2017年江苏省专转本高数第九章第二节正项级数及其收敛法第三节任意项级数第四节幂级数

第二节正项级数及其收敛法正项级数及其收敛法无穷级数一、正项级数及其审敛法1.定义:，中各若01nnnuu则称此级数为正项级数.对正项级数，有2.正项级数收敛的充分必要条件:正项级数收敛的基本定理.部分和数列有界正项级数收敛nsss21注：正项级数收敛的本质——un0足够快。.11nnnnnnvuvu级数，且为、正项3.比较审敛法则收敛1nnv发散1nnu;1收敛nnu.1发散nnv重要参照级数:等比级数,p-级数。极限形式:.lim11lvuvunnnnnnn同上，且和则收敛nv;收敛nu)1(时，当l收敛nu;收敛nv)2(时，当0l收敛nu.收敛nv)3(时，当0l注:须有参照级数.比较审敛法的不方便——（1）p-级数发散时当收敛时当级数,1,1pppppppn14131211的收敛性.)0(p结论:（2）等比级数(几何级数))0(a.,1;,10发散时当收敛时当qqaqnnnnnaqaqaqaaq20的收敛性.例4判定敛散性:(1)11sinnn;(2)131nnn.解)1(nnnn3131limnnn11sinlim,1发散.)2(nnn1sinlimnnn311lim,1,nn收敛而131故原级数收敛.5.比值审敛法(达朗贝尔判别法)：设1nnu是正项级数,)(lim1为数或nnnuu,则1时,收敛;6.根值审敛法(柯西判别法)：设1nnu是正项级数,nnnulim)(为数或,则1时,收敛;1时,发散.由项的比值或根值的极限值确定级数的收敛性.比值审敛法、根值审敛法的优点:1时,发散.(1时失效)（1时失效）注意:当1时比值（根值）审敛法失效。,11npnp级数对例nnnuu1lim总有nnnulim.1例5判别收敛性:(1)1!1nn;解!1)!1(11nnuunn11n0.收敛1!1010)!1(11nnuunnnn101n.发散(2)110!nnn;解(3)11nnn;nnnulim0nn1lim.收敛解.)12(21)4(1nnn解)22()12(2)12(limlim1nnnnuunnnn,1比值审敛法失效.根值审敛法也一定失效.改用比较审敛法,12)12(12nnnnnnn2)12(1lim2或4/1.收敛第三节任意项级数交错级数及其收敛法绝对收敛与条收收敛无穷级数一、交错级数及其审敛法正、负项相间的级数称为交错级数.莱布尼茨定理如果交错级数满足条件:(ⅰ)),3,2,1(||||1nuunn;(ⅱ)0limnnu,则级数收敛,且和的绝对值|u||s|1,余项的绝对值|u|rnn1.nnSSr称为级数余项nn1)1(41312111,...)2,1(;111).(1nunnuinn01limlim).(nuiinnn收敛且S1如果nSSnn1)1(41312111则11||nrn例如二、绝对收敛与条件收敛定理若1nnu收敛,则1nnu收敛.定义:若1nnu收敛,则称1nnu绝对收敛;若1nnu发散,而1nnu收敛,则称1nnu条件收敛.例6判别12sinnnn的收敛性.解,1sin22nnn,112收敛而nn,sin12nnn收敛故原级数（绝对）收敛.例7判别1)1(npnn的收敛性，并在收敛时指出是解,p时1绝对收敛；,10时p条件收敛；,0时p发散。绝对收敛还是条件收敛。*定理（绝对收敛与条件收敛的本质）(1)绝对收敛的级数，可以任意改变项的顺序，其收敛性与和均不变；(2)条件收敛的级数，总可以适当改变项的顺序，使其按任意预定的方式收敛或发散。注：用比值或根值审敛法判定的非绝对收敛级数一定发散。三、小结正项级数任意项级数审敛法1.2.4.充要条件5.比较法6.比值法7.根值法4.绝对收敛5.交错级数(莱布尼茨定理)3.按基本性质;;,则级数收敛若SSn;,0,则级数发散当nun第四节幂级数无穷级数一.函数项级数1.定义)()()(21xuxuxun1)(nnxu函数项级数)}({xun是定义在区间I上的函数列在I中任取一点,就得到一个数项级数0x10)(nnxu)()()(00201xuxuxun收敛,收敛点0x0x发散,发散点函数项级数的全体收敛点的集合称为收敛域2.收敛域3.