26.1.2二次函数图像与性质(第1课时)

－222464－48212yx22yx2yx26.1.2二次函数y=ax2的图象一般地,形如y=ax2+bx+c(a、b、c为常数,a≠0)的函数,叫做二次函数.其中,x是自变量,a,b,c分别是函数表达式的二次项系数、一次项系数和常数项.二次函数的定义:(1)一次函数的图象是一条_____，反比例函数的图象是________.(2)通常怎样画一个函数的图象？直线双曲线(3)二次函数的图象是什么形状呢？列表、描点、连线结合图象讨论性质是数形结合的研究函数的重要方法．我们得从最简单的二次函数开始逐步深入地讨论一般二次函数的图象和性质．1.列表：在y=x2中自变量x可以是任意实数，列表表示几组对应值：x···－3－2－10123···y=x2······2.根据表中x,y的数值在坐标平面中描点（x,y）画最简单的二次函数y=x2的图象－3336901491493.连线如图，再用平滑曲线顺次连接各点，就得到y=x2的图象．y=x2二次函数y=x2的图象是一条曲线，它的形状类似于投篮球时球在空中所经过的路线，只是这条曲线开口向上，这条曲线叫做抛物线y=x2，看出：y轴是抛物线y=x2的对称轴，抛物线y=x2与它的对称轴的交点（0，0）叫做抛物线y=x2的顶点，它是抛物线y=x2的最低点．－33369二次函数的图象都是抛物线，它们的开口或者向上或者向下．一般地，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象叫做抛物线y=ax2+bx+c实际上，每条抛物线都有对称轴，抛物线与对称轴的交点叫做抛物线的顶点．顶点是抛物线的最低点或最高点．y=x2例1在同一直角坐标系中，画出函数的图象．222,21xyxy解：分别填表，再画出它们的图象，如图x···－4－3－2－101234·········x···－2－1.5－1－0.500.511.52·········212yx22yx84.520.5084.520.584.520.5084.520.5－222464－48212yx22yx2yx函数的图象与函数y=x2的图象相比，有什么共同点和不同点？222,21xyxy－222464－48212yx22yx2yx相同点：开口：向上，顶点：原点（0,0）——最低点对称轴：y轴增减性：y轴左侧，y随x增大而减小y轴右侧，y随x增大而增大不同点：a值越大，抛物线的开口越小．探究画出函数的图象，并考虑这些抛物线有什么共同点和不同点．2222,21,xyxyxyx···－4－3－2－101234·········x···－2－1.5－1－0.500.511.52·········212yx22yx－8－4.5－2－0.50－8－4.5－2－0.5－8－4.5－2－0.50－8－4.5－2－0.5－22－2－4－64－4－8212yx22yx2yx你画出的图象与图中相同吗？请找出相同点与不同点：1.二次函数的图像都是抛物线.2.抛物线y=ax2的图像性质:(2)当a0时,抛物线的开口向上,顶点是抛物线的最低点;当a0时,抛物线的开口向下,顶点是抛物线的最高点;|a|越大,抛物线的开口越小;(1)抛物线y=ax2的对称轴是y轴,顶点是原点.xyoa0a0a0xyo请同学们把所学的二次函数图象的知识归纳小结。yyyyxxa＜0xxa＞0y轴右侧y轴左侧图象开口方向对称轴顶点y=ax2增大(0,0)最低点(0,0)最高点y轴y轴向上向下增大减小增大增大增大减小增大|a|越大,抛物线的开口越小;1、函数y=2x2的图象的开口,对称轴,顶点是;2、函数y=－3x2的图象的开口,对称轴,顶点是;向上向下y轴y轴(0,0)(0,0)已知y=(m+1)x是二次函数且其图象开口向上,求m的值和函数解析式m2+m解:依题意有:m+10①m2+m=2②解②得:m1=－2,m2=1由①得:m－1∴m=1此时,二次函数为:y=2x2,x…..