综合法与分析法

2．2直接证明与间接证明2．2.1综合法与分析法理解综合法和分析法的概念及它们的区别，能熟练地运用综合法、分析法证题．本节重点：综合法与分析法的概念及用分析法与综合法证题的过程、特点．本节难点：用综合法与分析法证明命题．1．分析法与综合法既有区别又有联系，分析法是从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”，每步推理都是寻找该步结论的充分条件，是“执果索因”，综合法是从“已知”看“可知”逐步推向“未知”，每步推理都是“由因导果”，而实际解决问题时，常将两种方法结合起来使用．由已知条件看能得到哪些明显的结论，看待证结论需要这些结论中的哪些才能获证，常常是“分析找思路，综合写过程”．2．综合法与分析法的推理过程是演绎推理，因为综合法与分析法的每一步推理都是严密的逻辑推理，从而得到的每一个结论都是正确的，不同于合情推理中的“猜想”．综合法和分析法综合法分析法定义利用和某些数学、、等，经过一系列的，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法从要证明的，逐步寻求使它成立的，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、等)，这种证明方法叫做分析法已知条件定义公理定理推理论证结论出发充分条件定理、定义、公理综合法分析法框图表示(P表示、已有的等，Q表示)特点顺推证法或由因导果法逆推证法或执果索因法已知条件定义、公理、定理所要证明的结论已知a、b是正数，且a＋b＝1，求证：1a＋1b≥4.引例1引1【思路点拨】解答本题可由已知条件出发，结合基本不等式，即可得出结论．从已知条件出发，以已知定义、公理、定理等为依据,逐步下推，直到推出要证明的结论为止，这种证明方法叫做综合法(顺推证法)用P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等,Q表示所要证明的结论.则综合法用框图表示为:1PQ12QQ23QQnQQ…特点:“由因导果”2．综合法证明不等式所依赖的主要是不等式的基本性质和已知的重要不等式，其中常用的有如下几个：①a2≥0(a∈R)．②(a－b)2≥0(a、b∈R)，其变形有a2＋b2≥2ab，a＋b22≥ab，a2＋b2≥(a＋b)22.③若a、b∈(0，＋∞)，则a＋b2≥ab，特别是ba＋ab≥2.④a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca(a、b、c∈R)．【思维总结】例1:已知a0,b0,求证a(b2+c2)+b(c2+a2)≥4abc练习1：在△ＡＢＣ中，三个内角Ａ、Ｂ、Ｃ对应的边分别为a、b、c，且Ａ、Ｂ、Ｃ成等差数列，a、b、c成等比数列，求证△ＡＢＣ为等边三角形．?怎样把边,角联系起来222:2cosbacacB余弦定理:??分析由A,B,C成等差数列可得什么由a,b,c成等比数列可得什么练习2：求证：5321232log19log19log19探索求知：求证不等式：.10578.注：从求证的结论出发，逐步寻求使结论成立的充分条件。证明：要证,10578.)105()78(22即证.50210556278.5056,502562即故不等式成立.只需证只需证引例2例2从要证明的结论出发，逐步寻求推证过程中，使每一步结论成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件为止，这种证明的方法叫做分析法．特点：这个明显成立的条件可以是：已知条件、定理、定义、公理等执果索因即：要证结果Q，只需证条件P[例2]已知a0，b0，求证：ab＋ba≥a＋b.变式1当a≥2时，求证：a＋1－aa－1－a－2.求证：a－3－a－4a－5－a－6.（a6）变式2：已知：，且，求证：Rba,ba2233abbaba1．综合法与分析法的推理过程是合情推理还是演绎推理？