第二章 系统的数学模型(2011第3讲)

第3讲控制理论的发展历程自动控制系统定义控制系统的分类自动控制系统特点及对控制系统的基本要求机械工程控制论的研究对象与任务系统特性及其数学模型系统方框图及系统反馈复习上一讲内容石家庄铁道大学机械工程学院第一章练习题1.1、机械工程控制论的研究对象和任务是什么？1.8、对控制系统的基本要求是什么？1.9、将学习本课程作为一个动态系统来考虑，试分析这一动态系统的输入、输出及系统的固有特性各是什么？应采取什么措施来改善系统特性，提高学习质量？石家庄铁道大学机械工程学院第二章系统的数学模型Mathematicalmodelsofsystems研究与分析一个系统，不仅要定性地了解系统的工作原理及其特性，而且要定量地描述系统的动态特性。为揭示系统的结构、参数与其动态特性之间的关系，有必要建立系统的数学模型，即将物理系统在信号传递过程中的动态特性用数学表达式描述出来。建立数学模型(MathematicalModelling)定量分析或设计计算的前提。2.1系统的微分方程1、系统的数学模型及其形式DefinitionofMathematicalmodelofsystem⑴系统的数学模型系统的数学模型是描述系统各变量之间关系的数学表达式，是系统动态特性的数学描述。系统的数学模型可分为静态、动态数学模型。对于给定的动态系统，数学模型不是唯一的。但对于线性系统，它们之间是等价的。针对具体问题，选择不同的数学模型。以微分方程为基础的数学模型经典控制理论采用的数学模型主要以传递函数为基础；现代控制理论采用的数学模型主要以状态空间方程为基础。经典控制理论最常用的数学模型是时域中的微分方程（differentialequations）、复域中的传递函数(TransferFunction)和频域中的频率特性(FrequencyResponse)。微分方程又是最基本的数学模型，是列写传递函数和状态空间方程的基础。一般来说，可以通过分析系统的运动状态来建立微分方程，再将其转化为系统的传递函数形式，以利于对系统进行深入研究、分析和综合。静态数学模型反映系统处于平衡点（稳态）时，系统状态有关属性变量之间关系的数学模型。即只考虑同一时刻实际系统各物理量之间的数学关系，不管各变量随时间的演化，输出信号与过去的工作状态（历史）无关。因此静态模型都是代数式，数学表达式中不含有时间变量。动态数学模型描述动态系统瞬态与过渡态特性的模型。也可定义为描述实际系统各物理量随时间演化的数学表达式。动态系统的输出信号不仅取决于同时刻的激励信号，而且与它过去的工作状态有关。微分方程或差分方程常用作动态数学模型。⑵系统数学模型的形式同一系统的数学模型可以有多种形式：时间域：如微分方程/差分方程、状态方程复数域：传递函数、结构图频率域：频率特性这些模型之间都有着内在的联系，可以相互进行转换。⑶数学模型的特点相似性数学模型可能相同，即具有相同的运动规律。方程的符号抽象为变量，系数抽象为参数。结论具有一般性。简化性和准确性：常在误差允许的条件下忽略一些对特性影响较小的物理因素，用简化的数学模型来表达实际系统。2、线性系统(linearsystem)和非线性系统(Nonlinearsystem)系统按其微分方程是否线性这一特性，可以分为线性系统和非线性系统。⑴线性系统：系统的运动状态可以用线性微分方程来表示。线性系统有一个重要的特性即满足叠加原理（Principleofsuperposition）：)()(:)()()(:2121xafaxfxfxfxxf齐次性可加性当多个输入信号同时作用于系统时，系统的输出等于各个输入信号单独作用时系统的输出之和。线性系统的优点是可运用线性理论对系统进行分析和设计。线性系统又分为线性定常系统和线性时变系统：线性定常系统：系统微分方程的系数均为常数。