随机过程第三章课件

3泊松过程泊松过程的定义泊松过程的基本性质泊松过程的应用举例非齐次泊松过程复合泊松过程引言[泊松分布]随机变量X的所有可能取值为0,1,2,…，而取各个值的概率为则随机变量X服从参数为的泊松分布，简记为()。)0(,2,1,0,!}{为常数kkekXPk)(,)(XDXE3.1泊松过程的定义[定义]称{N(t),t0}为计数过程，若N(t)表示到时间t为止已发生的“事件A”的总数，且N(t)满足下列条件：(1)N(t)0;(2)N(t)取整数;(3)若st，N(s)N(t);(4)当st时，N(t)N(s)等于区间(s,t]中“事件A”发生的次数。泊松过程[定义]称计数过程{X(t),t0}为具有参数0的泊松过程，若它满足下列条件：(1)X(0)=0;(2)X(t)是独立增量过程;(3)在任一长度为t的区间中，事件A发生的次数服从参数0的泊松分布，即对任意s,t0，有,1,0,!)(})()({nentnsXstXPtn泊松过程的另一个定义[定义]称计数过程{X(t),t0}为具有参数0的泊松过程，若它满足下列条件：(1)X(0)=0;(2)X(t)是独立、平稳增量过程;(3)X(t)满足下列两式：)(}2)()({)(}1)()({hotXhtXPhohtXhtXP泊松过程的几个实例考虑某一电话交换台在某段时间接到的呼叫。令X(t)表示电话交换台在(0,t]时间内收到的呼叫次数，则{X(t),t0}是一个泊松过程。考虑来到某火车站售票窗口购买车票的旅客。若记X(t)为时间(0,t]内到达售票窗口的旅客数，则{X(t),t0}是一个泊松过程。考虑机器在(t,t+h]内发生故障这一事件。若机器发生故障，立即修理后继续工作，则在(t,t+h]内机器发生故障而停止工作的事件数构成一个随机点过程，它可以用泊松过程来描述。3.2泊松过程的基本性质(1)泊松过程的数字特征tXtXDtDtXX)]0()([)()(2tXtXEtXEtmX)]0()([)]([)(均值函数方差函数)(,)1()]()([),(tststXsXEtsRX相关函数)(,),min()()(),(),(tsststmsmtsRtsBXXXX协方差函数)()]()([)]()([stsXtXDsXtXE(2)时间间隔与等待时间的分布设{X(t),t0}是泊松过程，令X(t)表示时刻事件A发生（顾客出现）的次数，T1T2T3Tn0W1W2W3Wn-1WntWn——第n次事件A发生的时刻，或称等待时间Tn——从第n-1次事件A发生到第n次事件A发生的时间间隔，或称第n个时间间隔时间间隔的分布Tn的分布函数：[定理]设{X(t),t0}是具有参数的泊松过程，{Tn,n1}是对应的时间间隔序列，则随机变量Tn(n=1,2,…)是独立同分布的均值为1/的指数分布。0,00,1}{)(ttetTPtFtnTnTn的概率密度：0,00,)(ttetftTn等待时间的分布分布又称为爱尔兰分布，它是n个相互独立且服从指数分布的随机变量之和的概率密度。[定理]设{X(t),t0}是具有参数的泊松过程，{Wn,n1}是对应的等待时间序列，则随机变量Wn服从参数为n与的分布，其概率密度为0,00,)!1()()(1ttntetfntWn)1(1nTWniin例1已知仪器在[0,t]内发生振动的次数X(t)是具有参数的泊松过程。若仪器振动k(k1)次就会出现故障，求仪器在时刻t0正常工作的概率。[解]仪器发生第k次振动的时刻Wk就是故障时刻，0,00,)!1()()(1ttktetfktWk故仪器在时刻t0正常工作的概率为:0d)!1()()(10tktktktetWPP(3)到达时间的条件分布假设在[0,t]内事件A已经发生一次，确定这一事件到达时间W1的分布tsteesetXPsXtXPsXPtXPsXtXsXPtXPtXsWPtXsWPtsts)(11}1)({}0)()({}1)({}1)({}0)()(,1)({}1)({}1)(,{}1)({分布函数：tststsssFtXW,10,/0,0)(1)(1分布密度：其它,00,/1)(1)(1tstsftXW——均匀分布到达时间的条件分布其它,00,!),,(11ttttnttfnnn[定理]设{X(t),t0}是泊松过程，已知在[0,t]内事件A发生n次，则这n次到达时间W1W2…Wn与相应于n个[0,t]上均匀分布的独立随机变量的顺序统计量有相同的分布，3.3泊松过程的应用举例})()({ntXksXP[例2]设在[0,t]内事件A已经发生n次，且0st，对于0kn，求在[0,s]内事件A发生k次的概率。knkkntstsC1参数为n和s/t的二项分布设在[0,t]内事件A已经发生n次，求第k(kn)次事件A发生的时间Wk的条件概率密度函数。)()(nsftXWk例3knkktstsknkn1)!()!1(!1Beta分布