概率论与数理统计作业 2

第一章随机事件与概率1.将一枚均匀的硬币抛两次，事件CBA,,分别表示“第一次出现正面”，“两次出现同一面”，“至少有一次出现正面”。试写出样本空间及事件CBA,,中的样本点。解：反正正、正反、反正、反正正、正反A,正正B,正正、正反、反正C2.设31)(AP，21)(BP，试就以下三种情况分别求)(ABP：（1）AB，（2）BA，（3）81)(ABP解:（1）5.0)()()()()(BPABPBPABBPABP（2）6/13/15.0)()()()()()(APBPABPBPABBPABP（3）375.0125.05.0)()()()(ABPBPABBPABP3.某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而随机的拨号，求他拨号不超过三次而接通所需的电话的概率是多少？如果已知最后一个数字是奇数，那么此概率是多少？解:记H表拨号不超过三次而能接通。Ai表第i次拨号能接通。注意：第一次拨号不通，第二拨号就不再拨这个号码。103819810991109101)|()|()()|()()()(2131211211321211AAAPAAPAPAAPAPAPHPAAAAAAH　三种情况互斥如果已知最后一个数字是奇数（记为事件B）问题变为在B已发生的条件下，求H再发生的概率。)|||)|(321211BAAABAABPABHP)|()|()|()|()|()|(2131211211AABAPABAPBAPABAPBAPBAP533143544154514．进行一系列独立试验，每次试验成功的概率均为错误!未找到引用源。，试求以下事件的概率：（1）直到第r次才成功；（2）在n次中取得)1(nrr次成功；解:(1)ppPr1)1((2)rnrrnppCP)1(5.设事件A，B的概率都大于零，说明以下四种叙述分别属于那一种：（a）必然对，（b）必然错，（c）可能对也可能错，并说明理由。（1）若A，B互不相容，则它们相互独立。（2）若A与B相互独立，则它们互不相容。（3）()()0.6PAPB，则A与B互不相容。（4）()()0.6PAPB，则A与B相互独立。解:(1)b,互斥事件,一定不是独立事件(2)c,独立事件不一定是互斥事件,(3)b,)()()()(ABPBPAPBAP若A与B互不相容,则0)(ABP,而12.1)()()()(ABPBPAPBAP(4)a,若A与B相互独立,则)()()(BPAPABP,这时84.036.02.1)()()()(ABPBPAPBAP6.有甲、乙两个盒子，甲盒中放有3个白球，2个红球；乙盒中放有4个白球，4个红球，现从甲盒中随机地取一个球放到乙盒中，再从乙盒中取出一球，试求：(1)从乙盒中取出的球是白球的概率；(2)若已知从乙盒中取出的球是白球，则从甲盒中取出的球是白球的概率。解:(1)记A1，A2分别表“从甲袋中取得白球，红球放入乙袋”再记B表“再从乙袋中取得白球”。∵B=A1B+A2B且A1，A2互斥∴P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)=144423214414233=(2)7.思考题：讨论对立、互斥（互不相容）和独立性之间的关系。解:独立事件不是对立事件,也不一定是互斥事件;对立事件是互斥事件,不能是独立事件;互斥事件一般不是对立事件,一定不是独立事件.第二章随机变量及其概率分布1.设X的概率分布列为：Xi0123Pi0.10.10.10.7F(x)为其分布的函数，则F（2）=？解:3.0}2{}1{}0{}2{)2(XPXPXPXPF2．设随机变量X的概率密度为f(x)=,1,0;1,2xxxc则常数c等于？解:由于1122cdxxcdxxc,故1c3.一办公室内有5台计算机，调查表明在任一时刻每台计算机被使用的概率为0.6，计算机是否被使用相互独立，问在同一时刻(1)恰有2台计算机被使用的概率是多少？(2)至少有3台计算机被使用的概率是多少？(3)至多有3台计算机被使用的概率是多少？(4)至少有1台计算机被使用的概率是多少？解:(1)2304.04.06.0}2{3225CXP(2)66304.06.04.06.01}5{}4{1}3{5445CXPXPXP(3)233532254154.06.04.06.04.06.0}3{}2{}1{}3{CCCXPXPXPXP=0.0768+0.2304+0.1728=0.48(4)98976.04.01}0{1}1{5XPXP4.设随机变量K在区间(0,5)上服从均匀分布,求方程42x+4Kx+K+2=0有实根的概率。解:由0321616)2(441622kkkk可得:2,1kk所以52}2{KP5.假设打一次电话所用时间（单位：分）X服从2.0的指数分布，如某人正好在你前面走进电话亭，试求你等待：（1）超过10分钟的概率；（2）10分钟到20分钟的概率。解:0,2.0)(~2.0xexfXx221002.0112.01}10{1}10{eedxeXPXPx4220102.02.0}2010{eedxeXPx6.随机变量X～N(3,4),(1)求P(2X≤5),P(-4X≤10),P(|X|2),P(X3)；（2）确定c，使得P(Xc)=P(Xc)。