大学经典课件之高等数学――9-2二重积分的计算(1)

第九章第二节机动目录上页下页返回结束二重积分的计算二、极坐标系下计算二重积分一、直角坐标系下计算二重积分三、二重积分的变量替换第九章第二节机动目录上页下页返回结束二重积分的计算（1）直角坐标系下计算二重积分一、直角坐标系下计算二重积分机动目录上页下页返回结束在直角坐标系下用平行于坐标轴的直线网来划分区域D，∫∫∫∫=σDDdxdyyxfdyxf),(),(dxdyd=σ故在直角坐标系下二重积分可写为xyoDD则面积元素为二重积分在直角坐标下的表示如果积分区域为：,bxa≤≤).()(21xyxϕϕ≤≤其中函数、在区间上连续.)(1xϕ)(2xϕ],[ba)(2xyϕ=abD)(1xyϕ=Dba)(2xyϕ=)(1xyϕ=机动目录上页下页返回结束X型区域：穿过区域且平行于y轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.如果积分区域为：,dyc≤≤).()(21yxyϕϕ≤≤)(2yxϕ=)(1yxϕ=Dcdcd)(2yxϕ=)(1yxϕ=D机动目录上页下页返回结束Y型区域：穿过区域且平行于x轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.为曲顶柱体的体积．为底，以曲面的值等于以),(),(yxfzDdyxfD=∫∫σQ应用计算“平行截面面积为已知的立体求体积”的方法.),(),()()(21∫∫∫∫=Dbaxxdyyxfdxdyxfϕϕσ机动目录上页下页返回结束复习已知平行截面面积求立体的体积zyxaxb),(yxfz=)(xA)(2xyϕ=)(1xyϕ=若积分区域D是X型区域，即,bxa≤≤).()(21xyxϕϕ≤≤得.),(),()()(21∫∫∫∫=Ddcyydxyxfdydyxfϕϕσ,dyc≤≤).()(21yxyϕϕ≤≤机动目录上页下页返回结束同理，若积分区域D为Y型区域，即.),(),()()(21∫∫∫∫=Dbaxxdyyxfdxdyxfϕϕσ若积分区域D是X型区域，即,bxa≤≤).()(21xyxϕϕ≤≤——等式右端称为累次积分（2）若区域如图，既不是x型也不是y型，则须分割3D2D1D在分割后的三个区域上分别使用积分公式，再相加.321∫∫∫∫∫∫∫∫++=DDDD说明：（1）将二重积分化成累次积分时，应根据具体情况选择适当的积分次序（应先画出积分区域的草图）。机动目录上页下页返回结束xy211xy=o2∫=21dy例1.计算,∫∫=DdxdyyxI其中D是直线y＝1,x＝2,及y＝x所围的闭区域.x解法1.将D看作X–型区域,则⎩⎨⎧:D=I∫21dx∫yyxd∫=21dx[]∫−=213d2121xxx89=[]1212xyx解法2.将D看作Y–型区域,则⎩⎨⎧:D=I∫xyxd∫21dy22]21[yyx∫⎥⎦⎤⎢⎣⎡−=213d212yyy89=y1xy2xy≤≤121≤≤x2≤≤xy21≤≤y机动目录上页下页返回结束例2求∫∫+Ddxdyyx)(2，其中D是由抛物线2xy=和2yx=所围平面闭区域.解两曲线的交点),1,1(,)0,0(22⇒⎩⎨⎧==yxxy∫∫+Ddxdyyx)(2∫∫+=1022)(xxdyyxdxdxxxxxx)](21)([42102−+−=∫.14033=2xy=2yx=2xy=2yx=机动目录上页下页返回结束例3：求∫∫−Dydxdyex22，其中D是以),1,1(),0,0()1,0(为顶点的三角形.∫−dyey2Q无法用初等函数表示解∴积分时必须考虑次序∫∫−Dydxdyex22∫∫−=yydxexdy02102dyyey∫⋅=−10332210262dyyey∫⋅=−).21(61e−=机动目录上页下页返回结束xy−=1例4改变积分∫∫−xdyyxfdx1010),(的次序.解积分区域如图∫∫−=ydxyxfdy1010),(∫∫−xdyyxfdx1010),(机动目录上页下页返回结束xy−=222xxy−=例5：改变积分∫∫∫∫−−+xxxdyyxfdxdyyxfdx20212010),(),(2的次序.