随机过程第四章

第四章平稳过程主要内容严平稳过程与宽平稳过程的定义平稳过程相关函数的性质平稳过程的各态历经性平稳过程的谱分析平稳过程是一类统计特性不随时间而发生改变的随机过程.平稳过程在实际中有广泛的应用,在通讯,雷达等随机信号处理中有重要的作用.研究对象更为特殊的二阶矩过程—宽平稳过程一平稳过程的定义定义(严平稳过程)设X={X(t),t∈T}是随机过程,如果对任意的n≥1,12121212,,,T,,,T(X(),X(),,X())(X(),X(),,X()),nnnnttttttntttttt和实数，当时，维随变量和有相同的联合分布函数即12121212(,,,;,,,)(,,,;,,,)nnnnFtttxxxFtttxxxniRxtnn,,2,1,,T,则称X={X(t),t∈T}是严平稳过程.说明1.严平稳过程的有限维分布不随时间的推移而改变易知其一维分布函数与时间t无关.其二维分布函数仅与时间间隔有关.2.若二阶矩存在的过程是严平稳过程,则其均值函数是常数,相关函数是时间间隔的函数.无关，为常数与txxdFxtxdFtmX)();()(),;,(),(2121xxtsdFxxtsRX1212(0,;,)xxdFtsxx仅与时间间隔有关系3.通常用定义判断一个过程的严平稳性是困难的.在实际中,若产生随机过程的主要物理条件在时间进程中不变,则过程可看作是严平稳的.例如工作在稳定状态下的接收机,其输出噪声可认为是严平稳的.此时若要测量噪声的统计特性,则在任何时候测量都可得到相同结果.4.严平稳过程也叫狭义平稳过程或强平稳过程.由于随机过程有限维分布有时候无法确定,以下给出在理论与应用上更重要的另一种平稳过程概念.定义(宽平稳过程)设X={X(t),t∈T}是二阶矩过程,如果()(,(1),(2),,)(,,).(,)()XXXXXXmtmRstTstRtsRttTRttTtR（为常数）或，则称X={X(t),t∈T}为宽平稳过程,简称平稳过程.宽平稳过程也叫广义平稳过程或弱平稳过程.以后说到平稳过程指宽平稳过程1.严平稳过程不一定是宽平稳过程.2.宽平稳过程也不一定是严平稳过程.注意一般情况下但对二阶矩过程严平稳过程一定是宽平稳过程.但对正态过程宽平稳性与严平稳性是等价的.定理若{X(t),t∈T}是正态过程,则{X(t),t∈T}是严平稳过程的充要条件是{X(t),t∈T}是宽平稳过程.预备知识12,,...,)μCμCnXXXN设n维随机变量(服从正态分布（，）其中为均值向量，为协方差矩阵.n则该维向量的特征函数为1()212(,,...,)TTjuuCunuuue11112(,)nnnkklkllkkkCjuuOuVXXe证明(充分性)设{X(t),t∈T}是宽平稳过程.12121,;,,,,,,TnnnRtttttt,，{X(t),t∈T}的有限维特征函数1212111()((,,,;,,,)1exp[],)2nnnnnkklXkXkkkllmtCtttttuuujuuu()()XkXkXtmtmm由于()(,)(,),1,2,,XlkXklXklRRttkttlRttn1212111()((,,,;,,,)1)e],xp[2nnnnnkklXkkXkkllmtttutCttuujuuu1212(,,,;,,,)nntttuuu即特征函数不随时间的推移而改变.所以{X(t),t∈T}是严平稳过程必要性显然.例4.1设S(t)是周期为T的可积函数.令X(t)=S(t+Θ)t∈(-∞,+∞),Θ～U[0,T].称{X(t),-∞t+∞}为随机相位周期过程,试讨论它的平稳性.()E[X(t)]Xmt01()TTstd1()TtTtsd为常数01,)()()TXRttststdT（1()()tTtssdT只与有关系.它是平稳过程例4.2设{Xn,n=1,2,…}是随机变量序列.2kkk11,E[X]0,E[XX]0,()E[XX]EX0,.Y()X,(,),{1,2,}.{Y(),(,)}.kkklkkkjtkknklbbtetntt令为两两不相等的实数序列试讨论的平稳性Y1m(t)=E[Y()]E[X]0kjtkkte(,)E[Y(t)Y(t+t)]XRtt()11=E[XX]kljtjtklklee()11E[XX]kljtjtklklee1bkjkke只与有关系.Y(),(,)tt为平稳过程.例4.3设{X(t),t≥0}是只取±1两个值的随机过程,其符号的改变次数是一参数为λ的Poisson过程{N(t),t≥0},且对任意的t≥0,P(X(t)=－1)=P(X(t)=1)=1/2.试讨论{X(t),t≥0}的平稳性.()0.Xmt常数(,)E[()()]XRttXtXt(()()1)(()()1)PXtXtPXtXt(()()1)(()()1)PXtXtPXtXt00((()2))((()21))kkPNkPNk00(()2)(()21)kkPNkPNk22100()()(2)!