解:)5.0(1)1()5.0()1()232()235(}52{XP6915.018413.0=0.532811)5.3(2)5.3()5.3()234()2310(}104{XP)5.2()5.0(1)232()232(1}2{1}2{XPXP=6977.06915.09938.01)5.2(1))5.0(1(15.05.01)233(1}3{1}3{XPXP)23(}{)23(1}{1}{ccXPccXPcXP所以5.0)23(c故3c7．设随机变量X与Y相互独立，且X，Y的分布律分别为X01Y12P4143P5253试求：（1）二维随机变量（X，Y）的分布律；（2）随机变量Z=XY的分布律.解:XY1200.10.1510.30.45Z012P0.250.30.458.思考题:举出几个随机变量的例子。第三章多维随机变量及其概率分布1.设盒子中有2个红球，2个白球，1个黑球，从中随机地取3个，用X表示取到的红球个数，用Y表示取到的白球个数，写出(X,Y)的联合分布律及边缘分布律。解:XY0120000.1100.40.220.10.202.设二维随机变量),(YX的联合分布律为：试根椐下列条件分别求a和b的值；(1)6.0)1(XP；(2)5.0)2|1(YXP；(3)设)(xF是Y的分布函数，5.0)5.1(F。解:(1)6.02.01.0}1{bXP,3.0b(2)1}1{}0{XPXP,aXPXP3.04.0}1{1}0{,1.0a3.)(YX、的联合密度函数为：他其010,10)(),(yxyxkyxf求（1）常数k；（2）P(X1/2,Y1/2)；(3)P(X+Y1)；(4)P(X1/2)。解:(1)1)(),(1010kdxdyyxkdxdyyxf,故1k(2)81)(}21,21{210210dxdyyxYXP(3)31)(}1{1010xdxdyyxYXP(4)83)(}21{21010dxdyyxXp4．)(YX、的联合密度函数为：他其00,10),(xyxkxyyxf求（1）常数k；（2）P(X+Y1)；(3)P(X1/2)。解:(1)1),(2100kxkxydxdydxdyyxf,故2k(2)2412}1{2101yyxydxdyYXP(3)6412}21{2100xxydxdyXp5.设(X,Y)的联合密度函数如下，分别求X与Y的边缘密度函数。yxyxyxf,)1)(1(1),(222YX01200.10.2a10.1b0.2解:)1(1)1)(1(1),()(2222xdyyxdyyxfxfX)1(1)1)(1(1),()(2222ydxyxdxyxfyfY6.设(X,Y)的联合密度函数如下，分别求X与Y的边缘密度函数。他其00),(xyeyxfx解:xxxXxedyedyyxfxf0),()(,)0(xyyxXedxedxyxfxf),()(,)0(y7.(X,Y)的联合分布律如下，试根椐下列条件分别求a和b的值；(1)3/1)1(YP；(2)5.0)2|1(YXP；（3）已知X与Y相互独立。解:(1)3161}1{aYP,61a(2)1/6+1/6+1/9+b+1/18+1/9=1,b=7/188.(X,Y)的联合密度函数如下，求常数c，并讨论X与Y是否相互独立？他其010,10),(2yxcxyyxf解:16),(10102cdxdycxydxdyyxf,c=6xdyxydyyxfxfX26),()(102,210236),()(ydxxydyyxfyfY),()()(yxfyfxfYX,故X与Y相互独立.9.思考题：联合分布能决定边缘分布吗？反之呢？解:联合分布可以得到边缘分布,反之不真.第四章随机变量的数字特征YX12311/61/91/182ab1/91．盒中有5个球，其中2个红球，随机地取3个，用X表示取到的红球的个数，则EX是：B（A）1；（B）1.2；（C）1.5；（D）2.2.设X有密度函数：083)(2xxf他其42x,求)1(),12(),(2XEXEXE,并求X大于数学期望)(XE的概率。(该题数有错)解:2152432383)(4422xdxxxXE824)81163(83)12()12(34422xxdxxxXE412481831)1(42222xdxxxXE671831)5.7(1)5.7())((422dxxXPXPXEXP3.设二维随机变量),(YX的联合分布律为YX01200.10.2a10.1b0.2已知65.0)(XYE，则a和b的值是：D（A）a=0.1,b=0.3；（B）a=0.3,b=0.1；（C）a=0.2,b=0.2；（D）a=0.15,b=0.25。4．设随机变量(X,Y)的联合密度函数如下：求)1(,,XYEEYEX。他其020,10),(yxxyyxf解：32)(201021020ydydxxxydxdyxXE34)(202101020dyyxdxxydxdyyYE)1(XYE5．设X有分布律：则)32(2XXE是：D（A）1；（B）2；（C）3；（D）4.6.丢一颗均匀的骰子，用X表示点数，求DXEX,.解：X的分布为6,5,4,3,2,1,61)(kkXP27621616615614613612611)(