和函数：在收敛域内，函数项级数的和依赖于点x，因此其和是x的函数，称为和函数1)()(nnxuxS4.余项:)()()(xSxSxrnn前n项的部分和在收敛域内才有意义,且0)(limxrnn二.幂级数及其收敛性幂级数各项都是幂函数的函数项级数一般形式:nnxxaxxaxxaa)()()(0202010nnxaxaxaa2210特例系数(1)(2)主要讨论(2),因为(1)可以通过变量代换化成(2)1.幂级数的收敛域x=0时(2)收敛,一般的,幂级数收敛域是一区间.例nnnxxxx2111由等比级数的性质,时收敛,时发散1||x1||x则收敛域(－1,1)内xxxxn1112定理1(阿贝尔定理)如果：0nnnxa1.在点收敛,)0(0xx则当时，它绝对收敛||||0xx2.在点发散,)0(0xx则当时，它发散.||||0xx推论设存在非零的收敛点,又存在发散点,则0nnnxa存在R0,使得当|x|R时它绝对收敛,当|x|R时它发散注:三种收敛情形:(1)仅在x=0处收敛;(2)在内处处收敛;),((3)在(－R,R)内收敛,端点另外讨论收敛区间R—收敛半径R=0R=+∞2.收敛半径的求法定理21limnnnaaR(证明略)例求收敛半径和收敛域11)1().1(nnnnx1limnnnaaR1111limnnnx=1时111)1(nnn收敛；x=－1时)1(1nn收敛域是(－1，1]发散1limnnnaaR1limnnnaaR1!).3(nnxn0!).2(nnnx0)!1(!limnnn)!1(1!1limnnn收敛域是(－∞，∞）仅在x=0点收敛11)2()1().4(nnnnx设x－2＝t,由(1)知11)1(nnnnt收敛域是(1,3]收敛域是(－1,1]023).5(nnnx令2xt00233nnnnnntx1limnnnaa33131lim1nnnt=3时t=－3时11n发散1)1(nn发散收敛域是(－3,3)收敛域是)3,3(0123).6(nnnx缺少偶次项,无法用公式，可以用比值法求Rnnnuu1lim212132||3133limxxxnnnnnρ1时,收敛.ρ1时,发散.则收敛区间为3x时,发散.)3,3(注:缺少奇次项,也可以用此方法.1)2(31).7(nnnnnx31)1(3213321lim)1()2(3)2(3lim111nnnnnnnnnnnn.31211)2(3331处发散所以原级数在点发散，，且时，因为当xnnnxnnnn.31)2(32)1(,1)2(321)1(1)2(3)3(311处收敛点都收敛，所以原级数在与且时，由于当xnnnnnxnnnnnnnnnnnnn)3,3(,3收敛区间为所以收敛半径为1limnnnuu1R因为三.幂级数的运算性质1.四则运算性质0)(nnnxgxb)(0xfxannn设收敛半径分别为和,记1R2R},min{21RRR则对于任意的,有),(RRx)()()().1(000xgxfxbaxbxannnnnnnnnn)()()()()).(2(0011000xgxfxbababaxbxannnnnnnnnnn利用乘法可以定义除法000)()(nnnnnnnnnxcxbxa000nnnnnnnnnxcxbxa则注意,商级数的收敛半径可能比原来要小得多2.分析运算性质)(0xSxannn设收敛半径为R,则(1)S(x)在收敛域内连续;(2)S(x)在(--R,R)内可导,且0100)()()(nnnnnnnnnxnaxaxaxS即幂级数在(-R,R)内可以逐项求导,所得到的幂级数收敛半径不变.可推广到任意阶导数(3)S(x)在(--R,R)内可积,且01000001][)(nnnnxnnxnnnxxnadxxadxxadxxS即幂级数在(-R,R)内可以逐项积分,所得到的幂级数收敛半径不变.注意:(2),(3)中端点需要另外讨论.例求和函数1).1(nnnx设和函数为S(x)11)(nnnxxxS1)(nnxx)(1nnxx2)1()1(xxxxx(|x|1)01).2(nnnx设和函数为S(x)则011)(nnnxxxS)(00nxndxxxnndxx00)()1ln(110xdxxx1ln(1),0||1()0,0xxSxxx