二轮复习专题四 第2讲数列求和

光临指导！欢迎各位专家的第2讲数列的求和问题专题四数列、推理与证明课前热身1、1+2+3+……+n=．2、n2121212132．3、nn,,,,2121321221132的前n项和为．4、11431321211nn．21nnn211nnn211211nn考情考向分析高考对数列求和的考查主要以解答题的形式出现，通过等差（比）数列求和公式、分组转化、错位相减、裂项相消等方法求一般数列的和，体现转化与化归的思想.例1.(2015·福建)在等差数列{an}中，a2＝4，a4＋a7＝15.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝＋n，求b1＋b2＋b3＋…＋b10的值解设等差数列{an}的公差为d，由已知得a1＋d＝4，a1＋3d＋a1＋6d＝15，解得a1＝3，d＝1.所以an＝a1＋(n－1)d＝n＋2.22na热点一分组转化求和(2)设bn＝＋n，求b1＋b2＋b3＋…＋b10的值.解由(1)可得bn＝2n＋n，所以b1＋b2＋b3＋…＋b10＝(2＋1)＋(22＋2)＋(23＋3)＋…＋(210＋10)＝(2＋22＋23＋…＋210)＋(1＋2＋3＋…＋10)＝21－2101－2＋1＋10×102＝(211－2)＋55＝211＋53＝2101.22na思维升华分组求和法：分组求和法是解决通项公式可以写成cn＝an＋bn形式的数列求和问题的方法，其中{an}与{bn}是等差(比)数列或一些可以直接求和的数列．即时巩固1.已知数列na的通项公式nnnloga222，求数列na的前n项和Tn.21222121212321222223222121321321nnnnnnTnnnnn解：例2(2013课标全国Ⅰ，文17)已知等差数列{an}的前n项和Sn满足S3＝0，S5＝－5.(1)求{an}的通项公式；(2)求数列21211nnaa的前n项和．解设{an}的公差为d，则Sn＝1(1)2nnnad.由已知可得11330,5105,adad解得a1＝1，d＝－1.故{an}的通项公式为an＝2－n.热点二裂项相消法求和解：(2)由(1)知21211nnaa＝1111321222321nnnn，从而数列21211nnaa的前n项和为1111111211132321nn＝12nn.(2)求数列21211nnaa的前n项和．思维升华(1)裂项相消法的基本思想就是把通项an分拆成an＝bn＋k－bn(k≥1，k∈N*)的形式，从而达到在求和时某些项相消的目的，在解题时要善于根据这个基本思想变换数列{an}的通项公式，使之符合裂项相消的条件.特别注意：裂项相消后前、后保留的项数一样多．(2)常见的裂项公式①1nn＋k＝1k(1n－1n＋k)；②12n－12n＋1＝12(12n－1－12n＋1)；③1n＋n＋k＝1k(n＋k－n)；④2222111112nnnnn即时巩固2已知数列{an}，an＝1n＋1＋n，其前n项和Sn＝9，则n＝________.解析因为an＝1n＋1＋n＝n＋1－n，所以Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an－1＋an＝(2－1)＋(3－2)＋(4－3)＋…＋(n－n－1)＋(n＋1－n)＝n＋1－1.由n＋1－1＝9，解得n＝99.99例3（2014年全国I卷，文17）已知na是递增的等差数列，2a，4a是方程2560xx的根。（I）求na的通项公式；（II）求数列2nna的前n项和.解：（1）方程2560xx的两个根为2，3，由题意得因为242,3aa设数列{}na的公差为d，则422aad，故12d，从而132a所以{}na的通项公式为112nan热点三错位相减法求和（2）设nna2的前n项和为nS，由（1）知1222nnnan，则2313412...2222nnnnnS①21432221242321nnnnnS②①-②得3412131112...242222nnnnnS123112(1)4422nnn所以，1422nnnS思维升华(1)错位相减法适用于求数列{an·bn}的前n项和，其中{an}为等差数列，{bn}为等比数列；(2)所谓“错位”，就是要找“同类项”相减.要注意的是相减后得到部分，求等比数列的和，此时一定要查清其项数.(3)为保证结果正确，可对得到的和取n＝1,2进行验证.即时巩固3设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，Sn＋1＝2Sn＋n＋1(n∈N*)，(1)求数列{an}的通项公式；解∵Sn＋1＝2Sn＋n＋1，当n≥2时，Sn＝2Sn－1＋n，∴an＋1＝2an＋1，∴an＋1＋1＝2(an＋1)，即an＋1＋1an＋1＝2(n≥2)，①(2)若bn＝nan＋1－an，求数列{bn}的前n项和Tn.∴a2＝3，∴a2＋1a1＋1＝2，∴当n＝1时，①式也成立，∴an＋1＝2n，即an＝2n－1(n∈N*).又S2＝2S1＋2，a1＝S1＝1，解∵an＝2n－1，∴bn＝n2n＋1－1－2n－1＝n2n＋1－2n＝n2n，∴Tn＝12＋222＋323＋…＋n2n，12Tn＝122＋223＋…＋n－12n＋n2n＋1，∴Tn＝2(12＋122＋123＋…＋12n－n2n＋1)＝2－12n－1－n2n＝2－n＋22n.强化训练1.（2014年全国II卷5）等差数列na的公差为2，若842a,a,a成等比数列，则na的前n项和nS=()A．1nnB．1nnC．21nnD．21nn2．102-92+82-72+…+22-12=.A554．（2014年全国卷改编）数列na满足211111a,aann，则其前10项的和为．1153．对Rx,都有2xfxf，则54345fffff．5．已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn＝a(Sn－an＋1)(a为常数，且a0)，且4a3是a1与2a2的等差中项．(1)求{an}的通项公式；(2)设bn＝2n＋1an，求数列{bn}的前n项和Tn.常用的数列求和方法：1.分组转化求和法：根据数列通项特点分组求和，如等差+等比的形式；2．裂项相消法：将数列的通项分成两个代数式子的差，即an＝f(n＋1)－f(n)的形式，然后通过累加抵消中间若干项的求和方法．规律方法3．错位相减法：(1)适用题型：等差数列{an}乘以等比数列{bn}对应项({an·bn})型数列求和．(2)步骤：①求和时先乘以数列{bn}的公比．②把两个和的形式错位相减．③整理结果形式．