(21)!kkkkeekk20()!kkeek只与有关.{(),0}.Xtt是平稳过程例4.4设{Y(t),t≥0}是正态过程.且(),(,),0,aYYmttCttea其中，，,0,0,{(),0}()()().tbXtXtYttbYt令其中试证明是一严平稳过程()E[x(t)]XmtE[Y(t+b)-Y(t)]=b常数(,)cov((),())XCttXtXtcov(Y(t+b)-Y(t),Y(t++b)-Y(t+))2aababeee22(,)2aababXRtteeeb{(),0}.Xtt是宽平稳过程1211(),(),...,())((),(),...,(),())nnnXtXtXtYtYtbYtYtb又((10...010...001...0............00...100...112((),(),...,())nXtXtXtn是维正态随机变量.{(),0}.Xtt是严平稳过程设是参数为的Wiener过程，令其中为常数，试证明：是严平稳过程.{(),0}Wtt2()()(),0XtWtaWtt0a{(),0}Xtt()[()][()()]0,0XmtEXtEWtaWtt由于222(,)[()()][(()())(()())](,)(,)(,)(,)(min(,)min(,)min(,)min(,)[2min(0,)min(,)min(0,)](X),0,aaa例4.5因此，{(),0}Xtt是宽平稳过程.1212,,,0,((),(),,())nntttXtXtXt又因为，对11100100010((),(),,(),())010001001nnWtWtaWtWta12((),(),,())nXtXtXt{(),0}Xtt{(),0}Xtt所以为n维正态随机变量，因此是正态过程.所以是严平稳过程.二平稳过程相关函数的性质一般用数字特征描述随机过程比用分布函数相对简便.对于平稳过程,描述其统计特性的数字特征是相关函数.1.(自)相关函数的性质定理设{X(t),t∈T}是平稳过程,则其相关函数有性质:221212(1)(0)[()]0(2)()()(3)()(0)(4)()()1,,,,,,,XXXXXXXXnnREXtmRRRRRRtsntttT具有非负定性.即对及复数有0)(11klXnknllkttR证明(1)(0)E[()()]XRXtXt222E()[()]0XXDXtXtmm(2)()E[()()]XRXtXtE[()()]()XRXtXt(3)()E[()()]XRXtXt112222E()()(E())(E())XtXtXttX1122(0((0))())(0)XXXRRR1111()E[()()]nnnnklXlkkkkllkllRXtXttt12121,,,,,,,nnntttT(4)对及复数有11[()()]EnnkkllklXtXt11E[()()]nnkkllklXtXt21E()0nkkkXt(3)(0)()()0;()(0)XXXXXCCCDtC协方差函数平稳过程的具有(2)()()XXRR平稳过程的相关函数为偶函数即实(1)若{X(t),t∈T}是周期平稳过程,即则其相关函数也是周期函数,且周期相同也为T0.00()(),,XtTXttTT是一常数（称为周期）特别定理设{X(t),t∈T}是平稳过程.则{X(t),t∈T}均方连续的充要条件是RX(τ)在τ=0处连续.此时,RX(τ)是连续函数.证明2,E()()[(()())(()())]tTXtXtEXtXtXtXt(,)(,)(,)(,)XXXXRttRttRttRtt(0)()()(0)()XXXXRRRR充分性()0()(0)0XXXRRR若在连续，即（）2E()()00XtXt由得（（））由均方连续的定义{X(t),t∈T}均方连续.必要性若{X(t),t∈T}均方连续.则有0()(0)E[()()]E[()()]XXRRXtXtXtXtE[()(()())]XtXtXtE[()(()())]XtXtXt112222(E())(()())XtEXtXt11222(R(0))(E()())XXtXt0(0)()0XR所以在处连续.{X(t),t∈T}均方连续下证RX(τ)是连续函数()0XR在连续，{Xt(),tT}均方连续，0则对有000()()E[()()]E[()()]XXRRXtXtXtXt0E[()(()())]XtXtXt0E[()(()())]XtXtXt1122220(E())(()())XtEXtXt112220(R(0))(E()())XXtXt00()()XR0由的任意性，是连续函数.(1){X(t),t∈T}均方可导的充分条件是RX(τ)在τ=0处一阶导数存在,二阶导数存在且连续.定理设{X(t),t∈T}是平稳过程,{X(t),t∈T}均方可导的必要条件是RX(τ)在τ=0处一阶导数,二阶导数存在.证明(1){(),}XttT（必要性）由均方可导(,)(,)XRs