第三章 线性系统的能控性和能观性

多变量线性系统线性系统的能控性和能观性1第三章线性系统的能控性和能观性能控性和能观性的定义线性时变系统的能控性判据线性定常系统的能控性判据对偶原理与能观性判据线性系统的能控、能观性指数SISOS的能控规范型和能观规范型MIMOS的能控规范型和能观规范型多变量线性系统线性系统的能控性和能观性23.1能控性和能观性的定义3.2线性时变系统的能控性判据3.3线性定常系统的能控性判据3.4对偶原理与能观性判据3.5线性系统的能控、能观性指数3.6SISOS的能控规范型和能观规范型3.7MIMOS的能控规范型和能观规范型多变量线性系统线性系统的能控性和能观性33.1能控性和能观性的定义3.1.1问题的提出研究系统的目的：更好地了解系统、控制系统。了解系统的含义：系统的组成、结构、属性和运动规律等。控制系统的含义：当前状态经一定时间是否转移到期望状态。能控性问题：已知系统当前时刻及其状态，是否存在一个容许控制，使系统在该控制作用下于有限时间后到达希望的特定状态？能观性问题：已知某系统及其在某时间段上的输入和输出，可否依据这一时间段上的输入和输出决定系统这一时间段上的状态？多变量线性系统线性系统的能控性和能观性43.1.2能控性定义定义：对于线性时变系统，若对取定初始时刻t0J的一个非零初始状态x0,存在一个时刻t1J,t1t0和一个无约束的容许控制u(t),t[t0,t1],使得系统在此控制作用下，系统由x0出发的运动轨线经过时间t1-t0后由x0转移到x(t1)=0,则称x0是系统在t0时刻的一个能控状态。定义：对于线性时变系统，x00，都是在t0时刻的能控状态，则称系统在时刻t0是完全能控的；t0[T1,T2],系统均在t0时刻为能控的，称系统在[T1,T2]上是完全能控的。定义：对于系统取定初始时刻t0J，若状态空间存在一个非零状态在时刻t0是不可控的，则称系统在时刻t0是不完全能控的。注：1、状态转移对轨迹不加限制及规定；2、无约束表示幅值不加限制；3、容许控制：J上平方可积，能量有限；4、由零状态转移到非零状态，称为状态能达的。多变量线性系统线性系统的能控性和能观性53.1.3能观性定义的能观性的可能性，即估计时由等价于研究的任意性，和来完全估计，由于是否由能观性是研究令未知已知，内部状态变量假定D(t)uC(t)xyx)x(tA(t)x,xxyuxyyxxC(t)ΦD(t)u(tdτuBC(t)yyxyuD(t)u(tdτuBC(t)xC(t)Φy(t)D(t)uC(t)xyx)x(tB(t)u,A(t)xx0tttt000JttttttttttttJtLT,0)(),())()(),()()()(),())()(),(),(,:0000000000多变量线性系统线性系统的能控性和能观性6定义（状态能观测）：对于线性时变系统，若对取定初始时刻t0J的一个非零初始状态x0,存在一个有限时刻t1J,t1t0,使得有区间[t0,t1]上的系统输出可唯一地决定系统的初始状态x0，则称此x0在时刻t0为能观测的。（状态能观测）定义（状态不能观测）：对于线性时变系统，若对取定初始时刻t0J的一个非零初始状态x0,若t1J,t1t0,均有y(t)=0,t[t0,t1],则称此x0在时刻t0为不能观测的。定义（完全能观测的）：对于线性时变系统，若状态空间的所有状态都是时刻t0(t0J)的能观测状态,称系统在时刻t0是完全能观测的。若t0[T1,T2],系统均在t0时刻是完全能观测的，称系统在区间[T1,T2]上是完全能观测的。定义（不完全能观测的）：对于线性时变系统，取定初始时刻t0J，若状态空间存在一个或一些非零状态在t0的是不可能观测的,称系统在时刻t0是不完全能观测的。多变量线性系统线性系统的能控性和能观性73.2线性时变系统的能控性判据3.2.1Gram矩阵判据是正定的。使得矩阵某个有限时刻存在时刻能控的充要条件是定理：线性时变系统在dtBBtttWtttTttTc),()()(),(),(,1101010103.2.2基于状态转移矩阵的判据定理：假设A(t)和B(t)均是t的连续函数矩阵，则系统在时刻t0能控的充要条件是存在某个有限时刻t1t0,使得矩阵(t1,)B()在[t0,t1]上是行线性独立，即对任意n维非零向量Z,都有ZT(t1,)B()0.多变量线性系统线性系统的能控性和能观性83.2.3基于系统参数矩阵的判据件）刻是能控的。（充分条时则系统在使得若存在某个令次连续可微函数，记和的每个元分别是和定理：假设系统中010121111,)(,)()()()(,,3,2),()()()()()(12)()(tntrankQtttBtBtBtQnitBtBtAtBtBtBnntBtAcnciii多变量线性系统线性系统的能控性和能观性93.3线性定常系统的能控性判据3.3.1定常系统能控性的特殊性引理：设线性定常系统在t0[0,]时刻完全能控，则它必在[0,]上完全能控。