第四节 全概率公式与贝叶斯公式

随机事件及其概率第四节全概率公式与贝叶斯公式引言全概率公式和贝叶斯公式主要用于计算比较复杂事件的概率,它们实质上是加法公式和乘法公式的综合运用.加法公式P(A+B)=P(A)+P(B)A、B互斥乘法公式P(AB)=P(A)P(B|A)P(A)0综合运用一、全概率公式n一种外形相同的产品由个厂家协作生产（数量合作），现从所有产品中任意抽取一件，求其为次品引例：的概率。iABi设表示“产品为次品”表示“任取一件产品为第个分析：厂家生产”12,(,1,2)nijBBBBBijijn显然12,nBBB构成完备事件组，将样本空间有限划分。1B2B3B1nBnB一、全概率公式n现从中任取一件，若为次品，则必是个厂家中某一个厂家生产的次品，即：122AABABABiAB且间满足互斥关系（不可能由若干厂家共同生产）1212()()()()()nnPAPABABABPABPABPAB1122()()()()()().nnPBPABPBPABPBPABA1B2B3B1nBnB1()()()niiiPAPBPAB注：全概率公式的主要用处在于它可以将一个复杂事件的概率计算问题，利用完备事件组特性，分解为若干个简单事件的概率计算,最后应用概率的可加性求出最终结果。也可用概率树枝图表示。一、全概率公式11.各节点枝路纵向概率加和为2.沿枝路顺次横向概率满足乘法公式一、全概率公式1已知一批零件由甲、乙、丙三个工人生产。三人各自产量分别占总产量的20%、40%、40%，若三人的次品率分别为各自产品的5%、4%、3%,现任取一件，求其为次例品的概率。(1,2,3)iBiA解：设分别表示三人各自生产的产品，表示“产品为次品”可由题意构造概率树枝图。31()()()0.20.050.40.040.40.030.038iiiPAPBPAB一、全概率公式0.40.50.702.20.6甲、乙、丙三人向一敌机射击，各自命中率分比为、、。若一人命中，敌机被击落的概为；两人命中，则敌机被击落的概率为；若三人都命中，则敌机必被击落。求：敌机被击例落的概率。(0,1,2,3)iBiiA解：设表示“恰有人命中敌机”表示“敌机被击落”由于三人射击彼此相构造概率树互独立枝图。，因此有一、全概率公式0123()(10.4)(10.5)(10.7)0.09()0.40.50.30.60.50.30.60.50.70.36()0.40.50.30.40.50.70.60.50.70.41()0.40.50.70.14PBPBPBPB0.40.50.702.20.6甲、乙、丙三人向一敌机射击，各自命中率分比为、、。若一人命中，敌机被击落的概为；两人命中，则敌机被击落的概率为；若三人都命中，则敌机必被击落。求：敌机被击例落的概率。一、全概率公式0123()0,()0.2()0.6,()1PABPABPABPAB由已知由全概率公式得30()()()0.458iiiPAPBPAB0.40.50.702.20.6甲、乙、丙三人向一敌机射击，各自命中率分比为、、。若一人命中，敌机被击落的概为；两人命中，则敌机被击落的概率为；若三人都命中，则敌机必被击落。求：敌机被击例落的概率。一、全概率公式0.60.40.80.4人们为了了解某股票未来一定时期内价格的变化，往往分析影响股票价格的基本因素，例如利率的变化。现假设经分析后估计利率下调的概率为，不变的概率为。根据经验，利率下调时股票价格上涨的可能为，而利率不变的情况下股票价格上涨的可能为。求：该股票未来价格练习上涨的概率。0.64答案或者问：该件次品来自哪个厂的可能性最大?实际中还有下面一类问题：已知结果求原因.这一类问题在实际中更为常见，它所求的是条件概率，是已知某结果发生条件下，求各原因发生可能性大小.例如，在本节开始的引例中，若已知抽取到的一件产品为次品，求该产品来自第k厂的概率.二、贝叶斯公式()kPBA1()(),()()kkniiiPABPBPABPB1,2,,.kn二、贝叶斯公式该公式称为贝叶斯公式.贝叶斯（或逆概）公式的条件完全相同，是一个问题的两个方面.()()kPBAPA二、贝叶斯公式0.20.5,0.3,0.10.3,0.73在秋菜运输中，某汽车可到甲、乙、丙三地去拉菜，设到此三处拉菜的概率分别为，而到各地拉到一级菜的概率分别为，。已知汽车拉到了一级菜,求该车菜来自乙地例的概率.123,,BBBA解:设表示“汽车由甲、乙、丙地拉菜”，表示“拉到一级菜”.由贝叶斯公式2()PBA2231()()()()iiiPABPBPABPB0.50.30.39470.20.10.50.30.30.7三、例题分析.4nmNM设甲、乙两袋，甲袋中装有个白球，个红球，乙袋中装有个白球，个红球今从甲袋中任取一球放入乙袋，再从乙袋中任取一球，求取到白球例的概率.12:BBA解：设:从甲袋中取到白球，:从甲袋中取到红球，从乙袋中取到白球，三、例题分析.4nmNM设甲、乙两袋，甲袋中装有个白球，个红球，乙袋中装有个白球，个红球今从甲袋中任取一球放入乙袋，再从乙袋中任取一球，求取到白球例的概率.1122()()()()()PAPBPABPBPAB由全概率公式111nNmNmnMNmnMN(1)()(1)nNmNmnMN三、例题分析5某人忘记电话号码的最后一个数字，因而随意拨号，求他拨号不超过三次而拨通电例话的概率.1121121312()()()()3()()()=10PPBPBPBBPBPBBPBBB解：通三、例题分析三、例题分析三、例题分析例7在一盒子中装有15个乒乓球，其中有9个新球。在第一次比赛时任意取出三个球，比赛后仍放回原盒中；在第二次比赛时同样任意取出三个球，求第二次取出的三个球均为新球的概率。解设第一次取出的球为“3新”、“2新1旧”、“1新2旧”“3旧”分别为事件A1、A2、A3、A4；“第二次取出三个新球”为事件B，则41()()()iiiPBPAPBA33211233339696968697333333331515151515151515CCCCCCCCCCCCCCCCCC三、例题分析