圆的切线性质定理

•直线和圆相交复习回顾1dr;dr;直线和圆相切直线和圆相离dr;直线与圆的位置关系量化揭密●O●O相交●O相切相离rrr┐dd┐d┐=切线的性质：1、圆的切线与圆只有一个公共点。2、切线与圆心的距离等于半径(d=r)。切线还有什么性质呢？CDB●OA探索切线性质•如图,直线CD与⊙O相切于点A,半径OA与直线CD有怎样的位置关系?说说你的理由.•半径OA垂直于直线CD.议一议驶向胜利的彼岸老师期望:圆的对称性已经在你心中落地生根.小颖的理由是:∵右图是轴对称图形,OA所在直线是对称轴,∴沿它对折图形时,AC与AD重合,因此,∠BAC=∠BAD=90°.CD●OA探索切线性质•小亮的理由是:OA与CD要么垂直,要么不垂直.•假设OA与CD不垂直,过点O作一条直径垂直于CD,垂足为M,议一议6驶向胜利的彼岸则OMOA,即圆心到直线CD的距离小于⊙O的半径,因此,CD与⊙O相交.这与已知条件“直线与⊙O相切”相矛盾.CD●OA所以OA与CD垂直.M切线的性质定理•参考小颖和小亮的说理过程,请你写出这个命题•定理圆切直线垂直于过切点的半径.议一议7驶向胜利彼岸老师提示:切线的性质定理是证明两线垂直的重要根据;作过切点的半径是常用经验辅助线之一.(连半径，得垂直）如图∵CD是⊙O的切线,A是切点,OA是⊙O的半径,∴CD⊥OA.CDB●OA一、切线的性质：1、圆的切线与圆只有一个公共点。2、切线与圆心的距离等于半径(d=r)。3、圆的切线垂直于过切点的半径。二、辅助线的作法作过切点的半径(连半径，得垂直）切线的性质定理的应用例题欣赏8切线的性质定理的应用•1.直线BC与半径为r的⊙O相交,且点O到直线BC的距离为5,求r的取值范围..随堂练习92.一枚直径为d的硬币沿直线滚动一圈.圆心经过的距离是多少?.老师提示:硬币滚动一圈,圆心经过的路经是与直线平行的一条线段,其长度等于圆的周长.rBC●O●●●●●●●●●●●●●●●切线的判定：1、直线与圆公共点的个数：只有一个公共点。2、圆心到直线的距离与半径的大小关系，即d=r。还有其它方法吗？直线何时变为切线•如图,AB是⊙O的直径,直线CD经过点A,CD与AB的夹角为∠α,当CD绕点A旋转时,•你能写出一个命题来表述这个事实吗?议一议21.随着∠α的变化,点O到CD的距离如何变化?直线CD与⊙O的位置关系如何变化?2.当∠α等于多少度时,点O到CD的距离等于半径?此时,直线CD与⊙O有的位置关系?有为什么?B●OACD┓dαα切线的判定定理•定理经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.•老师提示:•切线的判定定理是证明一条直线是否是圆的切线的根据;作过切点的半径是常用经验辅助线之一.议一议3CDB●OA如图∵OA是⊙O的半径,直线CD经过A点,且CD⊥OA,∴CD是⊙O的切线.切线的判定：1、直线与圆公共点的个数：只有一个公共点。2、圆心到直线的距离与半径的大小关系，即d=r。3、经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线。切线判定定理的应用•1.已知⊙O上有一点A,你能过点A点作出⊙O的切线吗?做一做4老师提示:根据“经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线”只要连结OA,过点A作OA的垂线即可.●O●A2.已知⊙O外有一点P,你还能过点P点作出⊙O的切线吗?●O●P练习与巩固：2、如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,⊙A与BC相切于点D,与AB相交于点E,则∠ADE等于____度.1、如图，A、B是⊙O上的两点，AC是⊙O的切线，∠B=70°，则∠BAC等于（）A.70°B.35°C.20°D.10°ECDBAOABC（2）（1）3、如图,在△OAB中,OB：AB=3：2,0B=6，⊙O与AB相切于点A,则⊙O的直径为。OAB（3）4、如图,PA、PB是⊙O的切线,切点分别为A、B,且∠APB=50°,点C是优弧上的一点,则∠ACB=___.POCBA5、如图，⊙O的直径AB与弦AC的夹角为30°，过C点的切线PC与AB的延长线交于P，PC=5，则⊙O的半径为（）A.B.C.10D.5PABCO（5）（4）335635辅助线的作法：作过切点的半径变式一：在△ABC中，AB=2，AC=，以A为圆心，1为半径的圆与边BC相切，则BC的长为。ABC6、在△ABC中，AB=2，以A为圆心，1为半径的圆与边BC相切于点D，则BD的长为。ABCD变式二：如图，点A是圆O外一点，OA=4，AB与圆相切于点B，且AB=2，弦BC∥OA，则BC的长为。AOBC7、如图,AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过C点的切线互相垂直，垂足为D，求证：AC平分∠DAB。