对流传热基础及微分方程组

制作【学习任务】本章首先从对流传热物理过程的角度，定性的分析对流传热的影响因素，然后较为深入地讨论对流传热过程的数学描写。我会尽可能为大家建立一个较为全面的对流传热概念框架，为接下来几章更为深入学习对流传热打下基础。【主要学习提纲】1.热对流和对流传热的概念2.工程中热对流的概念（边界层的导热与其它部分的热对流）3.影响对流换热的因素分析4.建立温度场与表面传热系数的数学联系5.对流换热基本方程（主要是能量方程的推导）6.其他补充内容热对流：依靠流体的流动将热量从一处传递到另一处的现象，即运动的流体质点以热焓形式将热量带走。能量传递中，流体是能量的携带者或传递者。热对流只发生在运动的流体中。流体运动时，流体微团运动的同时，伴随有微观粒子的热运动，即导热，热对流与导热同时发生，两者密不可分。对流换热：工程概念，指流动流体与固体壁面或其他界面之间的换热。对流传热是由流体宏观流动所产生的热量转移（热对流）以及流体中分子的微观热运动所产生的热量转移（热传导）联合作用的结果。即：对流传热=热对流+热传导研究对流传热问题的关键和难点是确定公式中的表面传热系数h。牛顿冷却公式只是对流传热表面换热系数h的一个定义式，它没有揭示出表面传热系数与影响它的有关物理量之间的内在联系。对流换热的换热量用牛顿冷却公式计算。对单位面积有：q=h(tw－tf)=htm对面积为A的接触面：=Ah(tw－tf)=Ahtm式中，tm为换热面积A上的平均温差。约定q及总是取正值,因此t及tm也总是取正值.对流换热是流体的导热和对流两种基本传热方式共同作用的结果，因此，凡是影响流体导热和对流的因素都将对对流换热产生影响。主要有五个方面：(1)流动的起因：影响速度分布与温度分布。一般情况下，自然对流的流速较低，因此自然对流换热通常比强制对流换热弱，表面传热系数要小。强制对流换热自然对流换热(2)流动的状态层流紊流：流速缓慢，流体分层地平行于壁面方向流动，垂直于流动方向上的热量传递主要靠分子扩散（即导热）。：流体内存在强烈的脉动和旋涡，使各部分流体之间迅速混合，因此紊流对流换热要比层流对流换热强烈，表面传热系数大。(3)流体有无相变沸腾换热凝结换热(4)流体的物理性质热导率，W/(mK)，愈大，流体导热热阻愈小，对流换热愈强烈；密度，kg/m3比热容c，J/(kgK)。c反映单位体积流体热容量的大小，其数值愈大，通过对流所转移的热量愈多，对流换热愈强烈；动力粘度，Pas；运动粘度＝/，m2/s。流体的粘度影响速度分布与流态，因此影响对流换热；体积膨胀系数，K-1。11ppvvtt对于理想气体，pv=RT，代入上式，可得=1/T。体胀系数影响重力场中的流体因密度差而产生的浮升力的大小，因此影响自然对流换热。对于同一种不可压缩牛顿流体，其物性参数的数值主要随温度而变化。用来确定物性参数数值的温度。称为定性温度。在分析计算对流换热时，定性温度的取法取决于对流换热的类型。(5)换热表面的几何因素换热表面的几何形状、尺寸、相对位置以及表面粗糙度等几何因素将影响流体的流动状态，因此影响流体的速度分布和温度分布，对对流换热产生影响。影响对流换热的因素很多，表面传热系数是很多变量的函数，wf,,,,,,,,,phfuttcl特征长度（定型尺寸）几何因素分析法数值法试验法比拟法理论分析、数值计算和实验研究相结合是目前被广泛采用的解决复杂对流换热问题的主要研究方式。除稀薄气体外，连续介质的假设同样适用于对流换热，因而连续介质力学与热力学的一些基本定律仍然适用，微元体和控制体的方法始终贯穿于对流换热的分析当中。