对称性在二重积分中的应用

—对称性在二重积分中的应用《高等数学》（同济大学第五版）主讲：张晓斌中国民航大学理学院中国民航大学理学院张晓斌一、常用的有关二重积分的对称性定理二、定理的应用（典型例题分析）三、小结主要内容中国民航大学理学院张晓斌一、常用的有关二重积分的对称性定理(,)(,)fxyfxy(,)(,)fxyfxy定义1：若二元函数的定义域关于轴对称，且满足（或），则称关于为奇（偶）函数。(,)(,)fxyfxy(,)(,)fxyfxy(,)(,)fxyfyx定义2：若二元函数的定义域关于轴对称，且满足（或），则称关于为奇（偶）函数。中国民航大学理学院张晓斌(,)fxy(,)fxy(,)fxy(,)fxy(,)fxy(,)fxyxxyyDyDx定义3：若二元函数的定义域关于直线对称，且满足，则称关于和对称。Dyx(,)ddDfxyxy定理1若有界闭区域关于轴对称，在区域上连续，则当关于为奇函数时当关于为偶函数时012(,)ddDfxyxy1{(,)|0}DxyDxD1DxyO中国民航大学理学院张晓斌(,)fxy(,)fxyDyxxD(,)fxy(,)ddDfxyxy定理1’若有界闭区域关于轴对称，在区域上连续，则当关于为奇函数时当关于为偶函数时012(,)ddDfxyxy1{(,)|0}DxyDyD1DxyO中国民航大学理学院张晓斌Dx(,)fxyy(,)fxyy(,)fxyD(,)ddDfxyxy推论1.1若有界闭区域关于轴和轴都对称，在区域上连续，且关于和均为偶函数，则1{(,)|0,0}DxyDxy14(,)ddDfxyxyD1DxyO中国民航大学理学院张晓斌DxyxyD(,)fxy定理2若有界闭区域与区域关于直线对称，在区域上连续，则1(,)dd(,)ddDDfxyfyxyxxyD1DxyO中国民航大学理学院张晓斌1DDyx(,)fxyDyx推论2.1若有界闭区域关于直线对称，在区域上连续，则(,)dd(,)ddDDfxyfyyxyxxDxyO中国民航大学理学院张晓斌Dyx(,)fxyDyx例1.如图，由于积分区域关于轴，轴都对称，且和中的被积函数分别关于是奇函数，根据定理1和定理1’得计算其中3()dd,DIxyxy{(,)||||1}.DxyxyDx12000.IIIDxyO3312()dddddd,DDDIxyxyxxyyxyIIy1I,xy解：中国民航大学理学院张晓斌1111二、定理的应用2ID2D3D4D例2.（总习题九1(2)）.则.dd)sincos(yxyxyxDyxyxADddsincos2)(1yxyxBDdd2)(1yxyxyxCDdd)sincos(4)(11D提示:如图，A},,),{(ayxaxayxD},,0),{(1ayxaxyxDxyaaaO设有平面闭区域中国民航大学理学院张晓斌1234.DDDDD例3.有一个平面薄片,在平面上占有区域其面密度为，求该薄片的质量M。由于积分区域关于轴，轴都对称，且被积函数关于都是偶函数，根据推论1.1得||||edd.xyDMxy{(,)||||1},DxyxyDxDxyOy,xy||||eddxyDMxy1D中国民航大学理学院张晓斌111114eddxyDxy11004dedxxyxy4.||||exy解：根据二重积分的物理意义，xoy1yx2014.3例4.设在连续，且证明,d)()(d110yyfxfxIx证明:补区域使其与区域oyx1xy1Ixyfxfyd)()(010dy1010d)(d)(yyfxxf,2A.22AI证毕D1Dxy1DDxy()()ddDfxfyxy1()()ddDfyfxxy1,I12III1()()ddDDfxfyxy1100d()()dxfxfyy.22AI注意到被积函数关于和对称,考虑利用定理2，关于直线对称。()fx[0,1]10()d,fxxA例5.中国民航大学理学院张晓斌设为取值恒大于0的连续函数，区域，与是两个非零常数，则二重积分()fx222:(,)|(0)DxyxyRR()()dd_______.()()DafxbfyxyfxfyDyxoRRab解：由于区域关于直线对称，根据推论2.1可得yx()()()()Dafxbfydxdyfxfy从而()()()()Dafxbfydxdyfxfy()(),()()Dafybfxdxdyfyfx1()()()()[]2()()()()Dafxbfyafybfxdxdyfxfyfyfx2Dabdxdy2.2abR中国民航大学理学院张晓斌D三、小结本节给出了几种常用的有关二重积分的对称性定理，并通过例题分析对这些定理做了应用，讨论了利用积分区域的对称性及被积函数的奇偶性简化二重积分的计算。中国民航大学理学院张晓斌谢谢！中国民航大学理学院张晓斌