第1讲 最优化技术基础

参考书(1)曹卫华:最优化技术方法及MATLAB的实现,2005(2)赵洪宾:给水管网系统理论与分析,2003,209~260(3)周玉文:排水管网理论与计算,2000,151~173(4)王国明:城镇给排水工程程序设计,2002给排水管网优化设计课程内容第1讲最优化技术基础第2讲管网设计基本理论第3讲输水管道优化设计第4讲环状管网优化设计第5讲排水管道优化设计第1讲最优化技术基础1水工程最优化问题概述最优化问题的研究始于二次世界大战之前，当时用于解决最优化问题的数学方法主要是古典的微分法和变分法。二次世界大战中，由于出现了大量不能用古典方法解决的最优化问题，因而产生了数学规划方法。此后，最优化理论和方法逐渐得到丰富和发展。特别是60年代以来，随着电子计算机技术的飞速发展，最优化技术借助计算机这一有效的计算工具，使许多最优化方法得以实现．目前，这项技术已形成为一门新兴的学科，最优化理论的应用已遍及各个领域。在水工程领域存在着大量的最优化问题如水处理设备的设计、制造、安装及运行方式的选取，水处理工艺系统的选择和确定，都涉及许多最优化问题．在水工程领域中，最优化理论和方法最先应用于废水处理方面，在给水处理方面的应用是在上世纪70年代末期，在给排水管网设计方面也有最优化应用的一些成果。2水工程的寻优问题例1设计一个中间有隔板的长方形沉淀水箱，要求各个面壁加底板的总面积不得超过288m2，应如何确定尺寸，使沉淀水箱的容积最大？设沉淀箱的长、宽、高分别为x、y、z，要求确定x、y、z，而使沉淀箱容积V＝xyz最大。x、y、z的取值，显然必须满足：x、y、z＞03yz+xy+2xz≤288我们可以把这个问题写成这种形式:Vmax=xyz(1－1）x、y、z要满足如下条件:x、y、z＞03yz+xy+2xz≤288（1－2）例2靠近某河流有两个化工厂(下图)。流经第一个化工厂的河水流量是500×104m3/d；在两个化工厂之间有一条流量为200×104m3/d的支流。第一个化工厂每天排放工业污水2×104m3；第二个化工厂每天排放工业污水1.4×104m3。从第一个化工厂排出的污水流到第二个化工厂之前，有20％可自然净化。根据环保要求，河流中工业污水的含量应不大于0.2％。若这两个化工厂都各自处理一部分污水，第一个化工厂处理污水的成本是0.1元/m3，第二个化工厂污水处理的成本是0.08元/m3。现在问，在满足环保要求的条件下，两个化工厂各处理多少污水才能使两厂总的处理污水费用最小？设第一个化工厂每天处理污水量为x1×104m3，第二个化工厂每天处理污水量为x2×104m3，两个化工厂总的处理污水费每天为:0.1x1×104＋0.08x2×104＝1000x1＋800x2（元）500×104m3/d200×104m3/d问题是要求这个总处理污水费用最小，即要选择x1和x2，使1000x1＋800x2min或者,等价地使5x1＋4x2minx1和x2并不能任意选择，它们受到许多条件的限制。每个化工厂每天处理的污水量不能为负值,但也不会大于每天的排放置，即x1、x2≥0x1≤2，x2≤1.4从第一个化工厂到第二个化工厂，河流中污水含量不应大于0.2％，所以即x1≥1流经第二个化工厂后，河流中的污水量仍应不大于0.2％，这时有即0.8x1+x2≥1.6或4x1+5x2≥8问题的数学表达式可写成如下的形式:x1、x2要满足如下条件：3最优化问题的理论表述(1)系统●“最优化”是“系统的最优化”．●系统是指许多单元按某种目的而构成的整体，即一组相互联系、相互依赖、相互制约、相互作用的事物或过程组成的具有特定功能和行为的整体。确定系统，就是确定研究的范围。●通常一个系统是由比它更小的系统所组成的。而一个系统又往往是另一个更大系统的组成部分。我们把组成系统的次一级较小的系统称为原系统的子系统。最基本的子系统是单元设备或单元过程。