第14讲 不定积分的第一类换元法

第14讲不定积分的第一类换元法•凑微分法•第一换元法一、凑微分法例1xdx2cosxx2cos22sin）因（xx2cos2sin21）（cxxdx2sin212cos故再解:xdx2cos)2(2cos21xxd)2(sin21xdcx2sin21例2dxex2xdex2212)(212xedcex221例3dxxx2122211dxx)1(1122xdxcx)1ln(2)1ln(2xd例4dxxx22)1(222)1(121dxx)1()1(21222xdxduu221令1+x2=ucu1212121例4dxxx22)1(duu221令1+x2=ucx)1(212cu1212121例5dxxexcossinxdexsinsinxdesincexsin以上使用的方法称为凑非分法例6dxxtandxxxcossinxdxcoscos1cx|cos|ln|cos|lnxd例7dxxxx222dxxxx222)22(2122222222122xxdxdxxxx1)1(122)22(212222xxxxxdcxxx)1arctan()22ln(21例7)ln21(xxdxxdxlnln211xdxln2ln21121)ln21(ln21121xdxcx|ln21|ln21例9dxxex3)2(3xdex)3(323xdexcex232另外一种解法：令uxx=u2,dx=2uduuduuedxxeux233cedueuu33322cex332一、凑微分二、第一类换元法例10dxx111解：令ux1则dx=2udux=u2+1duuudxx12111例10dxx111duuudxx12111duu)111(2cuu)]1ln([2cxx)]11ln(1[2例11dxxx31,6ux令x=u6，dx=6u5duduuuudxxx23536111161633uuduuu11161633uuduuu例11dxxx31duuuu)111(62cuuuu)]1ln(23[623cxxxx)1ln(6632663例12dxex11解:令ex=u,ududxux,ln例12dxex11uduu11duuu111cuu)1ln(lnceexx1ln也可令ex+1=u例13dxxcscdxxsin1dxxx2cos2sin21dxxx2cos2tan212例13dxxcsc22tan2sec2xdxxdxxx2cos2tan2122tan2tanxdxcx|2tan|ln另一种解法:xxdxdxx2sinsinsin1xxd2cos1cos令u=cosxduu112另一种解法:duuuduu111121112cuu11ln21cxx1cos1cosln21例13dxxcsccxx|cotcsc|lncxx1cos1cosln21注:可以验证相同cx|2tan|ln类似可得cxxxdx|tansec|lnsec小结1.第一换元法（凑微分法）令φ(x)=u,最后换回原变量x2.三个常用公式cxxxdx|tansec|lnseccxxxdx|cotcsc|lncsccaxaxadxax||ln21122