第十节 圆锥曲线中的定点、定值、存在性问题

第十节圆锥曲线中的定点、定值、存在性问题本节主要包括2个知识点：1.圆锥曲线中的定点、定值问题；2.圆锥曲线中的存在性问题.界首一中王超2018.2.5突破点(一)圆锥曲线中的定点、定值问题圆锥曲线中的定点、定值问题是解析几何中的常见问题，它多与圆锥曲线的性质相结合，难度较大，常出现在解答题中.圆锥曲线中的定点问题[例1](2016·大庆质检)已知椭圆C：x2a2＋y2＝1(a1)的上顶点为A，右焦点为F，直线AF与圆M：(x－3)2＋(y－1)2＝3相切．(1)求椭圆C的方程；(2)若不过点A的动直线l与椭圆C交于P，Q两点，且AP·AQ＝0，求证：直线l过定点，并求该定点的坐标．[解](1)圆M的圆心为(3,1)，半径r＝3.由题意知A(0,1)，F(c,0)，直线AF的方程为xc＋y＝1，即x＋cy－c＝0，由直线AF与圆M相切，得|3＋c－c|c2＋1＝3，解得c2＝2，a2＝c2＋1＝3，故椭圆C的方程为x23＋y2＝1.[解]证明：由AP·AQ＝0知AP⊥AQ，从而直线AP与坐标轴不垂直，故可设直线AP的方程为y＝kx＋1，直线AQ的方程为y＝－1kx＋1.联立方程组y＝kx＋1，x23＋y2＝1，整理得(1＋3k2)x2＋6kx＝0，解得x＝0或x＝－6k1＋3k2，故点P的坐标为－6k1＋3k2，1－3k21＋3k2，(2)若不过点A的动直线l与椭圆C交于P，Q两点，且AP·AQ＝0，求证：直线l过定点，并求该定点的坐标．同理，点Q的坐标为6kk2＋3，k2－3k2＋3.所以直线l的斜率为k2－3k2＋3－1－3k21＋3k26kk2＋3－－6k1＋3k2＝k2－14k，所以直线l的方程为y＝k2－14kx－6kk2＋3＋k2－3k2＋3，即y＝k2－14kx－12.所以直线l过定点0，－12.[方法技巧]圆锥曲线中定点问题的两种解法(1)引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点．(2)特殊到一般法：根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关．1.已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点F(1,0)，O为坐标原点，A，B是抛物线C上异于O的两点．(1)求抛物线C的方程；(2)若直线OA，OB的斜率之积为－12，求证：直线AB过x轴上一定点．解：(1)因为抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点坐标为(1,0)，所以p2＝1，所以p＝2.所以抛物线C的方程为y2＝4x.对应演练解：证明：①当直线AB的斜率不存在时，设At24，t，Bt24，－t.因为直线OA，OB的斜率之积为－12，所以tt24·－tt24＝－12，化简得t2＝32.所以A(8，t)，B(8，－t)，此时直线AB的方程为x＝8.②当直线AB的斜率存在时，(2)若直线OA，OB的斜率之积为－12，求证：直线AB过x轴上一定点．设其方程为y＝kx＋b，A(xA，yA)，B(xB，yB)，联立方程组y2＝4x，y＝kx＋b消去x，得ky2－4y＋4b＝0.由根与系数的关系得yAyB＝4bk，因为直线OA，OB的斜率之积为－12，所以yAxA·yBxB＝－12，即xAxB＋2yAyB＝0.即y2A4·y2B4＋2yAyB＝0，解得yAyB＝－32或yAyB＝0(舍去)．所以yAyB＝4bk＝－32，即b＝－8k，所以y＝kx－8k，即y＝k(x－8)．综上所述，直线AB过定点(8,0)．圆锥曲线中的定值问题圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略(1)求代数式为定值．依题意设条件，得出与代数式参数有关的等式，代入代数式、化简即可得出定值．(2)求点到直线的距离为定值．利用点到直线的距离公式得出距离的关系式，再利用题设条件化简、变形求得．(3)求某线段长度为定值．利用长度公式求得关系式，再依据条件对关系式进行化简、变形即可求得．方法(一)从特殊到一般求定值[例2]已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的离心率为32，短轴端点到焦点的距离为2.