接下来，我们将重点解决对流换热的数学描述问题，和流体力学中相似，我们需要从质量、动量角度建立平衡方程，而相比流体力学，我们要重点讨论能量方程，也就是热的平衡方程的讨论。我们再来解决进入正题之前的最后一个问题——如何从解得的温度场来计算表面传热系数分析法和数值法得到的直接结果是流体的温度分布，但我们一般需要的是表面传热系数。两者之间有何关系？当粘性流体流过壁面时，在贴近壁面处存在一个静止的极薄的流体层（流体力学中的无滑移边界条件），如图所示：壁面与流体的热量传递必须要穿过该静止薄层。很显然，热量穿过该薄层的传递方式只有导热一种方式（忽略辐射），而不可能有热对流。0yytq由于两式相等，故有：0)(yfwyttth整理得：0)(yfwyttth对流传热过程中，壁面与流体的对流传热量应当等于贴壁处流体薄层的导热量。不妨假定twtf，则：对流传热量：通过静止薄层导热量：上式建立了流体温度场和表面传热系数之间的关系，也称为“对流传热微分方程式”。（公式对流体被加热或被冷却均成立），注意与我们将要讨论的“对流传热微分方程组”（用来描述流体压力、速度和温度分布的方程组）进行区分。)(fwtthqQ&A：对流传热微分方程式和导热问题的第三类边界条件形式上有些类似，它们之间的区别是什么？答：导热问题的第三类边界条件中，h是作为已知量给出，而在对流传热微分方程中，h是未知量；另外，第三类边界条件中，λ为固体的导热系数，而此处，λ为流体的值。对流换热问题完整的数学描写包括对流传热微分方程组及其定解条件。前者包括质量守恒、动量守恒及能量守恒这三大守恒定律的数学表达式。首先，就我们已经比较熟悉的质量守恒、动量守恒微分方程式的推导作扼要说明：由于由二维流场的结论很容易推得三维的情况，故在推导过程中，优先采用二维讨论，并在最后给出三维的结论。对于闭口系统，质量是守恒的，对于开口系统，通过系统的质量是“连续的”。同流体力学一样，我们选取流场中的某一微元体作为研究对象，建立质量、动量和能量的守恒关系。对流换热的发展与流体力学密切相关。正确理解和掌握传热学和流体力学的基本规律是研究对流换热的基础。微元体和控制体的方法始终贯穿于对流换热的分析之中。0)()(yvxu通过消去控制体体积得：拓展到三维表达式为：0)()()(zwyvxu其矢量形式为0)(Vdiv0divVDD对于不可压缩流体，密度ρ为常量，则得到连续性方程：若定义全导数算符𝐷𝐷𝜏，则上式可以表示为：二维连续性方程：0uvxy三维连续性方程：0zwyvxu取微小六面体ABCDEFGH，其平行于坐标轴各边的长度为dx，dy，dz，其质量为：M=ρdxdydz。单位质量流体所受的质量力在三个坐标轴方向的分量为：X，Y，Z.现着重分析作用在六面体表面上的表面应力。在六面体的各表面上，除了与受压面垂直的法向应力p外，还有切向应力τ分别垂直于p而平行于作用面的坐标轴。𝜌𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧𝑋+𝑝𝑥𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧−𝑝𝑥𝑥+𝜕𝑝𝑥𝑥𝜕𝑥𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧−𝜏𝑦𝑥𝑑𝑥𝑑𝑧+𝜏𝑦𝑥+𝜕𝜏𝑦𝑥𝜕𝑦𝑑𝑦𝑑𝑥𝑑𝑧−𝜏𝑧𝑥𝑑𝑥𝑑𝑦+𝜏𝑧𝑥+𝜕𝜏𝑧𝑥𝜕𝑧𝑑𝑧𝑑𝑥𝑑𝑦=𝜌𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧𝑑𝑢𝑥𝑑𝑡用质量M=ρdxdydz除上式，简化