第6讲 质点的角动量角动量守恒定律

第5章质点(系)的角动量角动量守恒定律LawofConservationofAngularMomentum5.1质点的角动量定理5.2质点系的角动量定理5.3角动量守恒定律在自然界中经常会遇到质点围绕着一定的中心运转的情况。例如，行星绕太阳的公转，人造卫星绕地球转动，电子绕原子核转动以及刚体的转动等等。在这些问题中，动量定理及其守恒定律未必适用，这时若采用角动量概念讨论问题就比较方便。角动量也是一个重要概念。□0Lrmv(矢量)Lmvr的大小为：LsinLLrmv和的夹角为θ，rmv的方向：由和按照右手螺旋法则确定。Lrmv角动量的定义：角动量是状态量；是描述质点对固定点的转动状态的物理量。也称为动量矩。□5.1质点的角动量定理一质点的角动量关于角动量①角动量与位矢有关,位矢与参考点有关,有相对性。谈到角动量时必须指明是对哪一参照点而言。②当质点作圆周运动时，θ=π/2角动量大小为：sinLmvrmvr2mr讨论匀速圆周运动的质点关于圆心的角动量是常数。对于匀速圆周运动，因速度的方向一直在改变，因而动量不守恒，但角动量是一个常矢量。③在直角坐标系中，角动量在各坐标轴的分量为：()zyxLxPyP()yxzLzPxP()xzyLyPzPˆˆˆxyzijkLrPxyzPPPˆˆˆ00xyijkLrPxyPP当质点作一般平面运动时，角动量为：ˆ()yxxPyPk例题1：质点作直线运动的角动量。解：质点位置矢量的方向发生了变化─转动mvrsinLmvr广义的转动：yzxoprLr匀速直线运动的质点关于固定点的角动量是常数。当质点作匀速直线运动时，v,r⊥都是不变的，角动量是常量。mvrsinLmvrLmvrrPLmvrmvrsinLmvr地球公转（圆轨道）的角动量。解：例题2：地球的轨道半径是它的质量是因此可得，它绕太阳的角速率111.510mR246.010kgm地球每年运动一周(365)dT(2)rad72.010rad/s2(365)(24)(3600)dh/ds/h2/T所以地球绕太阳公转的角动量大小是402.7102kgm/s241127(6.010)(1.510)(2.010)2LmR类比质点的动量定理FdvmdtdPdmvdtdt考查质点角动量的变化率：LrmvdLdrmvdtdt（）()dmvdrrmvdtdtrFvmvdLMdt于是有引起转动状态改变的原因是由于力矩的作用可见:rF令rFM─力矩二质点的角动量定理力矩和角动量必须都是对同一固定点的。比较dLMdt—角动量定理的微分形式dPFdt00ttMdtLL00ttFdtPP与动量定理在形式、结构上一致。—角动量定理的积分形式冲量矩冲量质点所受的合力矩等于其角动量对时间的变化率。质点角动量的增量等于作用于质点上的冲量矩。0MrFsinMMrF其中θ为和的夹角rFMrFrFsinMrFrFsinMFrrF力对某一固定点的力矩的大小等于此力和力臂的乘积。Fr三力矩②有心力对力心的力矩为零。①在直角坐标系中，力矩在各坐标轴的分量为：关于力矩上式也称为力对轴的力矩。始终指向某一固定点的力叫有心力，该固定点为力心。xyzijkMrFxyzFFFxzyyxzzyxMyFzFMzFxFMxFyF讨论落体运动中质点对同一参照点的角动量和力矩试问：企鹅从A做自由落体运动的过程中，对于O点的角动量为多少？—力偶矩FFFF一对等大反向的力作用于对称中心的力矩。解：例题3：2MRF2MFdd质点系的角动量是各个质点对同一固定参照点的角动量的矢量和。一质点系对固定点的角动量5.2质点系的角动量定理11nniiiiiLLrp二质点系的角动量定理研究方法：先对每个质点应用角动量定理，然后对所有质点求和。对质点i应用角动量定理：1,niiiiijjjidLMrFfdt对质点系中所有质点求和，则有11nniiiiLLLdtdtdtdddextintMM11nniiiiiijjirFrfFjO——等式左边——等式右边1nintiijijiMrf1nextiiiMrF——各质点所受外力矩的矢量和。——各个质点所受的各内力矩的矢量和。考察一对内力矩的矢量和。内力是成对出现的iijjjiijijrfrfrrfjiijff与共线，矢积为0.ijrrijf因此，所有内力矩的矢量和为0.□FjO所以对质点系有：质点系所受的合外力矩等于其角动量对时间的变化率。——质点系的角动量定理extdLMdt则有：若质点(系)所受外力对某固定参照点的力矩矢量和为零，则质点(系)对该固定点的角动量守恒。—角动量守恒定律根据动量定理：dLMdt若0ML常矢量5.3角动量守恒定律一角动量守恒定律•质点(系)所受的合外力为零；•合力矩为零。•在有心力的作用下,质点(系)对力心的角动量都是守恒的；•匀速直线运动的质点(系)对任意固定点的角动量都是守恒的。□关于守恒条件讨论用绳系一小球使它在光滑的水平面上做匀速率圆周运动，其半径为r0，角速度为ω0。现通过圆心处的小孔缓慢地往下拉绳使半径逐渐减小。求(1)当半径缩为r时的角速度；(2)此力作功几何？解：例题4mr0rov以小孔o为原点绳对小球的拉力为有心力，则小球对o点的角动量守恒。其力矩为零。初态末态角动量守恒所以2000Lmr2Lmr2200mrmr2002rr根据动能定理，此力的功为：0[()]2200112rmvr2201122mvmvkWE可见，把质点从较远的距离移到较近的距离过程中，若维持角动量守恒，必须对质点做功。星系的形状可能与此有关。星系（银河系）的早期可能是具有角动量的大质量气团，在引力作用下收缩。轴向的收缩不受什么阻碍，很快塌缩。径向却不那么容易，因而像银河系这样的星系呈扁平状。银河系Hereis我们的太阳~~~~仙女座星系(220万光年)一颗地球卫星，近地点181km，速率8.0km/s，远地点327km，求卫星在该点的速率。解：例题5角动量守恒近地点11vr远地点22vr则2211mvrmvr7.83km/s1212rvvr63701818.06370327且Istheangularmomentumofplanetconservativeabouttheotherfocusoforbit?Why?NO!1r1v2r2v这就是为什么彗星运转周期为几十年，而经过太阳时只有很短的几周时间。彗星接近太阳时势能转换成动能，而远离太阳时，动能转换成势能。在低轨道上运行的地球卫星由于大气摩擦阻力对地心的矩不为零，其对地心的角动量不守恒。在此力矩的作用下，卫星的角动量值不断减小，最后陨落地面。角动量守恒是自然界的普遍规律从天体运动到亚原子粒子的运动，都未发现反例。角动量守恒、动量守恒及机械能转换与守恒定律并称为三大守恒定律。dLMdtextdLMdtˆˆˆxyzijkLrPxyzPPPxyzijkMrFxyzFFF角动量：力矩：质点角动量定理：质点角动量定理：角动量守恒条件：0extM0M00ttMdtLL冲量矩Whatlearned?