3环流与旋度和格林定理与亥姆霍兹定理

§3§03环流与旋度和格林定理与亥姆霍兹定理§31.5矢量场的环流与旋度1.矢量场的环流与旋涡源例如：流速场。不是所有的矢量场都由通量源激发。存在另一类不同于通量源的矢量源，它所激发的矢量场的力线是闭合的，它对于任何闭合曲面的通量为零。但在场所定义的空间中闭合路径的积分不为零。§3如磁场沿任意闭合曲线的积分与通过闭合曲线所围曲面的电流成正比，即SCSzyxJIlzyxBd),,(d),,(00上式建立了磁场的环流与电流的关系。§3如果矢量场的任意闭合回路的环流恒为零，称该矢量场为无旋场，又称为保守场。ClzyxFd),,(环流的概念矢量场对于闭合曲线C的环流定义为该矢量对闭合曲线C的线积分，即如果矢量场对于任何闭合曲线的环流不为零，称该矢量场为有旋矢量场，能够激发有旋矢量场的源称为旋涡源。电流是磁场的旋涡源。§3矢量场的环流给出了矢量场与积分回路所围曲面内旋涡源宏观联系。为了给出空间任意点矢量场与旋涡源的关系，引入矢量场的旋度。SCMFn2.矢量场的旋度（）F（1）环流面密度CSlFSFd1limrot0n称为矢量场在点M处沿方向的环流面密度。n特点：其值与点M处的方向有关。n过点M作一微小曲面S，它的边界曲线记为C，曲面的法线方向与曲线的绕向成右手螺旋法则。当S0时，极限n§3而推导的示意图如图所示。rotxFoyzyCMzx1234计算的示意图rotxF•直角坐标系中、、的表达式rotxFrotyFrotzF41321dddddllllClFlFlFlFlF)Δ()Δ(ΔΔ4321zFyFzFyFzyzy2Δ)(2yyFMFFMzzz2Δ)(3zzFMFFMyyy2Δ)(1zzFMFFMyyy2Δ)(4yyFMFFMzzz§3于是同理可得故得概念：矢量场在M点处的旋度为一矢量，其数值为M点的环流面密度最大值，其方向为取得环量密度最大值时面积元的法线方向，即物理意义：旋涡源密度矢量。性质：（2）矢量场的旋度zyzFyFlFyzC)(dzFyFSlFFyzCSxdlimrot0maxnn]rot[FeFFeFnnrotxFzFFzxyrotyFxFFxyzrot§3yFxFexFzFezFyFeFxyzzxyyzx旋度的计算公式:zzFFFzeeeF1FrrFFrerererFrrsinsinsin12直角坐标系圆柱坐标系球坐标系zyxzyxFFFzyxeee§3旋度的有关公式：矢量场的旋度的散度恒为零标量场的梯度的旋度恒为零FfFfFf)(CfCf)(0CGFGF)(GFFGGF)(0)(F0)(u§3SCSFlFdd3.斯托克斯定理斯托克斯定理是闭合曲线积分与曲面积分之间的一个变换关系式，也在电磁理论中有广泛的应用。从旋度的定义出发，可以得到矢量场沿任意闭合曲线的环流等于矢量场的旋度在该闭合曲线所围的曲面的通量，即§34.散度和旋度的区别0,0FF0.0FF0,0FF0,0FF§31.矢量场的源散度源：是标量，产生的矢量场在包围源的封闭面上的通量等于（或正比于）该封闭面内所包围的源的总和，源在一给定点的（体）密度等于（或正比于）矢量场在该点的散度；旋度源：是矢量，产生的矢量场具有涡旋性质，穿过一曲面的旋度源等于（或正比于）沿此曲面边界的闭合回路的环量，在给定点上，这种源的（面）密度等于（或正比于）矢量场在该点的旋度。1.6无旋场与无散场§32.矢量场按源的分类（1）无旋场0dClF性质：，线积分与路径无关，是保守场。仅有散度源而无旋度源的矢量场，0F无旋场可以用标量场的梯度表示为例如：静电场0EEuF()0Fu§3（2）无散场仅有旋度源而无散度源的矢量场，即性质：0dSSF0F无散场可以表示为另一个矢量场的旋度例如，恒定磁场AB0BAF0)(AF§3（3）无旋、无散场（源在所讨论的区域之外）0F（4）有散、有旋场这样的场可分解为两部分：无旋场部分和无散场部分()()()()()lCFrFrFrurAr无旋场部分无散场部分()0uFu02u0F§31.7拉普拉斯运算与格林定理1.拉普拉斯运算•标量拉普拉斯运算2u概念：2——拉普拉斯算符2222222uuuuxyz直角坐标系计算公式：22222211()uuuuz22222222111()(sin)sinsinuuuurrrrrr圆柱坐标系球坐标系uu2)(§3•矢量拉普拉斯运算2F概念：2222xxyyzzFeFeFeF即22()iiFF注意：对于非直角分量，22()iiFF直角坐标系中：如：22()FF(,,)ixyz)()(2FFF§32.格林定理设任意两个标量场及，若在区域V中具有连续的二阶偏导数，那么，可以证明该两个标量场及满足下列等式：SVSnV2dd)(根据方向导数与梯度的关系，上式又可写成以上两式称为标量第一格林定理。SVSV2d)(d)(式中S为包围V的闭合曲面，为标量场在S表面的外法线方向上的偏导数。nne§3基于上式还可获得下列两式：上两式称为标量第二格林定理。格林定理说明了区域V中的场与边界S上的场之间的关系。因此，利用格林定理可以将区域中场的求解问题转变为边界上场的求解问题。此外，格林定理反映了两种标量场之间满足的关系。因此，如果已知其中一种场的分布，即可利用格林定理求解另一种场的分布。格林定理广泛地用于电磁理论。SVSV22d)(d)(SVSnnV22d)(d)(§3亥姆霍兹定理:若矢量场在无限空间中处处单值，且其导数连续有界，源分布在有限区域中，则当矢量场的散度及旋度给定后，该矢量场可表示为)()()(rArurF式中：VrrrFruVd)(π41)(VVrrrFrAd)(π41)(亥姆霍兹定理表明：在无界空间区域，矢量场可由其散度及旋度确定。1.8亥姆霍兹定理§3SVrrSrFVrrrFrud)(π41d)(π41)(SVrrSrFVrrrFrAd)(π41d)(π41)(在有界区域，矢量场不但与该区域中的散度和旋度有关，还与区域边界上矢量场的切向分量和法向分量有关。