解积分区域如图∫∫−−−=102112),(yydxyxfdy原式机动目录上页下页返回结束0yx2a2a例6.将积分换序)d,(d∫∫202−22=aaxxaxyyxfxIaD:axyxax2≤≤−22解0≤x≤2aD1D2D3axy2=.22−+=yaax.22−−=yaax.∫∫∫∫∫∫321++=∴DDDI)d,(d∫∫2222=aaaayxyxfy)d,(d∫∫0−−2222+ayaaayxyxfy)d,(d∫∫02−+22+aayaaxyxfy...还有别的方法吗？机动目录上页下页返回结束0yx2a2aaD:axyxax2≤≤−22解0≤x≤2aD1D2axy2=22−+=yaax.22−−=yaax.)d,(d∫∫20222=aaayxyxfy)d,(d∫∫0−+−−2222−ayaayaaxyxfy..∫∫∫∫21−=∴DDI.)d,(d∫∫202−22=aaxxaxyyxfxI注：这种方法要求f(x,y)在D2上有定义以至连续机动目录上页下页返回结束例6.将积分换序例7计算积分∫∫=yxydxedyI212141∫∫+yyxydxedy121.解∫dxexyQ不能用初等函数表示∴先改变积分次序.∫−=121)(dxeexx.2183ee−=2xy=xy=∫∫=xxxydyedxI2211机动目录上页下页返回结束由以上例子可以看出，化二重积分为累次积分时，要兼顾以下两个方面：（1）考虑积分区域的特点，对积分区域划分的块数越少越好。（2）考虑被积函数的特点，使第一次积分容易求出，并为第二次积分的计算创造条件。机动目录上页下页返回结束例8.计算,d∫∫Dyxσ其中D是抛物线xy=2所围成的闭区域.解:为计算简便,先对x后对y积分,⎩⎨⎧:D∫xyxd∫∫∴Dyxσd∫−=21dy∫−+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=2122d212yyxyy∫−−+=2152d])2([21yyyy[]21623461234421−−++=yyyy845=Dxy=22−=xy21−4oyxy22+≤≤yxy21≤≤−y2y2+y2−=xy及直线则机动目录上页下页返回结束例9.计算,ddsin∫∫Dyxxx其中D是直线,0,==yxy所围成的闭区域.oxyDππ=xxy=解:由被积函数可知,因此取D为X–型域:⎩⎨⎧≤≤≤≤πxxyD00:∫∫∴Dyxxxddsin∫xy0d∫=π0dsinxxπ0]cos[x−=2=∫=π0dsinxxxπ=x先对x积分不行,说明:有些二次积分为了积分方便,还需交换积分顺序.机动目录上页下页返回结束例10.交换下列积分顺序∫∫∫∫−+=22802222020d),(dd),(dxxyyxfxyyxfxI解:积分域由两部分组成:,20210:21⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤xxyD822=+yx2D22yxo21D221xy=2⎩⎨⎧≤≤−≤≤22280:22xxyD21DDD+=将⎩⎨⎧:D视为Y–型区域,则282yxy−≤≤20≤≤y∫∫=DyxyxfIdd),(∫−282d),(yyxyxf∫=20dy机动目录上页下页返回结束例11.计算,)1ln(2ydxdyyxID∫∫++=其中D由,42xy−=1,3=−=xxy所围成.oyx124xy−=xy3−=2D1D1=x解:令)1ln(),(2yyxyxf++=21DDD+=(如图所示)显然,,1上在D),(),(yxfyxf−=−,2上在D),(),(yxfyxf−=−ydxdyyxID)1ln(12∫∫++=∴0=ydxdyyxD)1ln(22∫∫+++4机动目录上页下页返回结束例12.