、简化函数图象的画法.B、判断函数的奇偶性例2、已知函数y=f(x)是偶函数，它在y轴右边的图象如下图，画出在y轴左边的图象.xy0解：画法略相等xy0相等的解析式。并画出图像上在，求函数时，且上的奇函数，是定义在、已知函数例Rf(x)1xf(x)0xRf(x)3。。)0(1x--0)(x00)(x1xxy利用对称性求函数的解析式f(x)0xx1x-1f(x)0xf(x)时，则当时，当，练习：偶函数xx11本课小结1、两个定义：对于f(x)定义域内的任意一个x,如果都有f(－x)=-f(x)f(x)为奇函数如果都有f(－x)=f(x)f(x)为偶函数2、两个性质：一个函数为奇函数它的图象关于原点对称一个函数为偶函数它的图象关于y轴对称