(2)决策变量和状态变量每一个系统都可以用一组基本参数来表示,有结构参数(设备几何尺寸、台数等)，操作参数(运行控制的参数)或其它物理量。这些参数中可独立变化的参数，称为决策变量或设计变量。另一些参数是由决策变量所决定的，称为状态变量。任何系统总有由它本身过程特性所决定的内部联系，这种内部联系就是确定基本参数之间相互关系的数学方程式，又称为状态方程。所以一旦决定了决策变量,状态变量也就随之决定了。从这个意义上说，只要决定了决策变量，系统的状态也就被单一地确定了。显然,系统的基本参数数目总是大于描述它内部联系的数学方程式的数目的，所以这些方程组就有无穷多个解。正因为如此，研究系统的最优化就十分必要和有意义。(3)目标函数、约束条件、可行点和可行域1)目标函数上述例子都是用一个数学式子来评价生产过程或设计方案的优劣程度，这种数学式子就称为最优化问题的目标函数(也称性能指标或最优化准数)。即事先对系统规定最优化准则，或者列出系统最优设计或最优控制所要达到目标的数学表达式,它是状态变量、决策变量的某种形式的函数，但最终它是决策变量的函数。设目标函数为式中xi——决策变量，i＝l，2，…，n;yj——状态变量，j＝1，2，…，r因为状态变量是决策变量的函数:因此使用更简捷的记法:S=S(x,y)(1—8)因为y=y(x)所以S=S(x,y(x))=S’(x)(1—9)例1的目标函数是:manxyz或min(-xyz)例2的目标函数是:min1000x1+800x2有时目标函数难以用一个数学式表达出来，或者即使能表达出来，表达式也非常复杂。但是，只要给出一种规则，依据这种规则，可以由决策变量、状态变量计算出目标函数的值，那么也同样可以认为目标函数已经给定了。很显然，目标函数的形式要视对系统的最优化具体要求而定，其函数结构和形式没有统一的标准。建立的目标函数是否合适,对最优化问题是很重要的。需要指出，例3,例4是取经济指标为目标函数。与经济因素有关的一类目标函数，通常都比较复杂，而由于经济问题中包含过程的随机性和不确定因素，问题将会更加复杂一些。2)约束条件有些最优化问题对决策变量的取值没有什么限制，这种问题称为无约束问题。但在大多数最优化问题中，决策变量和状态变量是不可能任意取值的。由于技术条件、环境要求等，对它们的变化范围总要加以限制，或者规定它们之间的相互关系。这些称为问题的约束条件。通常约束条件有两种形式，(1)等式约束(2)不等式约束这两种不等式可以用一个来代替．在(1—13)式两边乘(－1)就转化为(1－12)式的形式．此外，利用一个正的辅助变量xn+1(称为松弛变量)，可以把不等式约束变为等式约束,如(1—12)式可以写成(1)等式约束(2)不等式约束3)可行点及可行域满足所有约束条件的一个方案,即决策变量的一组取值，称为一个可行点。所有可行点的集合称为可行域.所谓寻优，就是在可行域上寻找最优的可行点。(4)最优化问题的一般表达式通常用下面的形式表达最优化问题s.t.是subjectto的缩写，即“受约束于…”。min指求目标函数值最小．有时用opS代替minS(op是optimization的缩写),用更简捷的记法:这里x=(x1，x2,…，xn);V是指满足所有约束条件的x的集合，即可行域。4最优化问题的类型一个最优化问题，至少有两个要素，第一个是可能的方案，第二个是追求的目标，而后者是前者的函数。如果第一个要素与时间无关，则称该问题为静态最优化问题，否则称为动态最优化问题(主要用于自动调节和自动控制系统)。如果目标函数是决策变量的线性函数,而且约束条件也是决策变量的线性等式或不等式，则称该问题为线性规划问题(如例2)．如果目标函数和约束条件中，有一个或几个是决策变量的非线性函数，称非线性规划问题(例1)。决策变量中全是整数或离散值时，称为整数规划。如果决策变量中有一部分是离散值，其余的是连续变量，则称为混合规划。没有约束条件的规划问题，称为无约束问题，否则称为有约束的规划问题。