5几种常见概率分布剖析

Today:2020/1/25第五章常见概率分布律难度级：Today:2020/1/25第一节二项分布第二节泊松分布第三节正态分布第四节其他概率分布律内容提要Today:2020/1/25教学重点：1.正态分布、二项分布、泊松分布的概率计算方法及应用；2.正态分布标准化的方法3.正态分布表、t值表的用法教学要求：掌握正态分布、二项分布、泊松分布的概率计算方法及应用Today:2020/1/25一、贝努利试验及其概率公式（一）独立试验和贝努利试验对于n次独立的试验，如果每次试验结果出现且只出现对立事件与之一;在每次试验中出现A的概率是常数p（0p1）,因而出现对立事件的概率是1-p=q,则称这一串重复的独立试验为n重贝努利试验，简称贝努利试验。AAA第一节二项分布（Binomialdistribution）Today:2020/1/25（二）二项分布的概率在n重贝努利试验中，事件A发生x次的概率恰好是（q+p）n二项展开式中的第x+1项，因此将称作二项概率公式。二、二项分布的意义及其性质（一）定义设随机变量X所有可能取的值为零和正整数：0,1,2,…,n,且有（其中p0,q0,p+q=1）,则称随机变量X服从参数为n和p的二项分布，记为n.....,,,k,qp)k(PknkknnC210==－nkqpkPkXPknkknnnC.....,2,1,0,)()(－),(~pnBxToday:2020/1/25（二）二项分布的性质二项分布是一种离散型随机变量的概率分布，由n和p两个参数决定，参数n称为离散参数，只能取正整数；p是连续参数，取值为0与1之间的任何数值。二项分布具有概率分布的一切性质，即：（k=0,1,2,…,n）二项分布的概率之和等于1，即：0≥(k)P=k)=P(Xn1)(0nnkknkknpqqpC－Today:2020/1/25m0=kk-nkknnqpC=m)≤(kP=m)≤P(Xnm=kk-nkknnqpC=m)≥(kP=m)≥P(X)≤()≤≤()≤≤(21-212121mmqpCmkmPmXmPmmkknkknn二项分布的性质Today:2020/1/25三、二项分布的平均数与标准差统计学证明，服从二项分布B(n,p)的随机变量之平均数μ、标准差σ与参数n、p有如下关系：当试验结果以事件A发生次数k表示时当试验结果以事件A发生的频率k／n表示时，npq=σnp=μ/n(pq)=σp=μppToday:2020/1/25四、二项分布的概率计算及其应用条件（一）概率计算直接利用二项概率公式[例6]有一批种蛋，其孵化率为0.85，今在该批种蛋中任选6枚进行孵化，试给出孵化出小鸡的各种可能情况的概率。这个问题属于贝努里模型(?)，其中，孵化6枚种蛋孵出的小鸡数x服从二项分布.其中x的可能取值为0，1，2，3，4，5，6。6=n0.15=0.85-1=q0.85,=p)85.0,6(BToday:2020/1/250000113901501508500660066.).().().(C)(P===0003872801508506150850151161166.).().().().(C)(P===－00548648015085015150850242262266.).().().().(C)(P===－04145344015085020150850333363366.).().().().(C)(P===－17617711015085015150850424464466.).().().().(C)(P===－3993347801508506150850515565566.).().().().(C)(P===－37714952085015085066066666.).().().(C)(P===－思考：求至少孵出3只小鸡的概率是多少？孵出的小鸡数在2-5只之间的概率是多大？其中：Today:2020/1/25（一）应用条件（三个）n个观察单位的观察结果互相独立;各观察单位只具有互相对立的一种结果，如阳性或阴性，生存或死亡等，属于二项分类资料。已知发生某一结果(如死亡)的概率为p，其对立结果的概率则为1-P=q，实际中要求p是从大量观察中获得的比较稳定的数值。Today:2020/1/25现实中，有些事件出现的概率特别小，要观察到这类事件，样本含量n必须很大。在生物、医学研究中，服从泊松分布的随机变量是常见的。此外，由于泊松分布是描述小概率事件的，因而二项分布中当p很小且n很大时，可用泊松分布来取代二项分布。Today:2020/1/25泊松分布是用来描述和分析稀有事件即小概率事件分布规律的函数。一、泊松分布的意义（一）定义若随机变量X(X=k)只取零和正整数值，且其概率分布为则称X服从参数为λ的泊松分布，记为X～P(λ)。（二）特征μ=σ2=λ（＃样本方差等于平均数）2.7182=e0;λ;0,1,=kek!λ=k)=P(Xλk－第二节泊松分布PossiondistributionToday:2020/1/25二、泊松分布的概率计算以样本平均数作为λ的估计值[例]我们调查了200个奶牛场，统计各场某10年内出现的怪胎（如缺皮症，全身无毛等）的头数，然后以怪胎头数把200个奶牛场分类，统计每类中奶牛场数目，结果如下：试研究10年内母牛怪胎数的概率分布。