提示：综合法与分析法的推理过程是演绎推理，因为综合法与分析法的每一步推理都是严密的逻辑推理，从而得到的每一个结论都是正确的，不同于合情推理中的“猜想”．概念深化2．分析法是把所要求证的结论当作已知条件来推理吗？提示：分析法并不是把所要求证的结论当作已知条件来推理，而是寻求使结论成立的充分条件．直接证明(回顾小结)分析法解题方向比较明确，利于寻找解题思路；综合法条理清晰，易于表述。通常以分析法寻求思路，再用综合法有条理地表述解题过程分析法综合法概念小结1.在数学证明中，综合法和分析法是两种最常用的数学方法，若从已知入手能找到证明的途径，则用，否则用.2.综合法的每步推理都是寻找条件，分析法的每步推理都是寻找条件，在解题表述中要注意语言的规范性和逻辑性.3.综合法和分析法是两种互逆的思维模式，在证明某些较复杂的问题时，常采用分析综合法，用综合法拓展条件，用分析法转化结论，找出已知与结论的连结点.求证：logn(n＋1)logn＋1(n＋2)(n≥2)．[证明]分析法：要证logn(n＋1)logn＋1(n＋2)只需证明1logn＋1nlogn＋1(n＋2)∵logn＋1n0∴只需证logn＋1n·logn＋1(n＋2)1.∵logn＋1n·logn＋1(n＋2)logn＋1n＋logn＋1(n＋2)22＝logn＋1[n(n＋2)]22∴只需证logn＋1[n(n＋2)]21即logn＋1[n(n＋2)]logn＋1(n＋1)2∴也就是证n(n＋2)(n＋1)2，这是显然成立的．∴原不等式成立．综合法：logn(n＋1)－logn＋1(n＋2)＝lg(n＋1)lgn－lg(n＋2)lg(n＋1)＝lg2(n＋1)－lgn·lg(n＋2)lgnlg(n＋1)∵n(n＋2)(n＋1)2∴lg[n(n＋2)]lg(n＋1)2∵lgnlg(n＋2)lgn＋lg(n＋2)22＝lgn(n＋2)22lg(n＋1)222＝lg2(n＋1)∴logn(n＋1)－logn＋1(n＋2)0∴logn(n＋1)logn＋1(n＋2)．[例4]如果ab，ab＝1，求证：a2＋b2≥22(a－b)，并指明何时取“＝”号．[分析]先用分析法将所证不等式转化为易证的等价式子，再用综合法进行证明．[解析]因为ab，a－b0，所以欲证a2＋b2≥22(a－b)．只需证a2＋b2a－b≥22.因为ab，所以a－b0，又知ab＝1，所以a2＋b2a－b＝a2＋b2－2ab＋2aba－b＝(a－b)2＋2a－b＝(a－b)＋2a－b≥2(a－b)·2a－b＝22.所以a2＋b2a－b≥22，即a2＋b2≥22(a－b)．当且仅当a－b＝2a－b，即a－b＝2时，取等号．(2)在解决问题时，我们经常把综合法和分析法结合起来使用，根据条件的结构特点去转化结论，得到中间结论Q；根据结论的结构特点去转化条件，得到中间结论P，若由P可以推出Q成立，就可以证明结论成立．一般情况下，用分析法寻找思路，用综合法完成证明．[点评](1)本题证明的前半部分用分析法，要证结论成立，只需证a2＋b2a－b≥22，后半部分用综合法证明了a2＋b2a－b≥22.已知a，b是不等正数，且a3－b3＝a2－b2，求证：1a＋b43.[证明]∵a3－b3＝a2－b2且a≠b，∴a2＋ab＋b2＝a＋b，由(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2a2＋ab＋b2得(a＋b)2a＋b，又a＋b0，∴a＋b1，要证a＋b43，即证3(a＋b)4，∵a＋b0，∴只需证明3(a＋b)24(a＋b)，又a＋b＝a2＋ab＋b2即证：3(a＋b)24(a2＋ab＋b2)也就是证明(a－b)20因为a，b是不等正数，故(a－b)20成立．故a＋b43成立．综上，得1a＋b43.失误防范1．利用综合法证明问题时，要把产生某结果的具体原因写完整，不可遗漏．2．用分析法书写证明过程时，格式要规范，一般为“欲证…，只需证…，只需证…，由于…显然成立(已知，已证…)，所以原结论成立．”其中的关联词语不能省略．