9.5空间向量及其运算⑷-两个向量的数量积

2020/1/24新疆奎屯市第一高级中学特级教师王新敞12020年1月24日星期五王新敞新疆奎屯市第一高级中学特级教师王新敞2空间向量的基本定理如果三个向量不共面，那么对空间任一向量，存在一个唯一的有序实数对x、y、z，使cba,,ppxaybzcABDCOabc思路：作cBCaBDbAB//,//,//czbyaxOEODOCBAOBppE2020/1/24新疆奎屯市第一高级中学特级教师王新敞3推论：设点O、A、B、C是不共面的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的有序实数对x、y、z使OCzOByOAxOPOABCPPP注：空间任意三个不共面向量都可以构成空间的一个基底如：cba,,2020/1/24新疆奎屯市第一高级中学特级教师王新敞4教学过程一、几个概念1）两个向量的夹角的定义0,,,ababba范围：在这个规定下，两个向量的夹角就被唯一确定了，并且＝,,2ababab如果则称与互相垂直，并记作：OABaabb2020/1/24新疆奎屯市第一高级中学特级教师王新敞52）两个向量的数量积注意：①两个向量的数量积是数量，而不是向量.②零向量与任意向量的数量积等于零。,,,cos,,,cos,OAaOAaaabababababababab设则有向线段的长度叫做向量的长度或模记作：已知空间两个向量，则叫做向量的数量积，记作：即2020/1/24新疆奎屯市第一高级中学特级教师王新敞63）射影11111111,)cos,()ABalellAlABlBABleABABaeaAeeeAaBB已知向量＝和轴，是上与同方向的单位向量.作点在上的射影作点在上的射影，则叫做向量在轴上的或在方向上的正射影，简称射影.数＝(射影的量BAleA1B1根据以上定义正射影（简称射影）是一个向量！向量在方向上的射影的长度为ab||||abb2020/1/24新疆奎屯市第一高级中学特级教师王新敞74)空间向量的数量积性质21)cos,2)03)aeaaeababaaa注意：①性质2）是证明两向量垂直的依据；②性质3）是求向量的长度（模）的依据；对于非零向量，有：,ab2020/1/24新疆奎屯市第一高级中学特级教师王新敞85)空间向量的数量积满足的运算律注意：1)()()2)(3()(abababbaabcabac交换律））分配律）数量积不满足结合律)()abcabc（2020/1/24新疆奎屯市第一高级中学特级教师王新敞9二、课堂练习21.22,,22,________.ababab已知则所夹的角为222222.10,0,0()2)()()()3)()()4)()abababcabcpqpqpqpqpq判断真假：）若则2020/1/24新疆奎屯市第一高级中学特级教师王新敞10ADFCBE3.11(2)(3)(4)ABCDEFABADEFBAEFBDEFDCEFAC如图：已知空间四边形的每条边和对角线长都等于，点、分别是、的中点。计算：（）2020/1/24新疆奎屯市第一高级中学特级教师王新敞11三、典型例题例1：已知m,n是平面内的两条相交直线，直线l与的交点为B，且l⊥m，l⊥n，求证：l⊥分析：由定义可知，只需证l与平面内任意直线g垂直。nmggmnll要证l与g垂直，只需证l·g＝0而m，n不平行，由共面向量定理知，存在唯一的有序实数对(x,y)使得g=xm+yn要证l·g＝0,只需l·g=xl·m+yl·n=0而l·m＝0，l·n＝0故l·g＝02020/1/24新疆奎屯市第一高级中学特级教师王新敞12三、典型例题例1：已知m,n是平面内的两条相交直线，直线l与的交点为B，且l⊥m，l⊥n，求证：l⊥nmggmnll证明：在内作不与m、n重合的任一条直线g,在l、m、n、g上取非零向量l、m、n、g，因m与n相交，得向量m、n不平行，由共面向量定理可知，存在唯一的有