12-相似理论与模型设计12

1第12章相似理论与模型设计光弹性试验属于模拟试验，要通过模型试验结果去预测原型应力状态。前面已了解如何进行试验和如何加工模型，但怎样去设计模型，设计模型应遵循哪些规则，按什么条件对模型加载，试验结果又如何向原型换算，这些问题还悬而未决。解决这些问题需要应用相似理论。相似理论可应用于一切模型试验工作的设计。第2部光弹性测量方法2本章内容：学习要求：（完成本章教学，计划使用2学时）建立量纲概念，理解物理方程的齐次性；掌握相似三大定理和相似判据的确定方法；熟悉光弹性模型的相似设计。§12-1量纲及物理方程的齐次性§12-2相似定理§12-3相似判据的确定§12-4光弹性模型设计与相似数误差第2部光弹性测量方法第12章相似理论与模型设计3第2部光弹性测量方法第12章相似理论与模型设计§12-1量纲及物理方程的齐次性1．量纲度量任何一个物理量都要用一定的测量单位。如果我们只考虑物理量的属性，就可以用物理量的类型来表示物理量，如长度、时间、力、应力、应变、速度、加速度等。物理量的类型称为物理量的量纲，量纲实际上是物理量的广义单位。通常用[L]表示长度的量纲、[T]表示时间的量纲、[F]表示力的量纲、[M]表示质量的量纲等。在国际单位之中，[L]、[T]、[M]为三个基本量纲。任何导出物理量S的量纲都可以由物理方程导出，可表达为]TM[L[S]如，力的量纲][LMT[F]2弹性模量的量纲]MT[L[E]214第2部光弹性测量方法第12章相似理论与模型设计2．物理方程的齐次性zzMdxydEI22E——弹性模量、I——截面惯性矩、y——挠度、Mz——弯矩。方程左边的量纲为L]F[]LLLFL[or]T[ML]LLLT[ML][24222242122dxydEIz右边的量纲为[FL]or]TML[]LMLT[][222zM两边量纲相同。量纲上为齐次的物理方程称为完全方程。若一个物理方程包含若干项，每项的量纲都用基本量纲表达，则各项的量纲应相同。这就是物理方程量纲的齐次性原则。量纲不同的物理量相加减是无意义的。如梁的挠曲线微分方程为5第2部光弹性测量方法第12章相似理论与模型设计§12-2相似定理1.相似的基本概念物理现象相似，指表述此现象的所有量在时间与空间上各自对应成比例关系。如梁弯曲时，原型弯矩M，横向坐标y，截面惯性矩I；模型弯矩M’，横向坐标y’，截面惯性矩I’。设截面上的应力分别为σ、σ’，则有'''',IyMIMy（a）若二者相似，两方程中对应物理量成比例，比例系数',',','IICyyCMMCCIyM(b)Cσ、CM、Cy、CI称为相似数。将（b）代入（a）,可得1CCCCIyM（c）说明相似物理现象中各物理量或相似数并不能是任意的，而要满足一定的约束条件。''''''''IyMCCCCICyCMCCIyMIyM6第2部光弹性测量方法第12章相似理论与模型设计（c）式左端的相似系数群称为相似指标。此式说明，物理现象相似，相似指标等于1。此条件称为相似条件。若把(c)式改写成''''IyMIMy（d）是一个无量纲量群，称为相似判据。（d）式表明，彼此相似的物理现象，对应的相似判据在对应点具有相同的值。这里仅要求模型与原型的横截面惯性矩成比例，并不苛求截面形状的几何相似，所以可用不同截面形状的梁模型进行试验。几何上不完全相似的模型称为“变态模型”。2.相似定理上例实际上例证了下述定理：CCCCIyMIMy如矩形横截面梁，原形与模型截面的宽高比可不同，相似条件可改写为33ybhbICCCCC12CCCCybM7第2部光弹性测量方法第12章相似理论与模型设计相似第一定理：彼此相似的物理现象，由完全相同的方程组所描述，对应物理量各自成比例，表示各相似数之间关系的相似指标等于1，或其相似判据在对应点有相同的值。