10年内母牛产怪胎次数（m）01234总计奶牛场数（f）109652231200例ek!λ=k)=P(Xλk－Today:2020/1/25先假设母牛产怪胎数的概率分布为泊松分布。根据观察结果计算每一奶牛场10年内母牛产怪胎的平均数，根据加权法可得：用=0.61估计λ，代入计算当m=0,1,2,3,4时的概率和理论次数怪胎数（m）01234总计实际次数（f）109652231200概率（理论）0.54340.33140.10110.02060.00310.9996理论次数108.6866.2820.224.120.62199.92xx0.61=2001222001×4+3×3+2×22+1×65+0×109=nfx=xλkek!λ=k)=P(x－Today:2020/1/25下面我们再来证实我们所得的资料是否具有泊松分布的特征。已经计算出=0.61，样本方差计算如下，与很接近，这正是泊松分布所具有的特征。（具体过程需要后面的拟合优度检验）0.611=199200/1224x1+3×3+2×22+1×65+0×109=1-/)(—=Σ222222222nnfxfxxx2SToday:2020/1/25一、正态分布的定义及其特征（一）定义若连续性随机变量X的概率分布密度函数为：其中，µ为平均数，σ2为方差，则称随机变量χ服从正态分布,记为χ～N(µ,σ2).相应的概率分布函数为第三节正态分布normaldistribution0σ,∞+x∞,eπ2σ1=f(x)22σ2μ)(x－－－x∞σ2μ)(x22eπ2σ1=F(x)－－－Today:2020/1/25（二）特征正态分布密度曲线是以χ=µ为对称轴的单峰、对称的悬钟形；f(x)在χ=µ处达到极大值,极大值为f(x)是非负数，以x轴为渐进线；正态分布密度函数曲线π2σ1=μf）（Today:2020/1/25正态分布有两个参数，即平均数µ和标准差σ。µ是位置参数，σ是变异度参数。分布密度曲线与横轴所夹的面积为1，即：正态分布密度函数曲线特征1=dxeπ2σ1=)∞+xP22σ2μ)(x∞+∞－－－（－Today:2020/1/25μ相同而σ不同的三个正态总体σ相同而μ不同的三个正态总体特征Today:2020/1/25（一）定义称µ=0,σ2=1的正态分布为标准正态分布。标准正态分布的概率密度函数及分布函数如下：若随机变量u服从标准正态分布，记作u～(0,1)uuuuuu∞-2－2－deπ2σ1=)Φ(,eπ2σ1）＝(22二、标准正态分布standardnormaldistributionToday:2020/1/25（二）标准化的方法对于任何一个服从正态分布(μ,σ2)的随机变量χ，都可以通过标准化变换：u=(χ-μ)/σ，即减平均数后再除以标准差，将其变换为服从标准正态分布的随机变量μ。对不同的u及P(Uu)值编成函数表，称为正态分布表，从中可以查到任意一个区间内曲线下的面积，即为概率。Today:2020/1/25三、正态分布的概率计算（一）标准正态分布的概率计算设u服从标准正态分布，则μ落在μ1,μ2]内的概率dueπ21=)uu≤P(u212uu2u-21dueπ21-dueπ21=1222u∞2uu∞2u)Φ(u-)Φ(u=12附表查得可由)Φ(u与)Φ(u而12Today:2020/1/25应熟记的几种标准正态分布概率Today:2020/1/25（二）一般正态分布的概率计算将区间的上下限标准化：服从正态分布的随机变量χ落在〔χ1,χ2〕内的概率，等于服从标准正态分布的随机变量μ落在的概率。查标准正态分布表[例]若χ服从μ=30.26,σ2=5.102的正态分布，试求P(21.64≦x﹤32.98)。令u=(χ-30.26)/5.10,则u服从标准正态分布，故μ/σ(x/σμx21，0.6564=1.69)Φ(Φ(0.53)=0.53)μ≤1.60P(=)5.1030.2632.985.1030.26x≤5.1030.2621.64P(=32.98)x≤P(21.64－－－－－－Today:2020/1/25（三）双侧（两尾）概率与单侧（一尾）概率随机变量x落在平均数加减不同倍数标准差区间之外的概率称为双侧概率（两尾概率），记作α对应于双侧概率可以求得随机变量x小于μ-kσ或大于μ+kσ的概率，称为单侧概率（一尾概率），记作α/2如x落在(μ-1.96σ,μ+1.96σ)之外的双侧概率为0.05，而单侧概率为0.025。即0.025=σ)1.96μ+P(x=σ)1.96-μP(x0.005=σ)2.58μ+P(x=σ)2.58-μP(xα=kσμ+xP+kσμxP）（）（2α/=kσμ+xP=kσ-μP(x）（）Today:2020/1/25标准正态双侧分位数的查法：附表3①标准正态分布②③为双侧临界值u为双侧概率，α其中　0≥u　,)uuP(-1=)uuP(=ααααα)1,0(~Nu临界值单下侧临界值上侧临界值侧侧的α表示u或u的α表示u的α表示u）（双α2／αα-α正态分布密度函数曲线