得单位质量的力的总和等于沿x轴向加速度的平衡式：𝑋+1ρ（−𝜕𝑝𝑥𝑥𝜕𝑥+𝜕𝜏𝑦𝑥𝜕𝑦+𝜕𝜏𝑧𝑥𝜕𝑧)=𝑑𝑢𝑥𝑑𝑡同理可得：𝑌+1ρ（+𝜕𝜏𝑥𝑦𝜕𝑥−𝜕𝑝𝑦𝑦𝜕𝑦+𝜕𝜏𝑧𝑦𝜕𝑧)=𝑑𝑢𝑦𝑑𝑡𝑍+1ρ（+𝜕𝜏𝑥𝑧𝜕𝑥+𝜕𝜏𝑦𝑧𝜕𝑦−𝜕𝑝𝑧𝑧𝜕𝑧)=𝑑𝑢𝑧𝑑𝑡对于切向应力：据Stokes公式：𝜏𝑖𝑗=𝜇(𝜕𝑢𝑖𝜕𝑥𝑗+𝜕𝑢𝑗𝜕𝑥𝑖)𝜏𝑥𝑥=2𝜇𝜕𝑢𝑥𝜕𝑥𝜏𝑦𝑥=𝜇(𝜕𝑢𝑦𝜕𝑥+𝜕𝑢𝑥𝜕𝑦)𝜏𝑧𝑥=𝜇(𝜕𝑢𝑧𝜕𝑥+𝜕𝑢𝑥𝜕𝑧)容易知道：𝜏𝑖𝑗=𝜏𝑗𝑖对于法向应力：在不可压缩实际流体中，上述微元六面体趋于点A时，pxx、pyy、pzz就成为该点各坐标轴向压应力。他们彼此是不相等的。而他们的算术平均值p就称为水动压强。有以下结论：𝑝𝑥𝑥=p−2μ𝜕𝑢𝑥𝜕𝑥𝑝𝑦𝑦=p−2μ𝜕𝑢𝑦𝜕𝑦𝑝𝑧𝑧=p−2μ𝜕𝑢𝑧𝜕𝑧其中：𝑝=𝑝𝑥𝑥+𝑝𝑦𝑦+𝑝𝑧𝑧3将切向应力和法向应力与变形间的关系式带入实际流体运动微分方程式中，可得到N-S方程。𝑋−1ρ𝜕𝑝𝜕𝑥+ν𝜕2𝑢𝑥𝜕𝑥2+𝜕2𝑢𝑥𝜕𝑦2+𝜕2𝑢𝑥𝜕𝑧2=𝜕𝑢𝑥𝜕𝑡+𝑢𝑥𝜕𝑢𝑥𝜕𝑥+𝑢𝑦𝜕𝑢𝑥𝜕𝑦+𝑢𝑧𝜕𝑢𝑥𝜕𝑧𝑌−1ρ𝜕𝑝𝜕𝑦+ν𝜕2𝑢𝑦𝜕𝑥2+𝜕2𝑢𝑦𝜕𝑦2+𝜕2𝑢𝑦𝜕𝑧2=𝜕𝑢𝑦𝜕𝑡+𝑢𝑥𝜕𝑢𝑦𝜕𝑥+𝑢𝑦𝜕𝑢𝑦𝜕𝑦+𝑢𝑧𝜕𝑢𝑦𝜕𝑧𝑍−1ρ𝜕𝑝𝜕𝑧+ν𝜕2𝑢𝑧𝜕𝑥2+𝜕2𝑢𝑧𝜕𝑦2+𝜕2𝑢𝑧𝜕𝑧2=𝜕𝑢𝑧𝜕𝑡+𝑢𝑥𝜕𝑢𝑧𝜕𝑥+𝑢𝑦𝜕𝑢𝑧𝜕𝑦+𝑢𝑧𝜕𝑢𝑧𝜕𝑧表示为向量形式为：𝜌𝐷𝑽𝐷𝜏=𝐹−𝛻𝑝+ν𝛻2𝑽如果介质是常物性的不可压缩流体，速度场与温度场无关，可以单独求解，因N-S方程和连续性方程构成了关于压力p和速度u,v,w的封闭方程组。对于可压缩流体，密度不是常量，即使其他物性参数保持常量，方程也不能单独求解，因为密度与温度有关，动量方程与能量方程是耦合的，通过补充密度和温度的关系式，同时求解动量方程和能量方程，或已知温度分布，才能获得速度分布。焓是一个热力学系统中的能量参数，公式仅为数值上相等。规定由字母H（单位：焦耳，J）表示。焓具有能量的纲，但没有明确的物理意义。可以理解为恒压且只做体积功的特殊条件下，Q=ΔH，即反应的热量变化。因为只有在此条件下，焓才表现出它的特性。例如恒压下对物质加热，则物质吸热后温度升高，ΔH0，所以物质在高温时的焓大于它在低温时的焓。又如对于恒压下的放热化学反应，ΔH0，所以生成物的焓小于反应物的焓。比焓可以理解为：工质进出热力系统，带入和带出的热力学能u和推动功p/ρ之和，它代表工质在流动中，沿流动方向向前传递的总能量中取决于热力状态的部分，因此焓可以看成是随工质转移的能量。H=U+PVℎ=𝑈+𝑝𝜌以左图中的微元体作为研究对象，单位时间由导热进入微元体的净热量和由对流进入微元体的净热量之和等于微元体热力学能的增加根据热力学第一定律：∅=𝜕𝑈𝜕𝜏+𝑞𝑚𝑜𝑢𝑡ℎ+12𝑣2+𝑔𝑧𝑜𝑢𝑡−𝑞𝑚𝑖𝑛ℎ+12𝑣2+𝑔𝑧𝑖𝑛+𝑊𝑛𝑒𝑡考虑到流体流过微元体时位能及动能的变化均可忽略不计，流体也不做功，于是有：∅=𝜕𝑈𝜕𝜏+𝑞𝑚𝑜𝑢𝑡ℎ𝑜𝑢𝑡−𝑞𝑚𝑖𝑛ℎ𝑖𝑛以上关系式对于三维情况同样适用，如左图所示。EWQQddddcondconv单位时间内由于热对流流体通过界面净携入控制体的能量dQconv、由于导热在界面处净导入控制体的热量dQcond（∅）和作用在界面上的力对控制体内流体所做的功dW之和，等于控制体内流体的总能量对时间的变化率dE∅=𝜕𝑈𝜕𝜏+𝑞𝑚𝑜𝑢𝑡ℎ𝑜𝑢𝑡−𝑞𝑚𝑖𝑛ℎ𝑖𝑛（∅）)(convQx方向净导入的能量为可得x方向的净导热量：zyxzTzyTyxTxdddzyxxqqzyxqxxxdd)d(ddd由傅里叶定律则单位时间内