(1)求椭圆C的方程；(2)设A，B为椭圆C上任意两点，O为坐标原点，且OA⊥OB.求证：原点O到直线AB的距离为定值，并求出该定值．[解](1)由题意知，e＝ca＝32，b2＋c2＝2，又a2＝b2＋c2，所以a＝2，c＝3，b＝1，所以椭圆C的方程为x24＋y2＝1.[解]证明：①当直线AB的斜率不存在时，直线AB的方程为x＝±255，此时，原点O到直线AB的距离为255.②当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y＝kx＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)．由x24＋y2＝1，y＝kx＋m得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－4＝0.(2)设A，B为椭圆C上任意两点，O为坐标原点，且OA⊥OB.求证：原点O到直线AB的距离为定值，并求出该定值．则Δ＝(8km)2－4(1＋4k2)(4m2－4)＝16(1＋4k2－m2)＞0，x1＋x2＝－8km1＋4k2，x1x2＝4m2－41＋4k2，则y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)＝m2－4k21＋4k2，由OA⊥OB得kOA·kOB＝－1，即y1x1·y2x2＝－1，所以x1x2＋y1y2＝5m2－4－4k21＋4k2＝0，即m2＝45(1＋k2)，所以原点O到直线AB的距离为|m|1＋k2＝255.综上，原点O到直线AB的距离为定值255.[方法技巧]定值问题必然是在变化中所表示出来的不变的量，常表现为求一些直线方程、数量积、比例关系等的定值．解决此类问题常从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．1.如图，已知M(x0，y0)是椭圆C：x26＋y23＝1上的任一点，从原点O向圆M：(x－x0)2＋(y－y0)2＝2作两条切线，分别交椭圆于点P，Q.(1)若直线OP，OQ的斜率存在，并记为k1，k2，求证：k1k2为定值；(2)试问|OP|2＋|OQ|2是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由．对应演练解：(1)证明：因为直线OP：y＝k1x，OQ：y＝k2x与圆M相切，所以|k1x0－y0|1＋k21＝2，化简得：(x20－2)k21－2x0y0k1＋y20－2＝0，同理：(x20－2)k22－2x0y0k2＋y20－2＝0，所以k1，k2是关于k的方程(x20－2)k2－2x0y0k＋y20－2＝0的两个不相等的实数根，所以k1·k2＝y20－2x20－2.因为点M(x0，y0)在椭圆C上，所以x206＋y203＝1，即y20＝3－12x20，所以k1k2＝1－12x20x20－2＝－12为定值．解：|OP|2＋|OQ|2是定值，定值为9.理由如下：①当M点坐标为(2，2)时，直线OP，OQ落在坐标轴上，显然有|OP|2＋|OQ|2＝9.②当直线OP，OQ不落在坐标轴上时，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，因为k1k2＝－12，所以y21y22＝14x21x22，因为P(x1，y1)，Q(x2，y2)在椭圆C上，(2)试问|OP|2＋|OQ|2是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由．所以x216＋y213＝1，x226＋y223＝1，即y21＝3－12x21，y22＝3－12x22，所以3－12x213－12x22＝14x21x22，整理得x21＋x22＝6，所以y21＋y22＝3－12x21＋3－12x22＝3，所以|OP|2＋|OQ|2＝9.方法(二)直接消参求定值[例3]如图，已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的右焦点为F2(1,0)，点H2，2103在椭圆上．(1)求椭圆的方程；(2)若点M在圆x2＋y2＝b2上，且M在第一象限，过M作圆x2＋y2＝b2的切线交椭圆于P，Q两点，求证：△PF2Q的周长为定值，并求出该定值．