1.2.2 正、余弦定理在三角形中的应用

边城高级中学张秀洲1、掌握三角形的面积公式．2、会用正、余弦定理计算三角形中的一些量．自学教材P16—P18解决下列问题一、掌握三角形的面积公式．二、《创新设计》新知导学.三、《教材》P18练习1、2、3.在△ABC中，边BC、CA、AB上的高分别记为ha、hb、hc，那么它们如何用已知边和角表示？ha＝bsinC＝csinBhb=csinA＝asinChc=asinB＝bsinA根据以前学过的三角形面积公式可以推导出下面的三角形面积公式：1,2Sah111sinsinsin222SabCbcAacB例7.在ABC中，根据下列条件，求三角形的面积S（精确到0.1cm2）(1)已知a＝14.8cm,c＝23.5cm,B＝148.5o;(2)已知B＝62.7o,C＝65.8o,b＝3.16cm;(3)已知三边的长分别为a＝41.4cm,b＝27.3cm,c＝38.7cm.ABCabc11sin2SacB解：123.514.8sin148.52290.9cm2sinsinbcBC由正弦定理得sinsinbCcB3.16sin65.8sin62.73.2418051.5ABC211sin3.163.24sin51.54.022SbcAcm2223cos2acbBac由余弦定理得22241.438.727.3241.438.70.769722sin1cos10.7697BB0.6384211sin41.438.70.6384511.422SacBcm例8.如图,在某市进行城市环境建设中，要把一个三角形的区域改造成市内公园，经过测量得到这个三角形区域的三条边长分别为68m，88m，127m，这个区域的面积是多少？（精确到0.1m2）CABCAB222cos2acbBac解：由余弦定理得222688812726888-0.31432sin1cos0.9493BB211sin68880.94932840.422SacBcm例9.在△ABC中，求证：222222222sinsin1;sin(2)2(coscoscos).abABcCabcbcAcaBabC证明（1）由正弦定理得：左边=2222224sin4sin4sinRARBRC222sinsinsinABC故，等式成立例9.在△ABC中，求证：222222222sinsin1;sin(2)2(coscoscos).abABcCabcbcAcaBabC（2）由余弦定理得：右边=2222222222()222bcaacbabcbccaabbcacab222222222()()()bcaacbabc222abc故，等式成立2020年1月24日星期五三、《教材》P18练习1、2、3.2020年1月24日星期五你学会了吗?※对自己说，你有什么收获？※对同学说，你有什么提示？※对老师说，你有什么疑惑？【总复习】课本P24《复习参考题》必做题：《教材》P20A组11（1）（3）、14题选做题：《教材》P20A组13题B组1题1次2020年1月24日已知三角形的三边为a、b、c，设，求证：1()2pabc(1)()()()()()()(2)(3)BCCAAB22()()();()()()2()()()abcabcSppapbpcpapbpcrrphhhhppapbpchppapbpcabhppapbpcc三角形的面积为三角形的内切圆半径，则把边、、上的高分别记为、、，则OABC222co)s(21abcCab根据余弦定理的推论：222211sin=1()222abcSabCabab22222sin1cos1()2abcCCab由同角三角函数之间的关系：222222222221(2)()11(2)()2422ababcababababcabab222222222211(2)()(2)()44ababcababc2222221(2)(2)4ababcababc1()()()()4abcabccabcab代入1()2pabc记，则可得到111()()()222bcapacabpbabcpc，，()()()Sppapbpc1()22SrSabcrpr()三角形的面积与三角形内切圆半径之间有关系式()()()Spapbpcrpp=312aSah()根据三角形面积22()()()aShppapbpcaa22()()(),()()()bchppapbpchppapbpcbc同理：()4ABCabcSRR证明：为三角形外接圆半径