求两个底圆半径为R的相互垂直的圆柱面所围立体的体积.xyzRRo解:设两个直圆柱方程为,222Ryx=+利用对称性,考虑第一卦限部分,其曲顶柱体的顶为则所求体积为yxxRVDdd822∫∫−=∫−220dxRyxxRRd)(8022∫−=3316R=222Rzx=+22xRz−=⎩⎨⎧≤≤−≤≤∈00:),(22RxxRyDyxxxRRd8022∫−=222Ryx=+222Rzx=+D机动目录上页下页返回结束x0zyab1平面所围成的体积与求椭圆抛物面xoybyaxz12222−−=1:2222≤+byaxDxyD1=Vx)byax(ybybbadd∫∫0−0222222−−14=∫023223−324=byybbad)(∫2π04θθ38=dcosab（定积分广义极坐标）2⋅4⋅23⋅1⋅38πabab2π=..yxbyaxDd)d(2222−−14∫∫1瓦里斯公式例13.=例14求由下列曲面所围成的立体体积，yxz+=，xyz=，1=+yx，0=x，0=y.解:曲面围成的立体如图.机动目录上页下页返回结束,10≤+≤yxQ,xyyx≥+∴所求体积∫∫−−+=1010)(xdyxyyxdx∫−+−=103])1(21)1([dxxxx.247=所围立体在xoy面上的投影是∫∫−+=DdxyyxVσ)(机动目录上页下页返回结束D:由四条直线:x=3，x=5,3x–2y+4=0,3x–2y+1=0共同围成的区域oxy35583x–2y+4=03x–2y+1=0D=I.+=∫∫219854−231xyxfyy)(d),(dD1D2D3∫∫∫∫∫∫++=321DDDI先对y积分先对x积分.213219+∫∫82131−2314−231xyxfyyy)()(d),(d∫∫21351−2313xyxfyy)(d),(d.（需分块）（需分块）..（需分块）∫∫534+3211+321)()()d,(dxxyyxfx例15.将二重积分化成累次积分∫∫=Dyxy,xfId)d(机动目录上页下页返回结束二重积分在直角坐标下的计算公式（在积分中要正确选择积分次序）二、小结.),(),()()(21∫∫∫∫=Dbaxxdyyxfdxdyxfϕϕσ.),(),()()(21∫∫∫∫=Ddcyydxyxfdydyxfϕϕσ［Y－型］［X－型］机动目录上页下页返回结束作业习题8-2(P163)1(2)(4)(6)(8)(10)，2(2)(4)，3(2)(4)，4(1)(2)，6第三节目录上页下页返回结束∫1)(xdyyfQ不能直接积出,∴改变积分次序.令∫∫=110)()(xdyyfxfdxI,思考题解答则∫∫=ydxyfxfdyI010)()(.,)()(010∫∫=xdyyfdxxfxyo机动目录上页下页返回结束设)(xf在]1,0[上连续，并设Adxxf=∫10)(，求∫∫110)()(xdyyfxfdx.思考题故∫∫+xdyyfdxxf010)()(])()[()(1010dyyfdxxfxx∫∫∫+=.)()(21010Adyyfdxxf==∫∫∫∫=110)()(2xdyyfdxxfI机动目录上页下页返回结束22AI=∫∫=110)()(xdyyfxfdxI,)()(010∫∫=xdyyfdxxfxA(x)dV=A(x)dxx已知平行截面面积为A(x)的立体∫=baxxAVd)(.aV复习：平行截面面积为已知的立体的体积b返回原页=∫20dxxnπsindxxn∫20πcos⎪⎩⎪⎨⎧⋅1−1−=））为偶数奇数nnnnnn(,2!!!)!((,!!!)!(π为附附瓦瓦里斯公式里斯公式返回原页（2）∫∫Ddxdyyx22，D由yx=，2=y,1=xy围成。（3）∫∫+Ddxdyyx22，1:≤+yxD.练习计算下列各题：机动目录上页下页返回结束（1）dxdyyD∫∫)sin(2，其中D由直线0=x，1=y及xy=围成。（4）求由曲面222yxz−−=，22yxz+=所围立体的体积。（5）证明：∫∫∫−=axadxxfxadyyfdx000)()()(；0a。机动目录上页下页返回结束（6）将二重积分∫∫Ddxdyyxf),(化成累次积分，其中}10,1|),{(≤≤+≤≤=xxyxyxD。（7）改变下列积分的次序.∫∫∫∫−+−[phone]),(),(xxdyyxfdxdyyxfdx