第5讲――第2章

系统辨识基础第5讲第2章随机信号的描述与分析2.1随机过程的基本概念及其数学描述（第4讲）2.2谱密度函数（第4讲）2.3线性过程在随机输入下的响应（第5讲）2.4白噪声及其产生方法（书2.5）（第5讲）2.5M序列的产生及其性质（书2.6）(第6讲)2.3线性过程在随机输入下的响应2.3.1线性过程在随机输入下的输出谱密度2.3.2线性过程在随机输入下的互谱密度2.3.1线性过程在随机输入下的输出谱密度•对于如图所示线性系统2.3.1线性过程在随机输入下的输出谱密度•如果u和y是确定性过程()()()YjGjUj0()()()()()ytgtutgutd2.3.1线性过程在随机输入下的输出谱密度•如果u和y是随机过程，•证明：proof_for_第四讲_p66_线性过程在随机输入下的输出谱密度.doc•注意：u和y是平稳随机过程（系统到达随机意义下的平稳，不是过渡过程）0()()()()()ytgtutgutd2u()||()||(),yuSGjS如果和y是平稳随机过程2.3.2线性过程在随机输入下的互谱密度•对于上述线性系统，当u和y是平稳随机过程时，有()()()uyuSjGjS2.3.2线性过程在随机输入下的互谱密度•证明：000()()()()()()()()()()()()()()()()uyuuuyuREutytEutgutdEgututdgRdgRSjGjS2.4白噪声及其产生方法2.4.1白噪声的概念2.4.2表示定理与成形滤波器2.4.3(0,1)均匀分布随机数的产生2.4.4正态分布随机数的产生2.4.1白噪声的概念(1)白噪声过程的两种等价定义(2)白噪声过程的性质(3)多维白噪声过程(4)近似的白噪声过程(5)白噪声序列(6)多维白噪声序列(7)白噪声序列的用途(1)白噪声过程的两种等价定义•定义1：如果一个平稳随机过程w(t)具有恒定的功率谱密度函数，即在全频段内，有则称w(t)为白噪声过程。•覆盖全频带，白光光谱包含了所有可见光的频率2(),wwS(1)白噪声过程的两种等价定义(1)白噪声过程的两种等价定义•定义2：如果一个平稳随机过程w(t)具有如下的自相关函数，即则称w(t)为白噪声过程。2-0()d=100()(),(),,wwR(1)白噪声过程的两种等价定义(1)白噪声过程的两种等价定义•两种定义的等价性•根据Wiener-Khintchine定理，可以证明如果w(t)的自相关函数满足定义2，则其功率谱密度满足定义122()()()(2)白噪声过程的性质•白噪声的均值默认为零E(w)=0，否则，自相关函数不可能为冲激函数（函数）•白噪声无记忆性，任两个不同时刻的随机变量之间不相关，即•白噪声平均功率是平均功率=121221120cov(),()()()()()(),wwtwtEwtEwwtEwRtttt220()()wwEwtR(2)白噪声过程的性质•白噪声的频带无限宽，功率在频域上均匀分布（功率谱密度是直线）•白噪声在现实中不存在（时域、频域）•是否为白噪声与随机过程的分布无关（如正态分布白噪声，均匀分布白噪声，正态分布非白噪声过程，均匀分布非白噪声过程）•研究白噪声的目的，数学处理简单、方便，最优输入，易于辨识算法中噪声和干扰的分析与处理•有色噪声：不是白噪声的随机过程(3)多维白噪声过程•多维白噪声的定义其中，Q为正定的常数矩阵E0CovE()(),()()()()ttttt(4)近似的白噪声过程•低通白噪声：如果零均值平稳随机过程的功率谱密度在一定的频带内均匀分布，即则称其为低通白噪声过程（限带白噪声）•低通白噪声过程的自相关函数为（0越大，越近似于函数，图2.19）2000,(),wwS2000sin()()wwR(4)近似的白噪声过程•限带白噪声在处等于0，因此，如果以为采样时间采样限带白噪声过程，采样得到的样本两两互不相关(图2.19)0k0(4)近似的白噪声过程•另一种近似白噪声：如果零均值平稳随机过程w(t)的自相关函数Rw()近似为函数，即则视其为近似的白噪声•时间差超过一定的长度后不相关。