（2）设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则x219＋y218＝1(|x1|≤3)，|PF2|2＝(x1－1)2＋y21＝(x1－1)2＋81－x219＝19(x1－9)2，所以|PF2|＝13(9－x1)＝3－13x1.[解]（1）由题意，得a2－b2＝c2＝1，4a2＋409b2＝1，解得a2＝9，b2＝8，所以椭圆方程为x29＋y28＝1.连接OM，OP(图略)，由相切条件知|PM|2＝|OP|2－|OM|2＝x21＋y21－8＝x21＋81－x219－8＝19x21，所以|PM|＝13x1，所以|PF2|＋|PM|＝3－13x1＋13x1＝3，同理可求得|QF2|＋|QM|＝3－13x2＋13x2＝3，所以|F2P|＋|F2Q|＋|PQ|＝3＋3＝6为定值．[方法技巧]解这类问题的关键就是引进变化的参数表示直线方程、数量积、比例关系等，根据等式恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量．1.椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的离心率为35，P(m,0)为C的长轴上的一个动点，过P点斜率为45的直线l交C于A，B两点．当m＝0时，PA·PB＝－412.(1)求椭圆C的方程；(2)证明：|PA|2＋|PB|2为定值．对应演练解：(1)因为离心率为35，即e＝ca＝35，所以ba＝45.当m＝0时，l的方程为y＝45x，代入x2a2＋y2b2＝1并整理得x2＝a22.设A(x0，y0)，则B(－x0，－y0)，PA·PB＝－x20－y20＝－4125x20＝－4125·a22.又因为PA·PB＝－412.所以a2＝25，b2＝16，椭圆C的方程为x225＋y216＝1.解：证明：l的方程为x＝54y＋m，代入x225＋y216＝1，并整理得25y2＋20my＋8(m2－25)＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)．则|PA|2＝(x1－m)2＋y21＝4116y21，同理|PB|2＝4116y22.(2)证明：|PA|2＋|PB|2为定值．则|PA|2＋|PB|2＝4116(y21＋y22)＝4116[(y1＋y2)2－2y1y2]＝4116·－4m52－16m2－2525＝41.所以|PA|2＋|PB|2为定值．突破点(二)圆锥曲线中的存在性问题1.圆锥曲线中的存在性问题具有开放性和发散性，此类问题的条件和结论不完备，要求考生结合已知条件或假设新的条件进行探究、观察、分析、比较、抽象、概括等，是高考中的常考题型，作为解答题的压轴题出现，难度一般较大，常和不等式、函数、直线、圆及圆锥曲线等知识结合在一起，对数学能力和数学思想有较高的要求.2.圆锥曲线的探索性问题主要体现在以下几个方面：1点的存在性.2曲线的存在性.3最值的存在性.4探索命题是否成立等，涉及此类问题的求解主要是研究直线与圆锥曲线的位置关系.探究是否存在常数的问题[例1]如图，椭圆E：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的离心率是22，点P(0，1)在短轴CD上，且PC·PD＝－1.(1)求椭圆E的标准方程；(2)设O为坐标原点，过点P的动直线与椭圆交于A，B两点．是否存在常数λ，使得OA·OB＋λPA·PB为定值？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由．[解](1)由已知，点C，D的坐标分别为(0，－b)，(0，b)．又点P的坐标为(0,1)，且PC·PD＝－1，于是1－b2＝－1，ca＝22，a2－b2＝c2.解得a＝2，b＝2.所以椭圆E的方程为x24＋y22＝1.[解]当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y＝kx＋1，A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)．联立x24＋y22＝1，y＝kx＋1得(2k2＋1)x2＋4kx－2＝0.其判别式Δ＝(4k)2＋8(2k2＋1)0，所以x1＋x2＝－4k2k2＋1，x1x2＝－22k2＋1.从而，OA·OB＋λPA·PB＝x1x2＋y1y2＋λ[x1