2-1热传导方程及其定解问题的导出

1§1热传导方程及其定解问题的导出1.热传导方程的导出2.定解问题的提法3.扩散方程2场论知识：zyx,,哈密顿(Hamilton)算子,),,(是标量函数若zyxuu梯度zuyuxuuu,,grad则Hamilton算子与一般微分算子具有相同的运算法则，例如：uvvuuv)(ABBABA)(3zuyuxuuuA,,grad若222222zyx拉普拉斯(Laplace)算子222222)(zuyuxuuuA则高斯公式：AdVdSnASdA)(uA如果由高斯公式：udVdVudSnuSdu41.热传导方程的导出物理定律：物体内部由于各部分温度不同，产生热量的传递。热传导过程中遵循能量守恒定律，即，物体内部热量的增加等于通过物体的边界流入的热量与由物体内部的热源所产生的热量的总和：物理模型：在三维空间中，考虑一均匀、各向同性的物体G（其边界为分片光滑曲面），假定其内部有热源，并且与周围介质有热交换。研究物体内部温度的分布和变化。5热量t=t1热源的生成量t1≤t≤t2＋＝热量t=t2通过边界的流入量t1≤t≤t2－Q2Q3Q1①在时间间隔],[21tt内，物体的温度由),,,(1tzyxu变到),,,(2tzyxu所需要的热量为1Q：数学推导：在G内任取一小块区域，其边界为闭曲面。dxdydztzyxutzyxuzyxzyxcQ)],,,(),,,()[,,(),,(1216其中),,(zyxc，),,(zyx分别为点),,(zyx处的比热与质量体密度。由于考虑的是均匀、各向同性的物体，因此)(),,(常数czyxc，)(),,(常数zyx。21),,,(ttdtdxdydzttzyxucdxdydztzyxutzyxucQ)],,,(),,,([121dxdydzdtttzyxuctt21),,,(7设n为的单位外法向量，则),,(zuyuxukukq②由Fourier热传导定律：热流向量q与温度的梯度成正比，即负号表明热量是由高温向低温流动，k是导热系数，这里为常数。21ttudxdydzkdt21tt2dsnqdtQ21ttdsnukdt21ttdxdydzukdtnq21ttdsnukdt8由],[21tt及的任意性知：2121),,,(ttttdxdydztzyxFukdtdxdydztucdt21tt3dxdydztzyxFdtQ),,,(③设物体内部热源密度为),,,(tzyxF，则),,,(tzyxFuktuc由能量守恒律，得：9若物体内部无热源，则0f，得齐次热传导方程uatu2记cka2，cFf，得三维热传导方程fuatu2fuuuauzzyyxx2t)((1))(zzyyxx2tuuuau(2)或写为：或写为：102.定解问题的提法Ⅰ、第一类边界条件（Dirichlet边界条件）：已知上的温度分布),,,(tzyxgu这里),0[，若g为常数指边界上保持恒温。初始条件：已知初始温度分布Gzyxzyxut),,(),,,(:0边界条件：11Ⅱ、第二类边界条件（Neumann边界条件）：已知单位时间内通过边界的热流量),,,(tzyxgnu这里n为的外法向量，0g表示流入，0g表示流出，0g表示绝热。12Ⅲ、第三类边界条件：已知通过边界与周围介质有热交换)(00uganuk或：),,,(tzyxgunu这里0g表示周围介质温度，0a表示热交换系数，00ka。13定解问题：若G≡R3,则由方程（1）或（2）及初始条件组成的定解问题称为初值问题或Cauchy问题。设G是R3中的有界区域，由方程（1）或（2）以及初始条件和某一类边界条件组成的定解问题称为混合（初边值）问题。143.扩散方程物理模型：考虑分子在介质中的扩散。若),,,(tzyxu表示分子的浓度，c取为1，导热系数),,(zyxk换为扩散系数),,(zyxD，介质内部由于各部分分子浓度不同，产生分子的扩散。扩散过程中遵循质量守恒定律及扩散定律，当扩散系数为常数D时，可导出),,,(tzyxu满足方程（2），其中Da2。若分子在扩散的同时还与介质发生反应，则可导出),,,(tzyxu满足方程（1），其中f表示反应项。所以方程（1）或（2）又称为反应扩散方程15当物体是均匀薄片时，假如其侧面是绝热的，则),,(tyxuu，得二维热传导方程：)(2yyxxtuuau注：考虑热传导问题中，当物体是均匀细杆时，假如其侧面是绝热的，且温度分布在同一截面相同，则),(txuu，得一维热传导方程：xxtuau216习题(P48)1．一均匀细杆直径为l，假设它在同一截面上的温度是相同的，杆的表面和周围介质发生热交换，并服从规律dSdtuukdQ)(11又假设杆的密度为，比热为c，热传导系数为k，式导出此时温度u满足的方程。17解：任取细杆中的一段),(21xx，从时刻1t到时刻2t热量的增量为通过),(21xx的两端流入的热量为21212122122),(),(),(ttxxttxxdtdxxtxuksdttxutxuksQ212121),(),(),(121ttxxxxdtdxttxuscdxtxutxuscQ其中24ls是杆的截面积。18通过),(21xx的侧面与周围介质发生的热交换量为记cka2，lcksclkb1124，可得luukxtxuksttxusc)(),(),(1122)(),(),(12222uubxtxuattxu2121)(113ttxxdtldxuukQ由能量守恒定律321QQQ，以及2121,,,ttxx的任意性得