（P28，例2.2）00|0|,|(),|wR有限值并迅速下降(5)白噪声序列•对于零均值平稳随机序列w(k)（只在离散时间点上定义），如果其不同时刻的随机变量两两不相关，则称其为白噪声序列，即210001000,(),,,()()(),wwllwlRlllRlEwkwkll即(5)白噪声序列•白噪声序列的谱密度函数•白噪声序列是实际存在的，因为只要求离散时刻的两两不相关*2()()jjl(5)白噪声序列•白噪声序列的例子(6)多维白噪声序列•多维白噪声序列E0CovE()(),()()()()kkklkklRlR为正定常数矩阵(7)白噪声序列的用途•作为最优输入信号，仿真产生白噪声序列的实现；•假定干扰为白噪声序列，简化问题的研究•假定干扰为有色噪声序列，则可以将其表示成白噪声通过成形滤波器的输出•利用白噪声序列的性质，简便辨识算法的求解或推导2.4.2表示定理与成形滤波器•设平稳噪声序列{e(k)}的谱密度Se()是的实函数，或是cos()的有理函数，那么必定存在一个渐近稳定的线性环节，使得如果环节的输入是白噪声序列时，则环节的输出是谱密度为Se()的平稳噪声序列。•满足上述条件的平稳随机序列e(k)，成形滤波器H(z1)=D(z1)/C(z1)，使得11DzekwkCz()()()()2.4.2表示定理与成形滤波器•表示定理的含义：–任何平稳有色噪声序列{e(k)}都可以表示成白噪声序列{w(k)}驱动的某个渐近稳定的线性系统H(z1)的输出–任何平稳随机序列都包含确定性和随机性两部分的作用。•确定性：参数化的成形滤波器，{w(k)}的统计特性•随机性：w(k)的取值2.4.2表示定理与成形滤波器•表示定理的作用：可以用白噪声+线性系统（成形滤波器）来表示有色噪声•在辨识中，经常假设随机干扰是白噪声通过线性系统的输出，如•注意：表示定理是存在性定理，并没有告诉我们如何找到适当的成形滤波器和白噪声。可以通过辨识的方法确定成形滤波器的参数和白噪声的方差1111()()()()()(),()()()DzAzzkBzukekekwkCz2.4.3(0,1)均匀分布随机数的产生•(0,1)均匀分布随机数i（随机序列）：在每个特定时刻i，i是(0,1)均匀分布的随机变量，即•不是白噪声序列•是产生其它随机序列（包括白噪声序列）的基础1010otheriip,(),2.4.3(0,1)均匀分布随机数的产生•乘同余法：①初始化：M=2k，k为充分大的正整数，A3(mod8)orA5(mod8),x0为正奇数。②xiAxi-1(modM)③ixi/M或将②③合并为②‘i取小数部分{Ai-1},0=x0/M2.4.3(0,1)均匀分布随机数的产生•i是伪随机序列，最大循环周期为2k-2，是(0,1)均匀分布随机序列的一个实现的近似（不同初值导致不同的实现）均值方差理论值0.50.08333=1/12实现的统计结果0.499530.083182.4.4正态分布随机数的产生•统计近似抽样法（i是(0,1)均匀分布随机序列，根据中心极限定理）•用多组长度为N的i来产生序列k11220112NNiiiiNNxNNN~(,)/212012NiiNxNN~(,)/2.4.4正态分布随机数的产生•k是伪随机序列，近似为白噪声序列的一个实现()均值方差(2=1)理论值01实现的统计结果－0.004341090.98224620N~(,)2.4.4正态分布随机数的产生•变换抽样法：设1,k和2,k是互相独立的(0,1)均匀分布随机序列，令则1,k和2,k是互相独立的服从N(0,1)分布的白噪声序列。12112122122logcos22logsin2kkkkkk,,,,,,