AOBCD（7）8、如图,AB为⊙O的直径，BC是⊙O的切线，切点为B，OC平行于弦AD，求证：CD是⊙O的切线。AOBCD（8）1、确定一个圆的位置与大小的条件是什么？圆心与半径2、角平分线的性质定理与判定定理性质：在一个角的内部，角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。判定：到这个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。1.经过三角形三个顶点可以作一个圆。2.经过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆。3.三角形外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形。三角形与圆的位置关系（回顾）BCOA性质:三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等如图是一块三角形木料，木工师傅要从中裁下一块圆形用料，怎样才能使裁下的圆的面积尽可能大呢？ABCABC三角形的外接圆在实际中很有用,但还有用它不能解决的问题.如CBADFEOr思考下列问题：1．如图，若⊙O与∠ABC的两边相切，那么圆心O的位置有什么特点？圆心0在∠ABC的平分线上。2．如图2，如果⊙O与△ABC的内角∠ABC的两边相切，且与内角∠ACB的两边也相切，那么此⊙O的圆心在什么位置？圆心0在∠BAC,∠ABC与∠ACB的三个角的角平分线的交点上。OMABCNO图2ABC探究：三角形内切圆的作法作法：ABC1、作∠B、∠C的平分线BM和CN，交点为I。I2．过点I作ID⊥BC，垂足为D。3．以I为圆心，ID为半径作⊙I.⊙I就是所求的圆。MND试一试:你能画出一个三角形的内切圆吗?定义：和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形。1.三角形的内心到三角形各边的距离相等；CBADFEOr2.三角形的内心在三角形的角平分线上；1.如图1，△ABC是⊙O的三角形。⊙O是△ABC的圆，点O叫△ABC的，它是三角形的交点。外接内接外心三边中垂线2.如图2，△DEF是⊙I的三角形，⊙I是△DEF的圆，点I是△DEF的心，它是三角形的交点。ABCO．图1IDEF．图2外切内切内三条角平分线3.三角形的内切圆能作____个,圆的外切三角形有_____个,三角形的内心在三角形的_______.1无数内部思考下列问题：1．如图，若⊙O与∠ABC的两边相切，那么圆心O的位置有什么特点？圆心0在∠ABC的平分线上。2．如图2，如果⊙O与△ABC的内角∠ABC的两边相切，且与内角∠ACB的两边也相切，那么此⊙O的圆心在什么位置？圆心0在∠BAC,∠ABC与∠ACB的三个角的角平分线的交点上。OMABCNO图2ABC探究：三角形内切圆的作法作法：ABC1、作∠B、∠C的平分线BE和CF，交点为I。I2．过点I作ID⊥BC，垂足为D。3．以I为圆心，ID为半径作⊙I.⊙I就是所求的圆。EFD试一试:你能画出一个三角形的内切圆吗?•这样的圆可以作出几个呢?为什么?.∵直线BE和CF只有一个交点I,并且点I到△ABC三边的距离相等(为什么?),因此和△ABC三边都相切的圆可以作出一个,并且只能作一个.IEFDABC定义：和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形。1.三角形的内心到三角形各边的距离相等；性质：CBADFEOr2.三角形的内心在三角形的角平分线上；分别作出锐角三角形,直角三角形,钝角三角形的内切圆,并说明与它们内心的位置情况?提示:先确定圆心和半径,尺规作图要保留作图痕迹.ABCABC●●●CAB┐1.如图1，△ABC是⊙O的三角形。⊙O是△ABC的圆，点O叫△ABC的，它是三角形的交点。外接内接外心三边中垂线2.如图2，△DEF是⊙I的三角形，⊙I是△DEF的圆，点I是△DEF的心，它是三角形的交点。ABCO．图1IDEF．图2外切内切内三条角平分线3.三角形的内切圆能作____个,圆的外切三角形有_____个,三角形的内心在三角形的_______.1无数内部例2如图，在△ABC中，点I是内心，（1）若∠ABC=50°，∠ACB=70°，求∠BIC的度数ABCI（2）若∠A=68度，则∠BIC=（3）若∠BIC=110度，则∠A=（4）∠BIC和∠A的关系判断题：1、三角形的内心到三角形各个顶点的距离相等（）2、三角形的外心到三角形各边的距离相等（）3、等边三角形的内心和外心重合；（）错错对•4、三角形的内心一定在三角形的内部（）•5、菱形一定有内切圆（）•6、矩形一定有内切圆（）对错对•探索：从一块三角形材料中,能否剪下一个圆,使其与各边都相切?ABCABC┓┓I●●●●●┓┓┓I●┓●上右图就是三角形的内切圆作法：D（1）作∠ABC、∠ACB的平分线BM和CN，交点为I.（2）过点I作ID⊥BC，垂足为D.（3）以I为圆心，ID为半径作⊙I，⊙I就是所求MN