第5章2010 控制系统的稳定性分析

第五章控制系统的稳定性分析5.1系统稳定性的基本概念5.2系统稳定的充要条件5.3代数稳定性判据（Routh判据判据）5.4乃奎斯特稳定性判据（Nyquist判据）5.5应用乃奎斯特判据分析延时系统的稳定性5.6由伯德图判断系统的稳定性5.7控制系统的相对稳定性*5.8李雅普诺夫稳定性方法5.1系统稳定性的基本概念acbd稳定的摆不稳定的摆控制系统在外部扰动作用下偏离其原来的平衡状态，当扰动作用消失后，系统仍能自动恢复到原来的初始平衡状态。(a)外加扰动注意：以上定义只适用于线性定常系统。稳定性的定义()xt0t控制系统()xt()yt注意：稳定性是控制系统自身的固有特性，取决于系统本身的结构和参数，与输入无关。(b)稳定(c)不稳定大范围稳定:不论扰动引起的初始偏差有多大，当扰动取消后，系统都能够恢复到原有的平衡状态。（a）大范围稳定AB（b）小范围稳定小范围稳定:当扰动引起的初始偏差在一定范围内，当扰动取消后，系统能够恢复到原有的平衡状态；而扰动引起的初始偏差超出其范围内，当扰动取消后，系统不能够恢复到原有的平衡状态。abcde（C）不稳定AB不稳定:只要扰动引起一点初始偏差，当扰动取消后，系统也不能够恢复到原有的平衡状态。临界稳定：若系统在扰动消失后，输出与原始的平衡状态间存在恒定的偏差或输出维持等幅振荡，则系统处于临界稳定状态。注意：经典控制论中，临界稳定也视为不稳定。原因：(1)在进行系统分析时，所依赖的模型通常是简化或线性化；(2)实际系统参数的时变特性；(3)系统必须具备一定的稳定裕量。5.2系统稳定的充要条件系统的稳定性关于系统运动的稳定性理论，是俄国学者李亚普诺夫（А.М.Лялунов）于1892年确立的。线性定常系统，在脉冲扰动的作用下，系统的运动随着时间的增长，可以逐渐趋于零，则称该系统是稳定的（系统（渐近）稳定）。否则系统是不稳定的。定义：若系统在初始偏差作用下,其过渡过程随时间的推移，逐渐衰减并趋于零，具有恢复平衡状态的性能，则称该系统为渐近稳定,简称稳定。反之为不稳定。1110111011...()()()()...()()()[()][()]mmmmnnnnKrnijjjjijbsbsbsbCsMssRsasasasaDsBsaspsjsj设系统的闭环传递函数为:理想脉冲函数作用下R(s)=1。对于稳定系统，t→时,输出量c(t)=0。11()(cossin)jikrtptijjjjijctceeAtBt由上式可知，如果系统稳定，应有：11()()()()[()][()]krjjiijijjjjscBsCsRsDsspsjsj0c(t)=0t，即：00ijp，系统稳定的充分必要条件：系统特征方程的根全部具有负实部，即：系统闭环传递函数的极点全部在S平面左半部。111011()()[()][()]0nnnnKknijjjjijDsasasasaaspsjsj系统特征方程3P2P1P4P5PnPS平面jO稳定区不稳定区临界稳定mIeRS平面注：稳定性是线性定常系统的一个属性，只与系统本身的结构参数有关，与输入输出信号无关，与初始条件无关；只与极点有关，与零点无关。5.3代数稳定性判据10110nnnnasasasa不用求解代数方程的根，基于代数方程各次项的系数，来判别系统稳定性的方法称为代数稳定性判据。5.3.1劳斯稳定判据系统的特征方程要使特征方程的根全部具有负实部的必要条件：（1）特征方程的各项系数（2）特征方程的各项系数的符号全部相同即：特征方程的各项系数全部大于0。0(012)iain，，02411352123312311201nnnnsaaasaaasbbbscccsvvsw充分条件：“劳斯阵列”第一列所有项全部为正。