§10-5 两个自由度体系的自由振动(柔度法)

§10-1动力计算的特点和动力自由度§10-2单自由度体系的自由振动§10-3单自由度体系的强迫振动§10-4阻尼对振动的影响§10-5两个自由度体系的自由振动§10-7两个自由度体系在简谐荷载下的强迫振动§10-11近似法求自振频率第10章结构的动力计算▲结构的刚、柔度系数复习§10-5两个自由度体系的自由振动(续)二、柔度法m1m2y1(t)y2(t)22ym11ym1.建立振动方程（建立位移方程）——y1(t)、y2(t)是两个惯性力共同作用下的静力位移111112212()()()ytmytmyt211212222()()()ytmytmyt（1）11122122、、、——柔度系数2.频率方程和频率①假设位移（振动方程的解，简谐）1122()sin()()sin()ytYtytYta）在振动过程中，两个质点具有相同的频率和相同的相位角；b）在振动过程中，两个质点的位移之比为常数。1122()()ytYytY=常数矩阵式：1111211221222200ymyymy－（2）②幅值方程（位移代入振动方程，消去sin()项，得）1112122121212222101mmYYmm当然Y1=Y2=0为零解（无意义解）；而非零解的条件是：系数行列式＝0。③频率方程（特征方程）11121221212222101mmDmm展开为关于（1/ω2）的二次方程，可解出ω1、ω2。（3）（4）21令2111222112212122112()()0mmmmmm21111222111222112212211221()()4()2mmmmmm1212113.主振型(1)111211212111mm标准化(2)111222212111mm标准化1112221111211YmYm（1）第一振型（对应于ω1的Y1/Y2相对值）（2）第二振型（对应于ω2的Y1/Y2相对值）1212222111221YmYm将ω1代入幅值方程任一式，可得：将ω2代入幅值方程任一式，可得：1112122121212222101mmYYmm幅值方程0.5a[例1]试求图示梁的自振频率和主振型，梁的EI已知。12aaamm解：（1）计算频率1a1M12M33311122122,,46aaaEIEIEI12330.9673.203EIEImama（2）振型(1)(2)110.2773.6110.27713.61第一振型第二振型（对角阵）▲一般多自由度体系的自由振动1.振动方程刚度法柔度法yMy－0MyKy2.假设特解（位移）sin()yYt3.幅值方程20KMY21I0MY4.频率方程20KM21I0M（n×n）（n×n）（n×n）（n×n）（n×1）（n×1）——展开为ω2的n次方程，可解得n个自频ω1…ωn。基频为ω1，由低到高依次排列。惯性力回弹力惯性力（位移代入振动方程，消去sin()项，得）5.主振型（n个）——对应于ωi的振型为Y(i)将ωi代入幅值方程：2()0iiKMY20KM∴方程组只有（n-1）个独立方程，只能求出的相对值。()iY求法：令质量m1的振幅()11iY()1()2()iiinYYY标准化()2()1iin()2()iin()i简记为其中可由（5）式中（n－1)个独立方程解出。（5）▲多自由度体系自由振动的特点小结1.n自由度体系有n个自振频率：12n、、3.对应第i振型的初始条件下，体系将以频率ωi按照第i振型作简谐振动；4.一般初始条件下的自由振动是各个振型的叠加；5.两个不同振型之间存在着正交关系2.每个ωi对应有相应的主振型，有n个主振型；由功的互等定理可以证明：T()M0ij（）T()K0ij（）——第一正交（关于质量）——第二正交（关于刚度）（振型分解法要用到）（由基频依次到高频）)ij(当结束（第二版）作业:（均用柔度法，作出振型图）10—18（可查表和分配法求M）10—19