巧解深究 提高素养!二次曲线系视野下对2017年高考新课标全国卷Ⅰ理数20题的反思

巧解深究提高素养二次曲线系视野下对2017年全国Ⅰ卷理数20题的反思南昌市第三中学张金生13970029128【摘要】核心素养的教育教学是今后相当长时间段内的热点。本文从二次曲线系角度去探索试题的多种解法，挖掘试题的本质属性，在提高数学学科核心素养方面作出一点探索。【关键词】二次曲线系、学科核心素养、定点定值、椭圆的伴随矩形、椭圆的大小伴随圆。2017年高考新课标全国Ⅰ卷理数的设计遵循《普通高中数学课程标准》和《高考说明》的要求和阐述，紧密联系高中数学教学现状，关注数学本质，渗透学科核心素养。本文从二次曲线系的角度去研究该卷20题，请看题：20.（12分）已知椭圆,四点，，，中恰有三点在椭圆C上。（1）求C的方程；（2）设直线不经过点且与C相交于A，B两点.若直线与直线的斜率的和为-1，证明：过定点.常规解法略，为巧解该题，我们先看关于二次曲线系的相关概念：二次方程表示的曲线叫做二次曲线，它包括圆、椭圆、双曲线、抛物线以及两条直线（退化的二次曲线）。二次方程表示两条直线，但这个方程展开后，是一个二次式，因此我们说这是退化的二次曲线。已知两条二次曲线与相交，且有四个交点，则方程（为参数）表示经过其四个交点的二次曲线系方程。若能确定所求的曲线不是或，我们可以只设一个参数。当我们已知曲线，要求某些未知数时，我们可以利用，两边对比系数即可。下面利用该知识解决笔者原创的南昌市2017年一模试题20题：例1．(2017年南昌一模20)已知椭圆的左、右顶点分别为，左、右焦点分别为，离心率为，点，为线段的中点.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若过点且斜率不为的直线与椭圆的交于两点，已知直线与相交于点，试判断点是否在定直线上？若是，请求出定直线的方程；若不是，请说明理由．解：（1）。（2）常规方法计算量较大，此处略。设，易知，，，因为椭圆过二次曲线与二次曲线的四个交点，则有比较两边项的系数，得；比较两边项的系数，得，两式联立，则，则，由，即点在定直线上。若一条直线与一条二次曲线交于两点，那么对于这两条直线，怎么来刻划呢？设直线的方程为：曲线方程为：我们将变形为，利用它将②中的所有项配成二次，得注意到点满足式，又为二次齐次式，所以它一定能分解出：，这就是过原点的两直线，也可以将两边同除，视其为关于的二次方程，解出两根，即为，这即为的斜率．由上可得2017年高考解析几何20题巧解：(1)根据椭圆的对称性，可知在椭圆上，所以椭圆方程为(2)将坐标系向上平移一个单位，将原点移至点。椭圆方程化为即设直线对应的直线为，则化齐次联立，得：整理得,即结合两直线斜率之和为-1，得即所以直线恒过点，在原坐标系中，直线过定点我们再来深挖该题背景性质：性质1：已知点，我们称矩形为椭圆的伴随矩形，设直线不经过点且与椭圆C相交于两点，若，则直线过定点。性质2：从椭圆的伴随矩形的顶点引一条直线与椭圆交于两点，若则。这两条性质读者不妨用前面二次曲线系的方法去简洁证明。关于椭圆类似性质的探究，笔者在《对一次试卷讲评课的一点感悟》（《中学数学研究》2016年第4期）一文中有以下两个结论：性质3：从已知椭圆的大伴随圆上一点作椭圆的两条切线，则两条切线相互垂直。性质4：已知椭圆的小伴随圆的任意一条切线与椭圆恒有两个交点P，Q，则⊥。2017高考全国Ⅰ卷解析几何解答题考查了数学抽象、逻辑推理、数学运算、数据分析等核心素养，重点考查思维品质，减少计算量。数学离不开计算，核心素养下的数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题。主要包括：理解运算对象，掌握运算法则，探究运算方向，选择运算方法，设计运算程序，求得运算结果。重在运算法则的掌握、运算方向的探究、方法的选择，也就是“多一点想、少一点算”。基于核心素养视角的教育教学将是今后相当长时间段内的热点。本文从二次曲线系视角下探索试题的多种解法，挖掘试题的本质属性，在提高数学学科核心素养方面作出一点探索，不到之处敬请批评指正。