劳斯阵列021311aaaaba041521aaaaba131211aabbcb注：第一列符号改变次数=系统特征方程含有正实部根的个数。【例】：特征方程为，试判断稳定性。22100asasa【解】：劳斯阵为：210sss201100aaaba所以二阶系统稳定的充要条件是：均大于零210,,aaa【例】：特征方程为，试判断稳定性。0012233asasasa【解】：劳斯阵为：0123ssss000203120213aaaaaaaaaa三阶系统稳定的充要条件：均大于零0123,,,aaaa00321aaaa且【例】已知特征方程为试用劳斯判据判别系统的稳定性。解作劳斯表如下43223450ssss1234112b2250152b第一列中有负值出现，不全部大于零，所以系统不稳定。432101352415605sssss1145261c两种特殊情况特殊情况一02s3s3ss)s(D234【例】【解】各项系数均为正数，满足稳定的必要条件2s023s2)(0s031s231s01234特殊情况：第一列出现0。解决方法：用任意小正数代之。第一列符号改变2次，有2个正实根。4321014163120()161248016sssss【解】各项系数均为正数，满足稳定的必要条件432()3412160Dsssss【例】第一列符号改变2次，有2个正实根。特殊情况二5432()55660Dssssss【例】【解】各项系数均为正数，满足稳定的必要条件543210411561560005/262/506ssssss（）（）特殊情况：有一行元素全为0。解决方法：全0行的上一行元素构成辅助方程，求导后方程系数构成一个辅助方程。42()560Asss31()4100dAsssds2js2,13js4,31s5第一列全为正，临界稳定,解A(s)可得虚根32100112202ssss（4）【解】各项系数均为正数，满足稳定的必要条件32()2120Dssss【例】D(s)=s2(s+2)+(s+2)=(s+2)(s2+1)第一列全为正，无正实根，有虚根,临界稳定。s1=j,s2=-j,s3=-2()4dAssdsA(s)=2s2+2劳斯表出现零行2()10Ass特征方程为：②由零行的上一行构成辅助方程①有大小相等符号相反的特征根时会出现零行。对其求导得零行系数方程:继续计算劳斯表第一列全大于零，则系统稳定╳由综合除法可得另两个根为S3，4=-2，-3③解辅助方程得对称根:S1，2=±j劳斯表出现零行系统一定不稳定43257560ssss43210117600110121sssss（）20s劳斯阵列出现全零行:系统在s平面有对称分布的根大小相等符号相反的根共轭虚根对称于实轴的两对共轭复根【例】设系统如下图所示，试计算使系统稳定的K值范围。【例】系统的闭环传递函数为32()()()(1)(2)32oiXsKKsXssssKsssK根据三阶系统稳定的充要条件：均大于零0123,,,aaaa00321aaaa且0066KKK【解】系统的特征方程32320sssK【例】已知系统的开环传递函数(2)()(1)(21)KsGssss试确定闭环系统稳定时参数K的取值范围。【解】系统的闭环传递函数特征方程32()23(1)20DsssKsK3(1)43KKK特征方程32()23(1)20DsssKsKK+10即K-1,同时要满足K0,K3，所以稳定范围：0K35.4乃奎斯特稳定判据主要内容幅角定理（理论基础）奈魁斯特稳定判据奈氏稳定判据在Ⅰ、Ⅱ型系统中的应用对数频率特性的稳定判据特点：频域稳定判据是用开环频率特性判别闭环系统的稳定性。不仅能判断系统的绝对稳定性，而且可根据相对稳定的概念，讨论闭环系统的瞬态性能，指出改善系统性能的途径。