福州大学第三节. Laplace变换

第三节Laplace变换Laplace变换的概念为什么要引入Laplace变换Laplace变换的定义Laplace变换与Fourier变换的关系Laplace变换存在定理Laplace逆变换1、为什么要引入Laplace变换一、Laplace变换的概念Fouriersin,cos,nttt经典变换的存在性定理要求原函数在实轴上绝对可积，但许多常见函数并不满足该条件，例如。•实际中的许多函数当t0时不作定义。•Laplace()()(),()ttftftuteute变换将原函数变形为乘上项解决后一问题，乘上往往能解决前一问题。2、Laplace变换的定义定义：00Laplace()()()[()]()[()]().ststFsftedtftftFsftftedtsjw若存在，则称之为的变换，记为。即其中，LL3、Laplace变换与Fourier变换的关系0()[()]()()()[()()]sttjwttFsftftedtftuteedtftuteLF1()[()]ftFs称为拉氏逆变换。L例1：Laplace0t01(2)1t0,()()(),ktftutfte求下述函数的变换（）解：00[()]()ststututedtedtL0110Re()()|stsess当时，上式等于（1）10[()]Re()utss即，（）L（2）00()[()]ktstsktfteedtedtL0(Re(),Re())sksk即011()(),|sktesksk1[],(Re())kteskskL[cosh]t例：计算L练习：Laplace3021()12404tfttt求下述函数的变换（）定理1（Laplace变换存在定理）()ft若函数满足下列条件：10200.()()()ctftttftMcftMe（）在的任一有限区间上分段连续（）当时，的增大是指数级的，即存在常数及，使得011Laplace()()()ReRestftFsftedtscscc则）的变换在半平面上存在，右端积分在上绝对收敛且一致收敛。二、Laplace变换存在定理02()Re()()()[()()]stFsscFstftedttft）在解析且L13,02)()()()jstjftFsedstj成立反演公式证明：1)(2)()()sttcttftefteMe由条件（）知，当充分大时，有110,,ccccc令则()sttfteMe则00()sttMftedtMedt＋＋故10()Re()stftedtscc＋则在上绝对收敛10()Re()stWeierstrassftedtscc再由广义积分一致收敛性的判别法，积分在上一致收敛2)00(())()()()[()()]ststdfteFsdttftedttftds由一致收敛性，L3)Fourier1122()()()()()(),ttjwtjwtftuteftuteFsedwFjwedw由变换和变换的关系，又满足积分定理，则有LF1(0)2,,()(),jstjsjwdsjdwftFsedstj作换元则上式成为1(0)2()(),tjwteftFjwedwt（＋）等式两端同乘，得证毕注：Laplacesin,cos,nttt常见函数等都满足变换存在性定理。例2：求下列函数的Laplace变换12()sin()cosftktftkt（）（）解：01()[sin]sinstktktedtL02jktjktsteeedtj2211102Re()ksjsjksjksk当时，上式222[]0()cos,(Re())sktssk类似可得，L例3：()mfttmLaplace求函数（为非负整数）的变换。解：0[]mmstttedtL1001[]|mstmsttemtedts10mstmtedts1mmts［］L[1221()[][][]mmmmmmtttss故LLL121()[()]mmmutsL1!mms)0)(Re(s1110[][],Re()tss对于一般的，L10[]xxedx注记：函数是一类重要的特殊函数，定义为11112[][],[]()性质例4：001[]1()Re()()()TstsTTftsftftedte对于周期为的函数，证明：当时，L证明：0[()]()stftftedtL10()()kTstkTkftedt00()()tkTTskTkfkTed00()TsTkskefed011()TssTfede注意：Laplace变换的扩展定义0Laplace()[()]()sttftftedt当涉及到广义函数（如单位脉冲函数）时，需要将变换的定义扩展为L0t01()[()]()()ststtttedttedt该扩展定义与前述定义的不同处在于，现在把认定为包含在积分限内，因此，对于L例5：=20=22()(),(),TbftttbftbtbtbftLaplace设周期为的函数在一个周期内的表达式为求的变换。11222201!(1)(),()(1)(2)()1(3)(4)cos,sin(5)()1(6)()1()()1mmktTstsTLaplacemututtssuttseskskktktsksktftTftftedte常见的基本变换对若是以为周期的周期函数，则LLLLLLLL三、Laplace逆变换1LaplaceLaplace()()()()ftFsFsft、变换：逆变换：2Laplace、逆变换的计算1211012Res(),,(),Re()()[()]()[(),],njjstjnstkkFsssssFsssftFsFsedtjFses若函数除孤立奇点外处处解析，且当时选取使得所有奇点均在左半平面内，则有L0()t定理2解例622Laplace+1()Fss求的逆变换22+1()Fssisis有两个一级极点和2222Res[Res[+1+1(),],]ststeeftiiss2222(+1)(+1)||ststsisieess22=2222ititititeeeeiii=2(0)sintt例721Laplace1()()Fsss求的逆变换解21011()()Fsssss有一级极点和二级极点，则]1,)1(Res[]0,)1(Res[)(22ssessetfstst201lim(1)|ststssededsss11(0)()tett例81Laplace123()()()()Fssss求的逆变换解1123123()()()()Fsssss有三个一级极点、、]3,)3)(2)(1(Res[]2,)3)(2)(1(Res[]1,)3)(2)(1(Res[)(sssesssesssetfststst|||321)2)(1()3)(1()3)(2(sstsstsstssessesse23(0)61510ttteeet例9221Laplace1()()Fsss求的逆变换解222211111()()()Fsssss1122111()[][]ftssLL(0)sinttt例10421Laplace+54()Fsss求的逆变换练习22222()Laplace1(1)()41(2)()6(3)()()()(4)()(1)(4)FsFsssFsssscFssasbsFsss求下列函数的逆变换