对称性在积分中的应用

分类号:O172.1单位代码：106密级：一般学号:0803042230本科毕业论文（设计）题目：对称性在积分中的应用专业：数学与应用数学姓名：王静指导教师：张璐职称：讲师答辩日期：二0一0年六月延安大学本科毕业论文（设计）I对称性在积分中的应用摘要：积分的计算是积分运用中的一个难点.在某些积分的计算过程中，若能利用对称性，则可以简化积分的计算过程.本文介绍了几种常见的对称性在积分计算过程中的几个结论及其应用，并通过实例讨论了利用积分区域的对称性及被积函数的奇偶性简化重积分，曲线积分，曲面积分的计算方法.另外，对于曲面积分的计算，本文还给出了利用积分曲面关于变量的轮换对称性简化曲面积分的计算，是曲面积分的计算更加便捷.关键词：对称；积分；应用延安大学本科毕业论文（设计）IIApplicationofthesymmetryinAbstract:Integrationpointsusedinthecalculationisadifficultpoint.Certainpointsinthecalculationprocess,ifuseofsymmetry,youcansimplifytheintegralcalculation.Thisarticledescribessomecommonpointsofsymmetryinthecalculationprocessanditsapplicationinseveralconclusions,andthroughanexampleusingtheintegralareaofthesymmetryandtheparityoftheintegrandtosimplifyintegration,thecurveintegral,surfaceintegralcalculated.Inaddition,thecalculationforthesurfaceintegral,thepaperalsogivesthesurfaceintegralonthevariableuseofsymmetrysimplifiesthecalculationofsurfaceintegralsisthesurfaceintegralofthecalculationsaremoreconvenient.Keywords:symmetry;points;application延安大学本科毕业论文（设计）III目录1引言....................................................................................................................................................12相关的定义........................................................................................................................................13重积分的对称性................................................................................................................................13.1二重积分的对称性定理及其应用.........................................................................................33.2三重积分的对称性定理及其应用.........................................................................................44曲线积分的对称性............................................................................................................................44.1第一型曲线积分的对称性定理及其应用..............................................................................64.2第二型曲线积分的对称性定理及其应用..............................................................................75曲面积分的对称性............................................................................................................................75.1第一型曲面积分的对称性定理及其应用..............................................................................95.2第一型曲面积分的对称性定理及其应用............................................................................106小结................................................................................................................................................11参考文献..................................................................................................................................................12谢辞..................................................................................................................................................13延安大学本科毕业论文（设计）1对称性在积分中的应用1.引言积分的对称性包括重积分，曲线积分，曲面积分的对称性.在积分计算中，根据题目的条件，充分利用积分区域的对称性及被积函数的奇偶性，往往可以达到事半功倍的效果.下面我将从积分相关的定理和结论，再结合相关的实例进行具体的探讨.本文结合积分域关于平行于坐标轴的直线，平行于坐标面的平面，平行于坐标轴对角线的直线的对称性定义，以及相应对称区域上定理中的函数约定在该区域都连续或偏导数连续.2.相关的定义定义1：设平面区域为D,若点),(yx),2(yxaD,则D关于直线ax对称，对称点),(yx与),2(yxa是关于ax的对称点.若点),(yx∈D)2,(ybx),(yxD，则D关于直线by对称，称点),(yx与)2,(ybx是关于by的对称（显然当0a,0b对D关于y,x轴对称）定义2:设平面区域为D,若点),(yxD),(axay，则D关于axy对称，称点),(yx与),(axay是关于axy的对称点.若点),(yxD),(xayaD，则D关于直线zy对称）注释：空间区域关于平行于坐标面的平面对称；平面曲线关于平行于坐标轴的直线对称；平面曲面以平行于坐标面对称，也有以上类似的定义.3.重积分3.1二重积分的对称性定理定理1：设有界闭区域12DDD,1D与2D关于y或x轴对称.设函数),(yxf在有界闭区域D上连续，那么（ⅰ）若),(yxf是关于y（或x）的奇函数，则(,)Difxyd0（ⅱ）若),(yxf是关于y（或x）的偶函数，则Df(x,y)d=2(,)Difxyd1(i，)2注释：设函数),(yxf在有界闭区域D上连续延安大学本科毕业论文（设计）2（ⅰ）若D关于y轴对称，则DDxyxfdyxfyxfdyxf!),(),(2),(,0),(为偶函数关于变量，如果关于变量为奇函数如果其中1D是D的右半部分:1D=}0|),{(xDyx（ii）若D关于x轴对称，则DDyyxfdyxfyxfdyxf2),(),(2),(,0),(为偶函数关于变量，如果关于变量为奇函数如果其中2D是D的上半部分：2D=}0|),{(yDyx定理2：设有界闭区域D关于x轴和y轴均对称，函数),(yxf在D上连续且),(yxf关x和y均为偶函数，则DDdyxfdyxf3),(4),(其中3D是D的第一象限的部分：3D=}0,0|),{(yxDyx定理3：则设有界闭区域D关于原点对称，函数),(yxf在D上连续，则DDDyxfyxfdyxfdyxfyxfyxfdyxf12),(),(,),(2),(2),(),(,0),(如果如果其中1D=}0|),{(xDyx，2D=}0|),{(yDyx例1：计算Dxydxdy，其中D由下列双纽线围成：(1))(2)(22222yxyx(2)xyyx2)(222解：（1）由于)(2)(22222yxyx围成的区域关于x轴y轴均对称，而被积函数xy关于x（或y轴）为奇函数则有Dxydxdy0（2）由)(2)(22222yxyx围成的区域对称于原点，而被积函数xy是关于延安大学本科毕业论文（设计）3x,y的偶函数则有Dxydxdy=21Dxydxdy由极坐标知sin,cosryrx，代入xyyx2)(222得2sinr且由xy0，知02sin212r则20于是Dxydxdy61cos2sin220sin03drrd定理4：设有界闭区域D关于xy对称,函数),(yxf在D上连续，则Df(x,y)d=(,)Dfyxd例2：设函数f(x)在]1,0[上的正值连续函数证明：()()1()()()2Dafxbfydxdyabfxfy，其中ba,为常数，1}yx,0|y){(x,D证明：∵积分区域D关于xy对称∴(,)(,)DDfxydfyxd设()()()()DafxbfyIdxdyfxfy由函数关于两个变量()()()()DafxbfyIdxdyfxfy，以上两式相,得2()DIabdxdyab，从而1()2Iab一般地，有以下定理：定理5：设有界闭区域12DDD，1D与2D关于直线0:cbyaxL对称，函数),(yxf在D上连续，那么：（ⅰ）若),(yxf是关于直线L的奇函数，则(,)Dfxyd0（ⅱ）若),(yxf是关于直线L的偶函数，则(,)Dfxyd2(,)Difxyd1(i，)2延安大学本科毕业论文（设计）43.2三重积分的对称性定理定理6：设空间有界闭区域12，1与2关于xoy坐标面对称，函数),,(zyxf在上连续，那么：（ⅰ）若),,(zyxf是关于z的奇函数，则(,,)fxyzdv=0（ⅱ）若),,(zyxf是关于z的偶函数，则：(,,)fxyzdv=21),,(dvzyxf同时，若关于yox坐标面对称，),,(zyxf