【新步步高】2018版高考数学(理)一轮复习第六章6.4数列求和

§6.4数列求和基础知识自主学习课时作业题型分类深度剖析内容索引基础知识自主学习Sn＝na1＋an2＝.1.等差数列的前n项和公式知识梳理na1＋nn－12d2.等比数列的前n项和公式Sn＝na1，q＝1，a1－anq1－q＝，q≠1.a11－qn1－q(2)1＋3＋5＋7＋…＋2n－1＝.(3)2＋4＋6＋8＋…＋2n＝.(1)1＋2＋3＋4＋…＋n＝.3.一些常见数列的前n项和公式nn＋12(4)12＋22＋…＋n2＝nn＋12n＋16.n(n＋1)n2数列求和的常用方法(1)公式法等差、等比数列或可化为等差、等比数列的可直接使用公式求和.(2)分组转化法把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解.(3)裂项相消法把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项.知识拓展常见的裂项公式①1nn＋1＝1n－1n＋1；②12n－12n＋1＝1212n－1－12n＋1；③1n＋n＋1＝n＋1－n.(4)倒序相加法把数列分别正着写和倒着写再相加，即等差数列求和公式的推导过程的推广.(5)错位相减法主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和，即等比数列求和公式的推导过程的推广.(6)并项求和法一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和.形如an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解.例如，Sn＝1002－992＋982－972＋…＋22－12＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5050.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)如果数列{an}为等比数列，且公比不等于1，则其前n项和Sn＝a1－an＋11－q.()思考辨析(2)当n≥2时，1n2－1＝12(1n－1－1n＋1).()(3)求Sn＝a＋2a2＋3a3＋…＋nan之和时，只要把上式等号两边同时乘以a即可根据错位相减法求得.()√√×(4)数列{12n＋2n－1}的前n项和为n2＋12n.()(5)推导等差数列求和公式的方法叫做倒序求和法，利用此法可求得sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin288°＋sin289°＝44.5.()√×1.(2017·潍坊调研)设{an}是公差不为0的等差数列，a1＝2，且a1，a3，a6成等比数列，则{an}的前n项和Sn等于A.n2＋7n4B.n2＋5n3C.2n2＋3n4D.n2＋n考点自测答案解析A.2016B.2017C.2018D.20192.(教材改编)数列{an}中，an＝1nn＋1，若{an}的前n项和Sn＝20172018，则n等于答案解析an＝1nn＋1＝1n－1n＋1，Sn＝a1＋a2＋…＋an＝(1－12＋12－13＋…＋1n－1n＋1)＝1－1n＋1＝nn＋1.令nn＋1＝20172018，得n＝2017.3.数列{an}的通项公式为an＝(－1)n－1·(4n－3)，则它的前100项之和S100等于A.200B.－200C.400D.－400答案解析S100＝(4×1－3)－(4×2－3)＋(4×3－3)－…－(4×100－3)＝4×[(1－2)＋(3－4)＋…＋(99－100)]＝4×(－50)＝－200.4.若数列{an}的通项公式为an＝2n＋2n－1，则数列{an}的前n项和Sn＝____________.Sn＝21－2n1－2＋n1＋2n－12＝2n＋1－2＋n2.答案解析2n＋1－2＋n25.数列{an}的通项公式为an＝ncosnπ2，其前n项和为Sn，则S2017＝________.答案解析1008因为数列an＝ncos呈周期性变化，观察此数列规律如下：nπ2a1＝0，a2＝－2，a3＝0，a4＝4.故S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝2.a5＝0，a6＝－6，a7＝0，a8＝8，故a5＋a6＋a7＋a8＝2，∴周期T＝4.∴S2017＝S2016＋a2017＝20164×2＋2017·cos20172π＝1008.题型分类深度剖析题型一分组转化法求和例1已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋n2，n∈N*.(1)求数列{an}的通项公式；解答当n＝1时，a1＝S1＝1；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2＋n2－n－12＋n－12＝n.a1也满足an＝n，故数列{an}的通项公式为an＝n.(2)设bn＝2＋(－1)nan，求数列{bn}的前2n项和.解答21－22n1－2由(1)知an＝n，故bn＝2n＋(－1)nn.记数列{bn}的前2n项和为T2n，则T2n＝(21＋22＋…＋22n)＋(－1＋2－3＋4－…＋2n).记A＝21＋22＋…＋22n，B＝－1＋2－3＋4－…＋2n，则A＝＝22n＋1－2，B＝(－1＋2)＋(－3＋4)＋…＋[－(2n－1)＋2n]＝n.故数列{bn}的前2n项和T2n＝A＋B＝22n＋1＋n－2.na引申探究本例(2)中，求数列{bn}的前n项和Tn.解答思维升华分组转化法求和的常见类型(1)若an＝bn±cn，且{bn}，{cn}为等差或等比数列，可采用分组求和法求{an}的前n项和.(2)通项公式为an＝bn，n为奇数，cn，n为偶数的数列，其中数列{bn}，{cn}是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求和.提醒：某些数列的求和是将数列转化为若干个可求和的新数列的和或差，从而求得原数列的和，注意在含有字母的数列中对字母的讨论.跟踪训练1已知数列{an}的通项公式是an＝2·3n－1＋(－1)n·(ln2－ln3)＋(－1)nnln3，求其前n项和Sn.