我们所遇到的问题大部分是有约束的规划问题．5水工程的数学模型建立水工程系统的数学模型，是求解优化问题的重要一步。对物理化学过程和系统作出的数学描述，称为数学模型。为了能对现象，过程和系统作数学描述，往往需要对过程和系统进行必要的简化，简化的基础是实际过程和系统之间的等效性。也就是说，数学模型是用数学手段将现象和系统的特征或者本质描述出来的数学表达式．完整的数学模型应该包括过程和系统的主要参数以及主要参数间的关系。(1)数模分类(2)建模方法1)理论模型理论模型是指主要依据基本的物理化学定律而推导出来的模型。2)相似理论和因次分析方法对有些现象即使列出了微分方程，由于十分复杂也无法求解；有的连微分方程也难以建立起来。这就不得不直接依靠试验的方法探求这些现象的规律性。这就是模型化方法，即用方程分析或因次分析的方法导出相似准数，并根据相似原理建立模型台，在模型台上通过试验方法求出相似准数之间的函数关系，再将此函数关系推广到设备实物，从而得到实物的工作规律。3)经验公式如果过程的状态特征值y和过程参数x之间的关系难以直接用公式表示，该现象的理论根据不清楚，或者十分复杂，但可以认为其实侧值与某个关系式比较吻合，那么，为了从数量上估计这种关系，可以利用经验公式来构造模型．如果一个表达式的一部分是理论模型，另一部分则是根据实测数据构造出来的，则称为半经验公式．我们简单地介绍一下这种构造经验公式的方法．设在过程参数X＝(x1,X2,…xn.)的不同值下，得到过程状态特征y的一系列测量值：首先讨论y与x是线性关系的方程:01122ˆˆˆˆˆ...mmybbxbxbx我们用下面的原则来决定bi(i＝0，1，2,…,n)如此选择bi，使的值最小。这一方法称为最小二乘法。bi的值可由解下面的(m+1)元线性联立方程组而得到即如果用矩阵形式表达，则更简捷：式中称为构造矩阵yXXbXTT这时有由试验数据选配经验公式形式，应尽量根据专业示例或经验确定。如果没有示例参考，就把试验点描在坐标纸上，根据数据点的分布情况来确定经验公式的形式。对于选配多变量的经验公式，先考虑一个主要变量,而把其它变量固定，研究过程特征值与这个主要变量间的关系，配出合适的公式，再进一步考虑其它变量的影响。yXXXbTT1)(构造经验公式的例:例1试构造密度为2.7g／cm3，的滑石粉悬浊液沉降过程的数学模型。测得时刻τ以前变成沉淀的悬浮物百分数Q，数据如下：首先，把试验值画在坐标纸上(下图)，研究应配何种曲线．推想以下的双曲线比较合适．111,00mmmQQQQQ或%例1配曲线的回归系数计算程序1%选用的公式形式：Q=Qm*t/(t+to)%x=1/t;y=1/Q;y=b1+b2*xt1=[5101520305070100120]';Q1=[234056607582849193]';%原始数据对x=1./t1y=1./Q1X=[ones(9,1)x]%形成“构造矩阵”b=inv(X'*X)*X'*y%其中inv(X’*X)=(X’*X)-1Qm=1/b(1)to=Qm*b(2)X=1.00000.20001.00000.10001.00000.06671.00000.05001.00000.03331.00000.02001.00000.01431.00000.01001.00000.0083b=0.00850.1697Qm=117.0729to=19.8690令则有012111,,,mmyxbbQQQ12ybbx这样，本例中的沉降曲线经验公式为120210.0085,0.1697,1117.0729,19.8690mmbbQQbb%例1绘图程序t=[0:120];Q=Qm*t./(t+to);plot(t1,Q1,'o',t,Q,'-')gridon0204060801001200204060801001201119.8691117.0729,117.0729117.072919.869QQ或%例1