25第三章 曲率

曲率前面讲了单调性、极值、最值、凹凸性。我们知道凹凸性反映的是曲线的弯曲方向，但是朝同一方向弯曲的两条曲线，其弯曲的程度也不尽相同。曲率就是表征弯曲程度的量，它等于单位路程上方向（角度——切线的倾斜角）的改变量一、弧微分NRTA0xMxxx.),()(内具有连续导数在区间设函数baxfxyo),,(:00yxA基点,),(为任意一点yxM规定：;)1(增大的方向一致曲线的正向与x,)2(sAM.,,,取负号相反时取正号一致时的方向与曲线正向当ssAM).(xss单调增函数),,(yyxxN设如图，NTMTMNMN,0时当x22)()(yxMNxxy2)(1,12dxysMN,ds22)()(dydxMT,12dxydyyNT,0.12dxyds故,)(为单调增函数xss.12dxyds故弧微分公式NMTRA0xxxxxyo二、曲率及其计算公式曲率是描述曲线局部性质（弯曲程度）的量。1M3M22M2S1SMM1S2SNN弧段弯曲程度越大转角越大转角相同弧段越短弯曲程度越大1.曲率的定义1SS).M.MC0Myxo.sKMM的平均曲率为弧段设曲线C是光滑的，.0是基点M,sMM.切线转角为MM定义sKs0lim曲线C在点M处的曲率,lim0存在的条件下在dsdss.dsdK2.曲率的计算公式注意:(1)直线的曲率处处为零;(2)圆上各点处的曲率等于半径的倒数,且半径越小曲率越大.,)(二阶可导设xfy,tany,12dxyyd.)1(232yyk,arctany有.12dxyds,),(),(二阶可导设tytx.)]()([)()()()(2322ttttttk,)()(ttdxdy.)()()()()(322tttttdxyd例1?2上哪一点的曲率最大抛物线cbxaxy解,2baxy,2ay.])2(1[2232baxak显然,,2时当abx.最大k,)44,2(2为抛物线的顶点又aacbab.最大抛物线在顶点处的曲率).(1,,半径为圆弧轨道的到使曲率连续地由零过渡入一段缓冲段之间接稳，往往在直道和弯道驶平容易发生事故，为了行的曲率突然改变道时，若接头处弯铁轨由直道转入圆弧RR例2.1)1(,],0[6103RARlRlOOAOAlOAxxxRly的曲率近似为时，在终端很小并且当的曲率为零在始端冲段的长度，验证缓为，其中作为缓冲段．，通常用三次抛物线xyoR),(00yxA)0,(0xC证如图的负半轴表示直道，x.,是圆弧轨道是缓冲段ABOA在缓冲段上,,212xRly.1xRly,0,0,0yyx处在.00k故缓冲始点的曲率实际要求,0xll20210xRlyxx有221lRl,2Rl010xRlyxxlRl1,1R的曲率为故在终端A0232)1(xxAyyk2322)41(1RlR,1Rl.1RkA得,422Rl略去二次项xyoR),(00yxA)0,(0xCl三、曲率圆与曲率半径定义D)(xfyMk1.),(,.1,,).0(),()(处的曲率圆称此圆为曲线在点如图作圆为半径为圆心以使在凹的一侧取一点处的曲线的法线上在点处的曲率为在点设曲线MDkDMDMkkyxMxfy,曲率中心D.曲率半径xyo1.曲线上一点处的曲率半径与曲线在该点处的曲率互为倒数..1,1kk即注意:2.曲线上一点处的曲率半径越大,曲线在该点处的曲率越小(曲线越平坦);曲率半径越小,曲率越大(曲线越弯曲).3.曲线上一点处的曲率圆弧可近似代替该点附近曲线弧(称为曲线在该点附近的二次近似).曲率圆y=y(x)与曲线y=f(x)的关系①过同一点)()(00xfxy②有公切线)()(00xfxy③圆弧与曲线在该点处曲率相等，且弯曲方向相同2302023020)](1[|)(|)](1[|)(|xfxfxyxy|)(||)(|00xfxy)()(00xfxy设圆的方程为222)()(byax连续求导两次，将上述条件代入得22020])([)(bxfax0)(])([)(000xfbxfax0)(])([)]([10020xfbxfxf解得)()]([1)(02000xfxfxfxa)()]([1)(0200xfxfxfb|)(|)](1[02302xfxf例3xyoQP.,.70,/400,)(40002压力飞行员对座椅的到原点时求俯冲千克飞行员体重秒米处速度为点在原俯冲飞行单位为米飞机沿抛物线vOxy解如图,受力分析,PQF视飞行员在点o作匀速圆周运动,.2mvFO点处抛物线轨道的曲率半径002000xxxy,0.200010xy得曲率为.200010xxk曲率半径为.2000米2000400702F),(4.571)(5600千克牛),(4.571)(70千克力千克力Q).(5.641千克力即:飞行员对座椅的压力为641.5千克力.四、小结运用微分学的理论,研究曲线和曲面的性质的数学分支——微分几何学.基本概念:弧微分,曲率,曲率圆.曲线弯曲程度的描述——曲率;曲线弧的近似代替曲率圆(弧).思考题椭圆上哪些点处曲率最大？,cos2txtysin3思考题解答232])(1[||yyk2322)cos9sin4(6tt232)cos54(6t要使最大，k232)cos54(t必有最小，23,2t此时最大，k