其特点是系统响应曲线的形态只取决于具体的输入，与输入信号的时间起点无关。线性时变系统：系统微分方程的系数为时间的函数。⑵非线性系统：系统中存在一个或多个非线性元件，此时系统只能用非线性微分方程来描述。非线性系统不满足叠加原理。系统是否线性这一特征，不随系统模型形式的不同而改变。线性与非线性是系统的固有特性，完全由系统的结构和参数确定。Thedifferentialequationsdescribingthedynamicperformanceofaphysicalsystemareobtainedbyutilizingthephysicallawsoftheprocess.Howtogetthedifferentialequationsofphysicalsystems?3、系统数学模型的建立基础及其方法⑴建立数学模型的基础①机械运动三要素质量M--m为质量时有：)()()(22txdtdmtvdtdmtfm其中分别为力、速度和位移。，tfm)(，tv)()(tx弹簧K--k为弹性系数时有：dttvkdttvtvktkxtxtxktfk)()]()([)()]()([)(2121)(),(21txtx为弹簧两端参考点。，tfk)(，tv)()(tx分别为力、速度和位移。其中阻尼B：B为阻尼系数时，有：dttdxBdttdxdttdxBtkvtvtvBtfB)(])()([)()]()([)(2121)(),(21txtx为阻尼两端参考点。分别为力、速度和位移。，tfB)(，tv)()(tx机械运动遵循：牛顿定律、能量守恒定律。其中，②电气系统三元件电阻：)()(tRitu电容：dttictu)(1)(电感：dttdiLtu)()(电路系统遵循欧姆定理、基尔霍夫定律。③热学：遵循传热定理、热平衡定律⑵建立数学模型的方法系统建模是经典控制理论和现代控制理论的基础。建立系统模型的方法有分析法和实验辨识法两种。前者主要用于对系统结构和参数的认识都比较清楚的简单系统，而后者通常用于对系统结构和参数有所了解，而需要进一步精化系统模型的情况。对复杂系统的建模往往是分析法与实验辨识法相结合的多次反复的过程。在建模的过程中还要正确处理模型简化和模型精度的辩证关系，以建立简单且能满足要求的数学模型。分析法（Analyticalmethod）又称解析法。它是根据系统及元件的特点和连接关系，按照它们所遵循的物理、化学等定律，列写出各物理量之间的数学关系式。实验法（Experimentalmethod）通过对系统施加典型的测试信号，如阶跃信号、脉冲或正弦信号等，记录系统的时间响应曲线或频率响应曲线，从而估算出系统的传递函数。解析方法适用于简单、典型、常见的系统，而实验方法适用于复杂、非常见的系统。实际上把这两种方法结合起来建立数学模型更为有效。分析法和实验辨识法的应用习惯上把用微分方程的求解、分析系统的方法称为数学分析法，把用传递函数、频率特性求解、分析系统的方法称为工程分析法。一般来说，工程分析法比数学分析法直观、方便，这也是我们引入复域、频域数学模型的主要原因。4、控制系统微分方程的编写控制系统一般由若干元件组成，列写微分方程的一般步骤是：①根据元件的工作原理和在系统中的作用，确定元件的输入量和输出量（必要时还要考虑扰动量），并根据需要引进一些中间变量---划分环节，确定变量；②按照信号的传递顺序，从系统的输入端出发，根据各元件在工作过程中所遵循的物理或化学定律，按工作条件忽略一些次要因素，并考虑相邻元件的彼此影响，列出系统各个环节的动态微分方程；③消去上述各方程中的中间变量，最后得到只包含描述输出量与输入量（包括扰动量）关系的微分方程；④将微分方程标准化。与输入有关的项写在方程的右边，与输出有关的项写在方程的左边，方程的各阶导数按降幂排列。以下举例说明建立系统微分方程的步骤和方法。