这是相似的必要条件。在已知方程的情况下，通过方程就可寻求现象的相似指标或相似判据。而在理论研究的未及领域，物理现象的控制方程往往是未知的，我们可以利用量纲分析法求得物理现象的相似指标或相似判据。π定理（巴金汉定理）则描述了一个物理现象有几个独立的相似指标（或相似判据）以及寻求途径。相似第二定理（π定理）：如果一个物理现象有n个物理量起作用，这n个物理量中有k个基本物理量，则该物理现象可用由这些物理量组成的（n-k）个无量纲量群的关系式来描述。这些无量纲群就是相似判据。证明：设物理现象的控制方程为0),,,,,,(121nkkxxxxxf（a）假定x1，x2，…，xk为k个基本物理量，故可选取k个基本单位，基本量纲为[x1]，[x2]，…，[xk]，其余（n-k）个物理量的量纲可用基本量纲表示为][][21iiiwkqpixxxx),,2,1(nkki(b)8第2部光弹性测量方法第12章相似理论与模型设计根据基本单位可任意选取的性质，变更基本单位，使x1的单位增大x1倍，x2的单位增大x2倍，…,xk的单位增大xk倍。则单位变更后各物理量的数值为***1122121111,1,,1;kkkxxxxxxxxx*12,(1,2,,)iiiiipqwkxxikknxxx根据（b）式，可知各量群iiiwkqpixxxx21都是无量纲的，记为πi，则有iiiwkqpiixxxx21采用变更后的单位系统，物理方程可写成0),,,,,1,,1,1(1nikf9第2部光弹性测量方法第12章相似理论与模型设计可改写为0),,,,(1nikF如此，就把物理现象的控制方程转化为用（n-k）个无量纲量群表述的控制方程。若有另一现象0)',,',',,','(121nkkxxxxxf与其相似，其中x1’=C1x1，x2’=C2x2，…，xk’=Ckxk，…，xn’=Cnxn（C1，C2，…为相似数），则也可无量纲化为0)',,',,'(1nikF其中iiiwkqpiixxxx'''''21把相似关系代入，得iwkqpiiiiiCCCC21'10第2部光弹性测量方法第12章相似理论与模型设计无量纲数应是不变的，即ii'，故得（n-k）个相似指标121iiiwkqpiCCCC),,2,1(nKKi由相似指标得(n-k)个相似判据iiiwkqpiixxxx21),,2,1(nKKi故（n-k）个无量纲量群就是（n-k）个相似判据。相似第一定理阐明了相似现象的性质；相似第二定理证明了可以把物理方程转化为判据方程。对于相似现象，它们的判据相同。这两个定理都是在假定现象相似的基础上研究现象的性质，都是现象相似的必要条件。怎样根据现象的已知情况判断现象是否相似，或者说，模型满足那些条件才与原型相似，这是第三相似定理要解决的问题。11第2部光弹性测量方法第12章相似理论与模型设计相似第三定理：服从同一物理方程的两现象，当单值条件相似，单值量对应成比例、单值量相似判据在数值上相等，则两现象必相似。单值条件指一个现象区别于其他现象的那些条件，包括：几何特性（物体的形状与大小）、材料特性（物体材料的性能，如E、μ）、边界条件（约束、载荷和其他限定条件）和初始条件（起始位置和初速度）等。第三定理给出使现象相似的充分条件，这是模型试验的依据。12第2部光弹性测量方法第12章相似理论与模型设计§12-3相似判据的确定1.方程分析法工程中有大量物理现象的基本方程是已知的，由这些方程很容易获得相似判据。下面通过例子说明。[例12-1]建立梁弯曲模型试验的相似判据。