-2-1012……y=x2……41014y=x2+1…………8642-2-4y-10-5510xOy=x2y=x2+1函数y=x2+1的图象与y=x2的图象的位置有什么关系?函数y=x2+1的图象可由y=x2的图象沿y轴向上平移1个单位长度得到.函数y=x2+1的图象与y=x2的图象的形状相同吗?形状相同520258642-2-4y-10-5510xOx…..-2-1012……y=x2……41014y=x2-2…………y=x2y=x2-22-10-12函数y=x2-2的图象可由y=x2的图象沿y轴向下平移2个单位长度得到.函数y=x2-2的图象与y=x2的图象的位置有什么关系?函数y=x2+1的图象与y=x2的图象的形状相同吗?形状相同函数y=ax2(a≠0)和函数y=ax2+c(a≠0)的图象形状，只是位置不同；当c0时，函数y=ax2+c的图象可由y=ax2的图象向平移个单位得到，当c〈0时，函数y=ax2+c的图象可由y=ax2的图象向平移个单位得到。42-2-4-6-8y-10-5510xOy=-x2-2y=-x2+3y=-x2函数y=-x2-2的图象可由y=-x2的图象沿y轴向下平移2个单位长度得到.函数y=-x2+3的图象可由y=-x2的图象沿y轴向上平移3个单位长度得到.图象向上移还是向下移,移多少个单位长度,有什么规律吗?上加下减相同上c下|c|(1)函数y=4x2+5的图象可由y=4x2的图象向平移个单位得到；y=4x2-11的图象可由y=4x2的图象向平移个单位得到。（3）将抛物线y=4x2向上平移3个单位，所得的抛物线的函数式是。将抛物线y=-5x2+1向下平移5个单位,所得的抛物线的函数式是。(2)将函数y=-3x2+4的图象向平移个单位可得y=-3x2的图象；将y=2x2-7的图象向平移个单位得到y=2x2的图象。将y=x2-7的图象向平移个单位可得到y=x2+2的图象。上5下11下4上7上9y=4x2+3y=-5x2-4当a0时，抛物线y=ax2+c的开口，对称轴是，顶点坐标是，在对称轴的左侧，y随x的增大而，在对称轴的右侧,y随x的增大而，当x=时，取得最值，这个值等于；当a0时,抛物线y=ax2+c的开口，对称轴是，顶点坐标是，在对称轴的左侧，y随x的增大而，在对称轴的右侧,y随x的增大而，当x=时，取得最值，这个值等于。42-2-4-6-8y-10-5510xO108642-2y-10-5510xOy=-x2-2y=-x2+3y=-x2y=x2-2y=x2+1y=x2上y轴(0,c)减小增大0小c下y轴(0,c)增大减小0大c（4）抛物线y=-3x2+5的开口，对称轴是，顶点坐标是，在对称轴的左侧，y随x的增大而，在对称轴的右侧，y随x的增大而，当x=时，取得最值，这个值等于。6.二次函数y=ax2+c(a≠0)的图象经过点A（1，-1），B（2，5），则函数y=ax2+c的表达式为。若点C(-2,m),D（n,7）也在函数的图象上，则点C的坐标为点D的坐标为.（5）抛物线y=7x2-3的开口，对称轴是，顶点坐标是，在对称轴的左侧，y随x的增大而，在对称轴的右侧，y随x的增大而，当x=时，取得最值，这个值等于。下y轴(0,5)减小增大0大5上y轴(0,-3)减小增大0小-3y=2x2-3(-2,5))7,5()7,5(或y=ax2+c(a≠0)a0a0开口方向顶点坐标对称轴增减性极值向上向下(0,c)(0,c)y轴y轴当x0时，y随着x的增大而减小。当x0时，y随着x的增大而增大。当x0时,y随着x的增大而增大。当x0时，y随着x的增大而减小。x=0时,y最小=cx=0时,y最大=c抛物线y=ax2+c(a≠0)的图象可由y=ax2的图象通过上下平移得到.