3.3.2能控性矩阵判据定理：定常线性系统能控性的充要条件是rank[BAB…An-1B]=n3.3.3PBH判据定理：定常线性系统能控性的充要条件是,对于每个(A),都有rank[A-InB]=n｛(A)为A特征值集合｝多变量线性系统线性系统的能控性和能观性103.4对偶原理与能观性判据3.4.1Gram矩阵判据是正定的。使得矩阵某个有限时刻条件是存在时刻完全能观测的充要定理：线性时变系统在dtCCtttWtttttTT),()()(),(),(,00010010103.4.2对偶原理),(),()()()(:00ttttLLtBtCtALTTTT系：转移阵互为转置逆的关的状态偶系统的状态转移阵和它的对引理：线性系统对偶系统xzvxx多变量线性系统线性系统的能控性和能观性11定理：[对偶原理]系统L在t0时刻完全能控的充要条件是它的对偶系统L在t0时刻完全能观测。系统L在t0时刻完全能观测的充要条件是它的对偶系统L在t0时刻完全能控。3.4.3能观性判据定理：假设A(t)和B(t)均是t的连续函数矩阵，则系统在时刻t0能观的充要条件是存在某个有限时刻t1t0,使得矩阵C()(，t1)在[t0,t1]上是列线性独立，即对任意n维非零向量Z,都有C()(,t1)Z0.时刻是能观测的。则系统在使得若存在某个令次连续可微函数，记和的每个元分别是和定理：假设系统中010121111,)(,)()()()(,,3,2),()()()()()(12)()(tntrankQtttCtCtCtQnitCtAtCtCtCtCnntCtAcnTTToiii多变量线性系统线性系统的能控性和能观性12nCIArankAnCACACranknn有观性的充要条件为定理：定常线性系统能观性的充要条件为定理：定常线性系统能)(,1多变量线性系统线性系统的能控性和能观性133.5线性系统的能控、能观性指数3.5.1线性系统的能控性指数}:min{,1,,12nrankQkknrankQnrankQknrankQQQnkBABAABBQkrnRBRAkkkncnkkrnnn数：，称其为系统能控性指的最小正整数的成立存在一个使增加，直到由当为能控阵，时若系统能控，阶常数阵定义CxyBuAxx多变量线性系统线性系统的能控性和能观性14)1,min(2,111,1rnnrnAnnBAABBrankrankQnrrnrnrrankBrnrn为的估计不等式，可表示则能控性指数的最小多项式的次数，为引理：令充要条件、线性定常系统能控的时、推论：则必成立，数为引理：设系统能控性指多变量线性系统线性系统的能控性和能观性15rrrrbAbAbAbAAbAbbbbQ111212121不变。及线性非奇异变换，命题：对状态方程进行能控性指数集：能控性指数对于能控系统有列：个线性无关的列重新排的秩为考虑},,,{},,,{},,,{max,2121212112122111121rrrrrrrnbAAbbbAAbbbAAbbnrBr多变量线性系统线性系统的能控性和能观性163.5.2线性系统的能观性指数}:min{,1,,1nQrankkknrankQnQrankknQrankQQnkCACACQnkmRCRBRAkkknonkknmrnnn数：，称其为系统能观性指的最小正整数的成立存在一个使增加，直到由当为能观阵，时若系统能观，阶常数阵定义CxyBuAxx多变量线性系统线性系统的能控性和能观性17}{}{max212121111111mmmmmmnAcAcAcAcccnQm，，能观性指数集：，，能观性指数对于能观系统有列：个线性无关的行重新排的将多变量线性系统线性系统的能控性和能观性183.6SISOS的能控规范型和能观规范型3.6.1SISOS的能控规范型00110100,,)det(11010111ccbxbxxxxbbbCxbAxxnccccnnnnACyuAQPPssAsInAArankyuSISO可导出第一能控规范型定理：引入变换线性定常系统完全能控多变量线性系统线性系统的能控性和能观性19CbbCAbCACbCAbCbCPCACyuAbAbbAPnnnnnnncncccnn1211012111011021111001001011001cc1bxbxxxPx第二能控规范型线性变换下，导出下述引入，则定理：定义多变量线性系统线性系统的能控性和能观性203.6.2SISOS的能观测规范型xxxPxx001100010,,1101101yuQPnno导出能观规范型定理：令多变量线性系统线性系统的能控性和能观性21xxxPxx100100100,1001011101101211yuCCACAPnnnn导出能观规范型引入非奇异变换定理：令多变量线性系统线性系统的能控性和能观性223.7MIMOS的能控规范型和能观规范型3.7.1两种搜索方案，构成变换阵行个线性无关的列的为确定规范型，找个线性无关行有且仅有能观，个线性无关列有且仅有能控，)()()(,:11nQQnnrankQLnnrankQLRQCACACQRQBAABBQRCCxyRBRABuAxxLococnmnoTTnTTTTonrncncnmrnnn多变量线性系统线性系统的能控性和能观性23列搜索算法65432104321AAAoAoAoAAbbbb为止。列下一列搜