解答题型二错位相减法求和例2(2016·山东)已知数列{an}的前n项和Sn＝3n2＋8n，{bn}是等差数列，且an＝bn＋bn＋1.(1)求数列{bn}的通项公式；解答设数列{bn}的公差为d.由a1＝b1＋b2，a2＝b2＋b3，由题意知，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝6n＋5，当n＝1时，a1＝S1＝11，满足上式，所以an＝6n＋5.即11＝2b1＋d，17＝2b1＋3d，可解得b1＝4，d＝3，所以bn＝3n＋1.(2)令cn＝an＋1n＋1bn＋2n，求数列{cn}的前n项和Tn.解答思维升华错位相减法求和时的注意点(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“Sn－qSn”的表达式；(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解.跟踪训练2设等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，等比数列{bn}的公比为q，已知b1＝a1，b2＝2，q＝d，S10＝100.(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；解答由题意有10a1＋45d＝100，a1d＝2即2a1＋9d＝20，a1d＝2，解得a1＝1，d＝2或a1＝9，d＝29.故an＝2n－1，bn＝2n－1或an＝192n＋79，bn＝9·29n－1.(2)当d1时，记cn＝anbn，求数列{cn}的前n项和Tn.解答由d1，知an＝2n－1，bn＝2n－1，故cn＝2n－12n－1，于是Tn＝1＋32＋522＋723＋924＋…＋2n－12n－1，①12Tn＝12＋322＋523＋724＋925＋…＋2n－12n.②①－②可得12Tn＝2＋12＋122＋…＋12n－2－2n－12n＝3－2n＋32n，故Tn＝6－2n＋32n－1.题型三裂项相消法求和命题点1形如an＝1nn＋k型例3(2015·课标全国Ⅰ)Sn为数列{an}的前n项和.已知an0，＋2an＝4Sn＋3.(1)求{an}的通项公式；a2n解答(2)设bn＝1anan＋1，求数列{bn}的前n项和.解答由an＝2n＋1可知bn＝1anan＋1＝1(2n＋1)(2n＋3)＝1212n＋1－12n＋3.设数列{bn}的前n项和为Tn，则Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝1213－15＋15－17＋…＋12n＋1－12n＋3＝n3(2n＋3).命题点2形如an＝1n＋n＋k型例4已知函数f(x)＝xa的图象过点(4,2)，令an＝1f(n＋1)＋f(n)，n∈N*.记数列{an}的前n项和为Sn，则S2017＝___________.2018－1答案解析思维升华(1)用裂项相消法求和时，要对通项进行变换，如：1n＋n＋k＝1k(n＋k－n)，1nn＋k＝1k(1n－1n＋k)，裂项后可以产生连续相互抵消的项.(2)抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项.跟踪训练3在数列{an}中，a1＝1，当n≥2时，其前n项和Sn满足S2n＝anSn－12.(1)求Sn的表达式；解答(2)设bn＝Sn2n＋1，求{bn}的前n项和Tn.解答∵bn＝Sn2n＋1＝1(2n－1)(2n＋1)＝1212n－1－12n＋1，∴Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝12[(1－13)＋(13－15)＋…＋(12n－1－12n＋1)]＝121－12n＋1＝n2n＋1.四审结构定方案审题路线图系列典例(12分)已知数列{an}的前n项和Sn＝－12n2＋kn(其中k∈N*)，且Sn的最大值为8.(1)确定常数k，并求an；(2)设数列9－2an2n的前n项和为Tn，求证：Tn4.审题路线图规范解答课时作业1.数列112，314，518，7116，…，(2n－1)＋12n，…的前n项和Sn的值等于A.n2＋1－12nB.2n2－n＋1－12nC.n2＋1－12n－1D.n2－n＋1－12n√12345678910111213答案解析该数列的通项公式为an＝(2n－1)＋12n，则Sn＝[1＋3＋5＋…＋(2n－1)]＋(12＋122＋…＋12n)＝n2＋1－12n.123456789101112132.(2016·西安模拟)设等比数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝2016，且an＋2an＋1＋an＋2＝0(n∈N*)，则S2016等于A.0B.2016C.2015D.2014√答案解析∵an＋2an＋1＋an＋2＝0(n∈N*)，∴an＋2anq＋anq2＝0，q为等比数列{an}的公比，即q2＋2q＋1＝0，∴q＝－1.∴an＝(－1)n－1·2016，∴S2016＝(a1＋a2)＋(a3＋a4)＋…＋(a2015＋a2016)＝0.123456789101112133.等差数列{an}的通项公式为an＝2n＋1，其前n项和为Sn，则数列的前10项的和为A.120B.70C.75D.100Snn√答案解析因为Snn＝n＋2，所以Snn的前10项和为10×3＋10×92＝75.123456789101112134.在数列{an}中，若an＋1＋(－1)nan＝2n－1，则数列{an}的前12项和等于A.76B.78C.80D.82√答案解析由已知an＋1＋(－1)nan＝2n－1，得an＋2＋(－1)n＋1·an＋1＝2n＋1，得an＋2＋an＝(－1)n(2n－1)＋(2n＋1)，取n＝1,5,9及n＝2,6,10，结果相加可得S12＝a1＋a2＋a3＋a4＋…＋a11＋a12＝78.故选B.123456789101112135.已知函数f(n)＝n2当n为奇数时，－n2当n为偶数时，且an＝f(n)＋f(n＋1)，则a1＋a2＋a3＋…＋a100等于A.0B.100C.－100D.10200√答案解析由题意，得a1＋a2＋a3＋…＋a100＝12－22－22＋32＋32－42－42＋52＋…＋992－1002－