阿基米德三角形在高考中的应用

高考题中的阿基米德三角形图1回顾：过抛物线x2=2py(p0)上的点P(x0，y0)处的切线方程？yx(x0,y0)x0x=p(y0+y)OFP)(00yypxx可以表示什么直线？还方程思考：)(00yypxx结论：过抛物线x2=2py(p0)外一点P(x0，y0)，分别作抛物线的切线PA、PB，A、B分别是切点，则直线AB的方程为．)(00yypxxyxx0x=p(y0+y)(x0,y0)POFBA由抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形.OABPF阿基米德三角形阿基米德是伟大数学家与力学家,并享有“数学之神”的称号。xy结论：直线AB的方程为．)(00yypxx图2yxx0x=p(y0+y)(x0,y0)POFBA线？的轨迹是否为一条定直点P则阿基米德三角形的顶(1,3),内一定点若弦AB过抛物线)y,(x2002yx(1,3)探究1：线？的轨迹是否为一条定直)y,三角形的顶点P(x则阿基米德c),点(0,2py内一定物线x若弦AB过抛002探究2：(a,b)性质1：若阿基米德三角形ABP的边AB即弦AB过抛物线内定点C，则另一顶点P的轨迹为一条直线。OABPFCxyyxx0x=p(y0+y)(x0,y0)POFBA则弦AB是否过定点？2py无公共点),1(与xxy在定直线基米德三角形的顶点P上的阿探究3：若抛物线2pyx22性质2：若直线l与抛物线没有公共点，以l上的点为顶点的阿基米德三角形ABP的底边AB过定点。OABPFCxy成等差数列.B三点的横坐标M,,A、B两点.求证：A线，切点分别为过M引抛物线的两条切2p上任意一点，y:M为直线l0),(p2py如图，抛物线x例1：(08.山东)2MOABxy-2pN思考：把M改成抛物线外任意一点，结论仍然成立吗？POABFxyN性质3：如图,ABP是阿基米德三角形，N为抛物线弦AB中点，则直线PN平行于抛物线的对称轴.pyx22断D.无法判C.垂直B.平行A.相交)(的位置关系M。则直线PM与x轴弦AB的中点为B,两条切线，切点为A,4x的物线y任意一点，过点P作抛9上y4)x练习1.动点P是圆(222BBPAOxyM.Q-c交于点P,y:段AB和直线l的直线，分别与线两点，一条垂直于x轴B相交于A,xy任作一直线，与抛物线，c)轴正方向上一点C(0中，过y系xoy标)如图，在平面直角坐练习2：(07.江苏2是否成立？说明理由。命题（2）试问（1）的逆O为此抛物线的切线；QA的中点，求证：为线段AB（1)若PQABCPxyM(M)性质4：在阿基米德三角形ABP，则||||||2FBFAPFOABPFxyB)2,(211pxxApyx22))(2,(21222xxpxxB)2,2(2121pxxxx的关系？|PF||与FB||FA|2探究4：)2,0(p).t,(s交抛物线与另一点B的直线FA4y上的点，过焦点F线x)是抛物y,(xA,如图.对每个正整数n)重庆.22例2：(06.nnnn2nnn1）;4（nsx(1)试证：nn4y上x2).t,(sBnnn)y,(xAnnn1,nykx4(1)nnxsn1,nnnAB证明：（Ⅰ）对任意固定的因为焦点F（0,1）,所以可设直线的方程为由一元二次方程根与系数的关系得2440nxkx得由,412yxxkyn122|FC||FC||FC|点。试证：为切点的两条切线的交B以A为抛物线上分别并记C,2(2)取x1nnn21nnnnn1）;4（ns(1)试证：xnn4y上x2性质4：在阿基米德三角形ABP，则||||||2nnnFBFAFC).t,(sBnnn)y,(xAnnnF(0,1)OABPFxyB)2,(211pxxA))(2,(21222xxpxxB)2,2(2121pxxxx性质5：如图：在阿基米德三角形ABP，若F为抛物线焦点，则PFBPFA)2,0(p∠PFB.=∠PFA:证明.分别相切于A、B两点，且与抛物线C的两条切线PA、PB线C0上运动，过P作抛物2-y-x:直线l的焦点为F，动点P在xy抛物线C：(05.江西）如图，2OABPFxy高考链接：,||41)41(||)41)(41(2||||cos10221212110110FPxxxxFPxxxxxxFBFPFBFPBFP同理可得：分析：))((,(),,(0121120xxxxBxxA设切点∴∠AFP=∠PFB.,||41)41(||)41)(41(2||||cos10220202010010FPxxxxFPxxxxxxFAFPFAFPAFP∴).,2P(1010xxxx则).41,(),41,2(),41,(2111010200xxFBxxxxFPxxFA∴推论：在阿基米德三角形ABP，若弦AB过抛物线焦点F，则ABPFOABPFOABPFxy练习3：(06.全国)已知抛物线x2＝4y的焦点为F，A、B是抛物线上的两动点，且AF＝λFB（λ＞0）．过A、B两点分别作抛物线的切线，设其交点为Ｍ．则ABFM的值为（）A.大于0B.等于0C.小于0D.无法判断B推论：在阿基米德三角形ABP，若弦AB过抛物线焦点F，则ABPF课堂小结：2.关键点：阿基米德三角形三个顶点坐标之间的关系。QOABCF1.一个阿基米德三角形3.方法：求导法；主元法；设而不求法。OABPFA1B1pyx22FAPAPA1AF分析：AA1FAPPAA1AFPPAA111PBPFFP,P同理可得：BBBPFPA1111111APBBPA即,PBPAxyOABPFpyx22xyΔBFP相似ΔPFA与根据刚才的证明，可得|FB||PF||PF||FA||FB||FA||PF|2,0,0,,0000101yxxxxx则不妨设由于时)0,2(1x方法2:①当所以P点坐标为的距离为：，则P点到直线AF,4141:;2||12111xxxyBFxd的方程而直线即.041)41(1121xyxxx所以P点到直线BF的距离为：2||412||)41()()41(|42)41(|1211212122111212xxxxxxxxxd所以d1=d2，即得∠AFP=∠PFB.001xx,041)41(),0(041410020020xyxxxxxxy即2|xx|41x)41)(x2xx|x)41(x|x41xx)2xx)(41(x|1020201020220012010201d2||012xxd②当时，直线AF的方程：所以P点到直线AF的距离为：同理可得到P点到直线BF的距离因此由d1=d2，可得到∠AFP=∠PFB.OABPFA1B1pyx22FAPAPA1AF分析：AA1FAPPAA1AFPPAA11PB同理可得：PFPFPA1111111APBBPA即,PBPAxyOABPFA1B1pyx22N四点共圆P,,F分析：M,BPBFPA1MNFBPFPAxyΔBFP相似ΔPFA与|FB||PF||PF||FA||FB||FA||PF|2MNFFPNOABPF探究：xy∠PFB会成立吗？=FAA、B两点.那么∠P与抛物线C分别相切于条切线PA、PB，且过P作抛物线C的两,P为抛物线外任意一点焦点，x如图，F为抛物线C：2py2