新定义数列求解差策略

新定义数列求解策略1、高考考情:以数列为背景的新定义问题是高考命题创新型试题的一个热点,考查频次较高.2、命题形式:常见的有新定义、新规则等.3、求解策略：（1）准确转化:解决数列新定义问题时,一定要读懂新定义的本质含义,将题目所给定义转化成题目要求的形式,切忌同已有概念或定义相混淆.（2）方法选取:对于数列新定义问题,搞清定义是关键,仔细认真地从前几项(特殊处、简单处)体会题意,从而找到恰当的解决方法.课前预习：1、若数列na满足111nndaa(,nNd为常数),则称数列na为“调和数列”.已知正项数列1nb为“调和数列”,且12990bbb=90,则46bb的最大值是。【解析】由已知得{bn}为等差数列,且b4+b6=20,又bn0,所以b4·b6≤100,当且仅当b4=b6时等号成立.变式、若数列na满足110,,nnpnNpaa为非零数列，则称数列na为“放飞”数列。已知正项数列1nb为“放飞”数列，且99123992bbbb，则892bb的最小值是。变式：依题意可得1nnbqb，则数列nb为等比数列.又999912399502bbbbb，则502b.89289250224bbbbb，当且仅当892bb即该数列为常数列时取等号.2、定义运算符号:“Π”,这个符号表示若干个数相乘.例如,可将1×2×3×…×n记作1niinN.记1nniiTai,其中ia为数列nanN中的第i项.(1)若21nan,则4T=.(2)若2nTnnN,则na=.【解析】(1)an=2n-1,则a1=1,a2=3,a3=5,a4=7,所以T4=1×3×5×7=105.（2）2,211,1nnnann例题：1、设数列}{na的前n项和为nS.若对任意正整数n，总存在正整数m，使得mnaS，则称}{na是“H数列”.(1)若数列}{na的前n项和nnS2(nN),证明:}{na是“H数列”;(2)设}{na是等差数列,其首项11a,公差0d.若}{na是“H数列”,求d的值；解：（1）证明：∵=，∴==（n），又==2=，∴（n）。∴存在m=n+1使得（2）=1+（n-1）d，若{}是“H数列”则对任意的正整数n,总存在正整数m,使得。=1+（m-1）d成立。化简得m=+1+，且d0，又m，，d，且为整数。2、已知两个无穷数列{an}，{bn}分别满足|an+1-an|=2，2214nnbb，且a1=1，b1=-1.(1)若数列{an}，{bn}都为递增数列，求数列{an}，{bn}的通项公式.(2)若数列{cn}满足：存在唯一的正整数r(r∈N*)，使得cr+1cr，称数列{cn}为“梦r数列”.设数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn.①若数列{an}为“梦5数列”，求Sn.②若{an}为“梦r1数列”，{bn}为“梦r2数列”，是否存在正整数m，使得Sm+1=Tm?若存在，求m的最大值；若不存在，请说明理由.【思维引导】(1)(2)(3)【规范解答】(1)因为数列{an}，{bn}都为递增数列，所以an+1-an=2，b2=-2b1，bn+2=2bn+1，n∈N*，所以an=2n-1，bn=-1-1122.nnn，，，………………………………………………………4分(2)①因为数列{an}满足：存在唯一的正整数r=5，使得ar+1ar，且|an+1-an|=2，所以数列{an}必为1，3，5，7，9，7，9，11，…，即前5项为首项为1、公差为2的等差数列，从第6项开始为首项7、公差为2的等差数列，故Sn=225-4206.nnnnn，，，…………………………………………………………8分②因为21nb=42nb，即bn+1=±2bn，所以|bn|=2n-1…………………………………9分而数列{bn}为“梦r2数列”且b1=-1，所以数列{bn}中有且仅有两个负项.假设存在正整数m，使得Sm+1=Tm，显然m≠1，且Tm为奇数，而{an}中各项均为奇数，所以m必为偶数………………………………………………………………………10分首先证明：m≤6.若m7，在数列{an}中，(Sm+1)max=1+3+…+(2m+1)=(m+1)2，而在数列{bn}中，bm必然为正，否则Tm=-1+b2+…+(-2m-1)≤-1+21+…+2m-2+(-2m-1)=-30，显然矛盾.所以(Tm)min=-1+21+…+2m-3+(-2m-2)+2m-1=2m-1-3，设cm=2m-1-(m+1)2-3，易得dm=cm+1-cm=2m-1-2m-3，而dm+1-dm=2m-1-20(m7)，所以{dm}(m7)为递增数列，且d70进而{cm}(m7)为递增数列，而c80，所以(Tm)min(Sm)max，即m≤6……………………………………………………14分当m=6时，构造：{an}为1，3，1，3，5，7，9，…，{bn}为-1，2，4，8，-16，32，64，…此时r1=2，r2=4，所以mmax=6，对应的r1=2，r2=4……………………………16分3、若数列na中不超过)(mf的项数恰为mb（*Nm），则称数列mb是数列na的生成数列，称相应的函数)(mf是数列na生成mb的控制函数.（1）已知2nan，且2)(mmf，写出1b、2b、3b；（2）已知nan2，且mmf)(，求mb的前m项和mS；（3）已知nna2，且3)(Ammf（*NA），若数列mb中，1b，2b，3b是公差为d（0d）的等差数列，且103b，求d的值及A的值.