序实数对（x，y），使g=xm+yn,l·g=xl·m+yl·n∵l·m=0,l·n=0∴l·g=0∴l⊥g∴l⊥g这就证明了直线l垂直于平面内的任一条直线，所以l⊥2020/1/24新疆奎屯市第一高级中学特级教师王新敞13例2：已知：在空间四边形OABC中，OA⊥BC，OB⊥AC，求证：OC⊥ABOABCOBAC证明：由已知，ABCO0,0()0()0OABCOBACOAOCOBOBOCOA所以OAOCOAOBOBOCOBOA所以0()00OAOCOBOCOAOBOCBAOC所以OCAB所以2020/1/24新疆奎屯市第一高级中学特级教师王新敞14例3如图，已知线段在平面内，线段，线段，线段，，如果，求、之间的距离。ACBDABDD30DBD,ABaACBDbCDAB解：由，可知.由知.ACACAB30DBD,120CABD22222222222||()||||||2222cos120CDCDCDCAABBDCAABBDCAABCABDABBDbabbab22CDabbabCABD'D2020/1/24新疆奎屯市第一高级中学特级教师王新敞15例4已知在平行六面体中，,,求对角线的长。ABCDABCD4AB3,5,90,60ADAABADBAADAAACD'C'B'DABCA'解：ACABADAA22222222||()||||||2()4352(0107.5)85ACABADAAABADAAABADABAAADAA||85AC2020/1/24新疆奎屯市第一高级中学特级教师王新敞161.已知线段、在平面内，，线段，如果，求、之间的距离.ABBDBDABAC,,ABaBDbACcCDcabCABD解：∵22222222||()||||||CDCAABBDCAABBDabc222CDabc2020/1/24新疆奎屯市第一高级中学特级教师王新敞172.已知空间四边形的每条边和对角线的长都等于，点分别是边的中点。求证：。ABCDaMN、ABCD、,MNABMNCDNMABDC证明：因为MNMAADDN所以222()1110244ABMNABMAADDNABMAABADABDNaaaMNAB同理，MNCD2020/1/24新疆奎屯市第一高级中学特级教师王新敞183.已知空间四边形，求证：。,,OABCOBOCAOBAOCOABCOACB证明：∵()||||cos||||cos||||cos||||cos0OABCOAOCOBOAOCOAOBOAOCOAOBOAOBOAOBOABC2020/1/24新疆奎屯市第一高级中学特级教师王新敞194.如图，已知正方体，和相交于点，连结，求证：。ABCDABCDCDDCOAOAOCDOD'C'B'A'DABC2020/1/24新疆奎屯市第一高级中学特级教师王新敞20思考题：利用向量知识证明三垂线定理aAOP.,0,,,,0,0,PAaPAaaOAaPOaPAOAyPOxPAyxOAPOOAPOaOAaOAaPOaPOPOaa即使有序实数对定理可知，存在唯一的不平行，由共面向量相交，得又又而上取非零向量证明：在PAaOAaaPAOAPAPO求证：且内的射影，在是的垂线，斜线，分别是平面已知：,,2020/1/24新疆奎屯市第一高级中学特级教师王新敞21已知空间四边形的每条边和对角线的长都等于,点分别是的中点，求下列向量的数量积：ABCDaEFG、、ABADDC、、(1)(2)(3)ABACADDBGFAC；　　；　　；(4)(5)(6).EFBCFGBAGEGF；　　；　　GFEABCD作业讲评2020/1/24新疆奎屯市第一高级中学特级教师王新敞22课堂小结：1．正确分清楚空间向量的夹角.2．两个向量的数量积的概念、性质和计算方法.2020/1/24新疆奎屯市第一高级中学特级教师王新敞23本讲到此结束，请同学们课后再做好复习.谢谢！再见！作业：P409.53奎屯王新敞新疆·2007·新疆奎屯[e-mail]特级教师王新敞源头学子小屋