乃奎斯特稳定判据是一种频域稳定判据。5.4.1幅角定理（映射定理）F(s)是复变量s的单值有理函数。如果函数F(s)在s平面上指定的区域内是解析的（即为单值、连续的函数），则对于此区域内的任何一点ds都可以在F(s)平面上找到一个相应的点df，df称为ds在F(s)平面上的映射。设复变函数为n1jjm1ii)ps()zs()s(F(5-16)s为复变量，以s复平面上的s=σ+jω表示。F(s)为复变函数，以F(s)复平面上的F(s)=U+jV表示。因此，如果s平面上任意一条不通过F(s)任何奇异点（即F(s)的零点和极点）的封闭曲线Γs，则在F(s)平面也有一条与之相对应的封闭曲线Γf（称为Γs的映射）。)(2sF)(3sF)(1sFUjVF(S)平面oj1s2s3sS平面o例，则s平面上点(-1，j1)，映射到F(s)平面上的点为(0，-j1)见右图。sssF2)(sdfd)1j,1(ds)1j,0(dfUjVjS平面F(S)平面sEsFsGsAsBsCsDsH12平面s顺时针s逆时针f平面)(sF示意图j1p2p3pS平面o1z2z×○○××s1Γs)(sFUjVF(s)平面oΓfm1in1jji)ps(/)zs()s(FN2)PZ(2)2(P)2(Z设包围于Γs内F(s)函数的零点zi(i=1~Z),极点pj(j=1~P),其余在Γs外,[柯西幅角定理]：设F(s)函数为s的多项式的分式，除在[s]平面的有限个奇点外，为单值连续正则函数。如果解析点s1在[s]平面上沿封闭曲线Γs(Γs不经过F(s)的奇点）按顺时针方向连续变化一周，那么函数F(s)在平面上的映射也是一条封闭曲线Γf，并且Γf按顺时针方向包围原点的圈数N=Z-PZ是包围于Γs内F(s)函数的零点个数，P是包围于Γs内F(s)函数的极点个数。N0，Γf顺时针包围原点N0，Γf逆时针包围原点N=0，Γf不包围原点5.4.2乃奎斯特稳定判据1）反馈系统开环与闭环的特征多项式的关系C(s)R(s)G(s)H(s))s(D)s(M)s(GGG)s(D)s(M)s(HHH)s(D)s(M)s(D)s(M)s(D)s(M)s(H)s(GkkHHGG开环传递函数kGHkHGD(s)=D(s)D(s)D(s)D(s)=D(s))s(D)s(M1)s(H)s(G1)s(Fkk)s(D)s(D)s(D)s(M)s(Dkbkkk函数F(s)的分子、分母分别是系统闭环与开环的特征多项式（极点多项式），由于开环传递函数分母阶次大于等于分子阶次，故分子分母阶次相同，均为n阶。闭环传递函数作辅助方程辅助方程与开环频率特性的关系。所构造的的辅助方程为F(s)=1+G(s)H(s)，G(s)H(s)为开环频率特性。因此，有以下两点是明显的：1)F(s)=1+G(s)H(s)对原点的包围，相当于G(s)H(s)对(-1,j0)点的包围；因此映射曲线F(s)对原点的包围次数N与G(s)H(s)对(-1,j0)点的包围的次数一样。2)F(s)的极点就是G(s)H(s)的极点，因此F(s)在右半平面的极点数就是G(s)H(s)在右半平面的极点数。G(j)H(j)F(j)G(jω)H(jω)与F(jω)的关系ⅠⅡⅢ令ω从-∞增长到0，相应得出的乃氏图是与ω从0增长到+∞得出的乃氏图以实轴对称的，例如图所示的乃氏图。ImRe0005.4.3奈魁斯特稳定判据表述闭环系统稳定的充分必要条件是系统的频率特性G(jω)H(jω)，当ω从-∞变化到+∞时逆时针包围(-1,j0)点P周，其中P为开环传递函数G(s)H(s)在S平面右半部的极点数。即：R=P–Z,闭环稳定的充要条件Z=0,∴R=P;R—G(s)H(s)逆时