第2章极限与连续

第2章极限与连续【知识目标】理解极限与连续的概念；掌握极限的四则运算法则，熟练使用两个重要极限；理解无穷小的定义与性质，会利用等价无穷小求极限；理解函数连续的定义，掌握判断函数在一点处连续性的方法；理解闭区间上连续函数的性质．【能力目标】能熟练掌握极限的计算方法；能准确判断函数在一点的连续性，会求函数的间断点，并确定其类型；能根据极限的思想，对具体与抽象、特殊与一般、有限与无限等辩证关系有初步的了解，提高发现问题、分析问题的能力，树立辩证的观点．案例二：非法传销为何如此吸引人？近年来，非法传销引起了人们广泛关注，相关的新闻报道层出不穷，其参与人数之多，波及范围之广，更是让人大为震惊．那么，非法传销为何能吸引如此多的人呢？甚至很多大学生也深陷其中？学习本章极限的知识，能帮我们解开谜团．极限在生活中很多领域都有着广泛的应用，如药物在人体内的代谢、细菌的繁殖、某产品的产量和价格变化等，都可以通过极限来进行研究．作为微积分的一个重要基本概念，微积分中的许多理论都是以极限为基础的，如连续、导数、定积分等，都是通过极限来定义．本章我们首先介绍极限的概念，在此基础上进一步学习极限的性质和计算方法，并引入函数的连续性，为学好微积分打好基础．2.1极限2.1.1数列的极限引例1我国战国时期哲学家庄周所著的《庄子·天下篇》里有一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”．意思是说：一尺长的木棒，每天取它的一半，永远取不尽．问题所组成的数列为1，12，212，，12n，．引例2我国魏晋时期的数学家刘徽(公元前225—295)在其《九章算术》中，提出了用割圆术的方法确定圆的面积．对于一个圆，先作圆内接正六边形，记其面积为A1，再作圆内接正十二边形，记其面积为A2，如此循环下去，每次边数成倍增加，得到一系列圆内接正多边形的面积A1，A2，A3，…，An，…，其中内接正162n边形的面积记为An，n越大，对应的内接正多边形的面积就越接近于圆面积，但无论内接正多边形的边数有多大，所得到的An始终不是圆的面积．只是当n无限增大(记作n)时，An无限接近于圆的面积．上述两个引例有一个共同的特征：自变量无限增大时，相应的函数值接近于某一个常数。例1试分析下面几个数列的变化趋势：(1)2,4,,2,n；(2)2，12，43，34，…，1(1)nnn，…；(3)111,,,,242n；(4)11,1,1,,(1),n．解：这几个数列的变化趋势各异：数列(1)是公比为2的等比数列，随着项数n的增加，na的值无限增大；数列(2)随着n的无限增大，1(1)nnnan无限接近常数1；数列(3)的各项正好是数列(1)的倒数，随着项数n的增加，na的值逐渐减小，而且越来越趋近于常数零；数列(4)的各项由1，1交替出现构成，随着项数n的增加，na的值不断在1和1之间摆动．定义2.1对于数列na，如果当n无限增大时，数列的通项na无限地趋近于某一确定的数值A，则称常数A是数列na的极限，或称数列na收敛于A，记为limnnaA．否则称数列没有极限或称数列是发散的．由定义可知，在例1中，数列(2)和(3)是收敛的；数列(1)和(4)是发散的．2.1.2函数的极限类似于数列极限，可以推广到函数的极限．研究函数极限时，我们常会遇到自变量在以下两种情况下的变化趋势．1.当x时的极限如图2-1所示是函数1yx(R,0xx)的图像，从图中可以看出，当自变量x时，函数1yx无限趋近于常数0．定义2.2如果x(即|x|无限增大)时，函数()fx无限接近于某确定的常数A，则称A为函数()fx当x时的极限，记作lim()xfxA或()fxA(x)，否则称当x时，函数()fx极限不存在．定义2.2对于x和x两种情形也成立．定理2.1极限lim()xfx存在且等于A的充分必要条件是极限lim()xfx与lim()xfx都存在且等于A，即lim()xfxAlim()xfx=lim()xfxA．例2求limarctanxx与limarctanxx.解：考查()arctanfxx，由图2-2可知，当x时，函数()arctanfxx无限趋近于常数2，所以limarctanxx=2．同理当x时，函数()arctanfxx无限趋近于常数2，所以limarctanxx=2．由定理2.1可知，limarctanxx的极限是不存在的．2.当0xx时的极限先考查如下例子：例3讨论当1x时，函数211xyx的变化趋势．解：作出函数211xyx的图像，如图2-3所示，此函数在1x处没有定义，但从图像上可以看出，当x从1的左右两侧同时趋近于1时，函数211xyx的值无限地趋近于2．图2-1图2-2图2-3从上面的实例可以看到，函数()fx在点0x处的极限是否存在与其在点0x处是否有定义无关.定义2.3当自变量x从左右两侧同时无限趋近于常数0x时，如果函数()fx无限趋近于一个常数A，则称A为当0xx时函数()fx的极限,并记作0lim()xxfxA,或当0xx时，()fxA．3.左右极限有时我们只考虑x从0x右侧趋近于0x，记作0xx；或只考虑x从0x左侧趋近于0x，记作0xx时函数的变化趋势，于是引出左右极限的概念．定义2.4如果当x从点0x的左侧(即0xx)无限趋近于0x时，函数()fx无限趋近于常数A,称A是函数()fx的左极限，记作0lim()xxfxA．定义2.5如果当x从点0x的右侧(即0xx)无限趋近于0x时，函数()fx无限趋近于常数A,称A是函数()fx的右极限，记作0lim()xxfxA．