梁的挠曲线微分方程为zzMdxydEI22设原型与模型中对应各物理量成比例，即xmpympMzmzpImzzpEmpCxxCyyCMMCIICEEzz,,,,于是相似指标为12zzMxyIECCCCC相似判据为常数）(2kMxyEIzzzmmmzmmMxyIEzmMmxmyzmImEMdxydIECCCCCMCdxCydCICECzzzz222222则13这里不要求几何相似。如原型与模型几何相似，且梁上只作用线分布力q，则24,,LqMLILyxCCCCCCCCzz相应的相似指标及相似判据分别为第2部光弹性测量方法第12章相似理论与模型设计1qLECCC和.kqEL[例12-2]薄板小挠度的相似问题。小挠度薄板的基本方程是qEhDqxwyxwxw324422444)1(122其中x、y为薄板中面坐标，w为垂直于板面的挠度，h为板厚。引入相似数hEqLwChhCEECCqqCyyxxCww',',',','','代入到基本方程，得14第2部光弹性测量方法第12章相似理论与模型设计''')'1(12'''''2''322344224444qhECCCCxwyxwxwCChEqLw令模型与原型方程相同，得相似指标1,143CCCCCCqLhEw（a）要求原型与模型材料的泊松比必须相等。如求板中应力的相似数，可利用板中垂直于x轴的横截面上正应力σx的最大值公式在1C条件下，类似的推导可得相似指标12whELCCCCC由（a）式解得Cw，代入（b）式，即得到应力相似数22hLqCCCC(b)(c)222226ywxwhDx)1(1223EhD其中15第2部光弹性测量方法第12章相似理论与模型设计以上未要求板在几何上相似。如果要求原型与模型几何相似，则有CL=Ch；要求变形后仍然保持几何相似，有CL=Cw，这时Cσ=Cq=CE。这是严格相似的必然结果。2.量纲分析法若一个物理现象的控制方程未知，但通过分析可以知道影响该现象的所有物理量，量纲分析法是寻求相似判据的唯一途径。[例12-3]用量纲分析法寻求非线性弹性力学问题的相似判据。非线性弹性力学问题指应力、应变服从虎克定律，但属大变形情况，应力与载荷不成正比。设弹性体内的应力σ与集中力P、力矩m、尺寸l和弹性常数E、μ有关，用一个未知函数来描述，即),,,,(ElmPf选定P、l为基本量，[F]、[L]为基本量纲，则其他量的量纲为：[σ]=[FL¯²]、[m]=[FL]、[E]=[FL¯²]、[μ]=[F°L°]。本问题有6个物理量，选2个为基本物理量，根据π定理，应有4个无量纲量群（π项）。令16第2部光弹性测量方法第12章相似理论与模型设计hgfedcbalPlPElPmlP4321,,,这里a、b、c、d、e、f、g、h为待定指数。由各物理量的量纲，得][][2baLFFL2,1ba][][dcLFFL1,1dc][][2feLFFL2,1fe][][00hgLFLF0,0hg于是，该问题的相似判据为423221,,,PElPlmPl在应用量纲分析法导出相似判据时，全面地研究与现象有关的全部物理量是至关重要的。如果遗漏一个重要物理量，就将导出错误的判据；相反，如果过多地考虑多余的物理量，将导致多余的相似判据，使相似条件更加苛刻，给模型设计带来困难。另外，选择不同的基本物理量，会得到不同的相似判据，但他们的实质是一样的，独立的相似判据都是n-k个。17第2部光弹性测量方法第12章相似理论与模型设计12-4光弹性模型设计与相似数误差1．光弹性模型设计光弹性模型的设计主要依据由问题的性质寻求的相似条件或相似判据。平面问题的模型设计，由于应力沿模型厚度方向不变，几何相似条件可以放宽，厚度的尺寸比可以与平面内的尺寸比不同。在三维光弹性模型设计时，首先要根据问题的性质确定相似关系。一般要确定相似数CL、CP、Cq、CE等。模型尺寸要在允许的条件下尽可能大些，尺寸太小则加