解：（1）1m，则111a11b；2m，则114a，244a22b3m，则119a，249a399a33b…………3分（2）m为偶数时，则2nm，则2mmb；m为奇数时，则21nm，则12mmb；1()2()2为奇数为偶数mmmbmm…………5分m为偶数时，则21211(12)2224mmmmSbbbm；m为奇数时，则221211(1)11424mmmmmmmSbbbSb；221()4()4为奇数为偶数mmmSmm…………8分（3）依题意：2nna，(1)fA，(2)8fA，(5)125fA，设1bt，即数列{}na中，不超过A的项恰有t项，所以122ttA，同理：1221282,21252,++tdtdtdtdAA即13222122,22,22,125125++tttdtdtdtdAAA故22131222max{2,2,}min{2,2,}125125++tdtdttdttdA由312222,22,125++tdttdtd得4d，d为正整数1,2,3d，…………10分当1d时，232242max{2,2,}max{2,,}21254125++=tdttttdtt，21121228282min{2,2,}min{2,,}21252125125=tdtttttdtt不合题意，舍去；当2d时，2312162max{2,2,}max{2,2,}2125125+=tdtttdttt，211212322322min{2,2,}min{2,2,}2125125125=tdttttdttt不合题意，舍去；当3d时，232642max{2,2,}max{2,2,}2125125++=tdtttdttt，211211212821282min{2,2,}min{2,2,}2125125125+=tdttttdttt适合题意，………12分此时12822125ttA，125,3,6btbtbt，336tbt310b47tt为整数4,5,6ttt或7t(3)27fA，310b10112272A1011222727A………14分当4t时，11422125A无解当5t时，12522125A无解当6t时，13622125A13264125A当7t时，14722125A无解13622125A*AN64A或65A综上：3d，64A或65．………16分备用：若数列}{na中存在三项，按一定次序排列构成等比数列，则称}{na为“等比源数列”。（1）已知数列}{na中，12,211nnaaa。①求数列}{na的通项公式；②试判断数列}{na是否为“等比源数列”，并证明你的结论。（2）已知数列}{na为等差数列，且*)(,01NnZaan.求证：}{na为“等比源数列”【答案】（1）①121nna；②略；（2）略．【命题立意】本题旨在考查数列的概念、等差数列、等比数列的的通项公式与求和公式、不等式的求解等基本性质．考查学生创新意识．难度较大．【解析】（1）①由an+1＝2an－1，得an+1－1＝2(an－1)，且a1－1＝1，所以数列{an－1}是首项为1，公比为2的等比数列．……………………………………2分所以an－1=2n-1．所以，数列{an}的通项公式为an＝2n-1+1．………………………………………………4分②数列{an}不是“等比源数列”．用反证法证明如下：假设数列{an}是“等比源数列”，则存在三项am，an，ak(m＜n＜k)按一定次序排列构成等比数列．因为an＝2n-1+1，所以am＜an＜ak．……………………………………………………7分所以an2＝am·ak，得(2n-1+1)2＝(2m-1+1)(2k-1+1)，即22n-m-1+2n-m+1－2k-1－2k-m＝1．又m＜n＜k，m，n，k∈N*，所以2n－m－1≥1，n－m+1≥1，k－1≥1，k－m≥1．所以22n-m-1+2n-m+1－2k-1－2k-m为偶数，与22n-m-1+2n-m+1－2k-1－2k-m＝1矛盾．所以，数列{an}中不存在任何三项，按一定次序排列构成等比数列．综上可得，数列{an}不是“等比源数列”．…………………………………………10分（2）不妨设等差数列{an}的公差d≥0．当d＝0时，等差数列{an}为非零常数数列，数列{an}为“等比源数列”．当d＞0时，因为an∈Z，则d≥1，且d∈Z，所以数列{an}中必有一项am＞0．为了使得{an}为“等比源数列”，只需要{an}中存在第n项，第k项(m＜n＜k)，使得an2＝amak成立，即[am+(n－m)d]2＝am[am+(k－m)d]，即(n－m)［2am+(n－m)d］＝am(k－m)成立．…13分当n＝am+m，k＝2am+amd+m时，上式成立．所以{an}中存在am，an，ak成等比数列．所以，数列{an}为“等比源数列”．……………………………………………………16分当堂反馈：1、已知数列{an}的前n项和Sn=(-1)n·n，若对任意正整数n，(an+1-p)(an-p)0恒成立，则实数p的取值范围是.6.(-1，3)【解析】当n=1时，a1=S1=-1；当n≥2时，an=Sn-Sn-1=(-1)n·(2n-1)，当n=1时，a1=-1也符合此式，所以an=(-1)n·(2n-1).当n为奇数时，an0an+1，由不等式(an+1-p)(an-p)0可得，1-2n=anpan+1=2n+1对于任意的n为奇数恒成立，故-1p3；当n为偶数时，an0an+1，由不等式(an+1-p)(an-p)0可得，-2