根据x→0x时函数()fx的极限定义和左、右极限的定义，容易证明下面定理.定理2.20lim()xxfxA的充要条件是：00lim()lim()xxxxfxfxA.根据定义可以得到如下结论：(1)00limxxxx；(2)0limxxCC(C为常数).例4设函数22,0,(),01,(1)1,1,xxfxxxxx≤分别讨论当x→0和1x时的极限.解：0limx()fx=0limx(2)2x，00lim()lim0xxfxx，因为00lim()lim()xxfxfx，由定理知，0lim()xfx不存在．又因为11lim()lim1xxfxx，211lim()lim(1)11xxfxx，11lim()lim()xxfxfx，所以1lim()xfx存在.归纳起来，当0xx时，极限不存在的情形主要有以下三种.(1)00lim()lim()xxxxfxfx；例如函数20()10xxfxxx≥,当0x时,0lim()0xfx，0lim()1xfx．左右极限都存在，但不相等，故极限不存在．(2)当x以某种趋势变化时，()fx；例如当x时，2xy无限趋近于，故极限不存在．(3)当x以某种趋势变化时，()fx的值不确定．例如当x时，sinyx和cosyx的值反复振荡，不能趋向于某一确定的常数，所以极限不存在．2.1.3极限的性质性质1(极限的唯一性)如果0lim()xxfx存在，则极限唯一．性质2(局部有界性)若0lim()xxfx存在，则在0x的某去心邻域内()fx有界．简言之，有极限的函数必为有界函数．性质2的逆命题不成立，即有界函数未必有极限．例如当0x时，1()sinfxx是有界函数，但0x时，()fx的值总在1和1之间无穷次振荡，故此极限不存在．性质3(夹逼准则)设有函数()fx，()gx，()hx，如图2.4所示，其中00lim()lim()xxxxgxhxA，如果在点0x的某去心邻域内总满足条件()()()gxfxhx≤≤，则函数()fx的极限存在，且0lim()xxfxA．习题2.11．观察下列数列的变化趋势，并确定它们是否有极限？(1)11(1)2nnxn；(2)1(1)nnnxn；(3)213nxn；(4)12nx．2.设2()3xfxxx，问0lim()xfx是否存在？3.判断1limexx是否存在，若将极限过程改为0x呢？4.当0x时，讨论函数()xfxx的极限是否存在．5．设函数22,2()0,2(1)2,2xxfxxxx，讨论当2x时，()fx的极限．6．设2,0()0,021,0xxbxfxxx，试确定b的值，使0lim()xfx存在．图2-42.2无穷小量和无穷大量下面我们用极限的方法来介绍两个在理论和实际中都很重要的概念——无穷小量和无穷大量．2.2.1无穷小量定义2.6以零为极限的变量称为无穷小量，简称无穷小．常用希腊字母,,表示．例如，1lim(1)0xx，所以当1x时，函数1x是无穷小；又1lim02nn，所以当n时，12n也为无穷小．关于无穷小有以下几点需要说明.①无穷小不能与很小的数等同，无穷小是变量．②谈无穷小一定要指明它的变化趋势．③零是唯一可以看作无穷小的常数．例1下列变量在怎样的变化过程中是无穷小？(1)12yx；(2)sinyx；(3)(1)nyn；(4)1()3xy．解：(1)因为1lim02xx，所以当12yx时，12yx是无穷小．(2)因为0limsin0xx，所以当0x时，sinyx是无穷小．(3)因为(1)lim0nnn，所以当n时，(1)nyn是无穷小．(4)因为1lim03xx，所以当x时，13xy是无穷小．2.2.2无穷小的性质性质1有限个无穷小的代数和仍然是一个无穷小.思考：无穷多个无穷小的和还是无穷小吗？222212(1)111limlimlim2222nxxnnnnnnnn性质2有限个无穷小的乘积仍然是一个无穷小.性质3有界函数与无穷小的乘积是无穷小．例2求201limsinxxx.解：因为20lim0xx，而1sin1x≤，即函数1sinx是有界函数由性质3可得201limsin0xxx．2.2.3无穷大量和无穷小量相反，对无穷大量我们有如下定义．定义2.7在自变量的某个变化过程中，如果函数值的绝对值()fx无限地增大，则称()fx为在该自变量变化过程中的无穷大量，简称无穷大，记作lim()fx例如21()fxx，当0x时21x无限增大．这时我们就称21x是当0x时的无穷大量；11x为1x时的无穷大；21x为x时的无穷大．关于无穷大要注意以下几点.①无穷大是一个变量，这里借用lim()fx并不表示函数极限存在．②谈无穷大不能离开自变量的变化趋势．2.2.4无穷小与无穷大的关系定理2.3自变量的同一变化过程中，无穷大的倒数必为无穷小，非零无穷小的倒数必为无穷大．例如，当1x时，11x是无穷大，1x是无穷小．例3求极限2131lim23xxxx.解：当1x时，分母的极限为零，故不能应用商的极限运算法则．这时可利用无穷小与无穷大的关系.因为21lim(23)0xxx，而1lim(31)0xx，故2123lim031xxxx，所以2131lim23xxxx.2.2.5无穷小的阶我们已经知道，两个无穷小的和、差及乘积仍然是无穷小，但两个无穷小的商却会出现不同的情况．例如当0x时，2,2,sinxxx都是无穷小，但它们之比的极限20lim02xxx，202limxxx，0sin1lim22xxx．可以看出各个无穷小趋于零的快慢程度不一