例1图2.1.1所示为由两个形式相同的RC电路串联而成的滤波网络，试写出以输出电压和输入电压为变量的滤波网络的微分方程。解：根据克希荷夫定律，可写出如下原始方程式：22221122221211111)(11)(1udtiCdtiiCdtiCRiudtiiCRi消去中间变量和后得到系统的微分方程：1222122112222211)(uudtduCRCRCRdtudCRCR---(2.1.1)注意：不能把两个环节孤立起来，若分为两个独立环节则有：设前一环节的输出为，tu)(2*则有：dtiCuuRidtiC112*1111111对后一环节有:dtiCuuRidtiC2222*222211消去中间变量后得:12222112222211)(uudtduCRCRdtudCRCR显然，后面的算法没有考虑到两个环节之间的负载效应，即相邻环节之间的信息反馈作用。只有当后一环节的输入阻抗很大，而前一环节的输出阻抗与其相比可以忽略的情况下，方可使用后一种方案。根据牛顿定理，可列出质量块的力平衡方程如下：这也是一个两阶定常微分方程。X为输出量，F为输入量。在国际单位制中，m,f和k的单位分别为：FkxxfxmmNmsNkg/,/.,[例2]求弹簧-阻尼-质量的机械位移系统的微分方程。输入量为外力F，输出量为位移x。[解]：图1和图2分别为系统原理结构图和质量块受力分析图。图中，m为质量，f为粘性阻尼系数，k为弹性系数。mfmFFxfxm图2图1xkkx5、非线性系统的线性化在经典控制领域，主要研究的是线性定常系统。许多实际的物理系统或多或少都存在一些非线性因素，只是在一定的条件和范围内具有线性特性，但在一定范围内，经过线性化处理，可以用一个线性化模型来研究它的特性，即所谓的近似数学模型。非线性方程局部线性增量方程一、线性化定义：将一些非线性方程在一定的工作范围内用近似的线性方程来代替，使之成为线性定常微分方程。二、线性化方法：运用微分方程的增量化表示微分方程的增量化表示是指写出非线性方程的局部线性增量方程，假定在控制系统的整个调节过程中，所有变量与稳态值之间只会产生足够小的偏差。三、增量方程的数学定义将参考点的原点移到系统或元件的平衡点/静态工作点上。对实际系统而言，此点即系统运动起始点，初始条件为零。此点的增量化方程满足叠加原理。微分方程的增量化表示运用示例例3下图为电枢控制式直流电机原理图（见课本P28图2.1.2）。其中，总的负载力矩。当激励不变时，用电枢控制的情况下，u为给定输入，LM为干扰输入，为输出。系统中电动机旋转时电枢两端的反电动势为，edi为电动机的电枢电流，M为电动机的电磁力矩。u为电枢两端的控制电压，为电机的旋转角速度，LM为折合到电机轴上的由克希荷夫定律，电机电枢回路方程如下：ueRidtdiLd当磁通固定不变时，有：，kedddk为反电势常数。设J为转动部分折合到电动机轴上的总的转动惯量，则根据刚体的转动定律，电动机转子的运动方程为：有：LMMdtdJ当激励磁通固定不变时，有：，ikMm其中mk为电动机磁力矩常数。消去中间变量得：LmdLmddmdmdMkkRdtdMkkLukdtdkkRJdtdkkLJ122--(2.1.3)令mmddmmdCJTCkTkkRJTRL/,/1,)/(,/在上式中，若电机处于平衡状态，则变量的各阶导数均为零，微分方程变为代数方程。即：则上式简化为:LmLmdmmMCdtdMTCuCdtdTdtdTT22---(2.1.4)LmdMCuC----(2.1.5)电机工作在平衡状态下时，设所对应的输入量和输出量分别为：000,,LLMMuu当输入量在平衡点附近产生增量LMu,时，输出量产生增量将以下各式：000,,LLLMMMuuu代入式(2.1.4)，并考虑到0000LmdMCuC可得电动机微分方程在该平衡状态附近的增量化表示式：LmL