相似三角形存在性问题

使用日期：2019中考数学压轴专题——几何版块第1页共9页专题相似三角形存在性④一、要点归纳解相似三角形的存在性问题，一般分三步走，第一步寻找分类标准，第二步列方程，第三步解方程并验根。难点在于寻找分类标准，分类标准寻找的恰当，可以使得解的个数不重复不遗漏，也可以使得列方程和解方程又好又快．二、课前热身△ABC中，点D、E分别在AB、AC边上，如果△ADE与△ABC相似，请确定点E的位置.三、例题讲解例1如图1，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，BD⊥DC，BC＝10cm，CD＝6cm．在线段BC、CD上有动点F、E，点F以每秒2cm的速度，在线段BC上从点B向点C匀速运动；同时点E以每秒1cm的速度，在线段CD上从点C向点D匀速运动．当点F到达点C时，点E同时停止运动．设点F运动的时间为t（秒）．（1）求AD的长；（2）点F、E在运动过程中，如果△CEF与△BDC相似，求线段BF的长．图1备用图使用日期：2019中考数学压轴专题——几何版块第2页共9页例2如图，抛物线经过A(4，0)，B(1，0)，C(0，-2)三点．（1）求抛物线的解析式．（2）P是抛物线上一动点，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在点P，使得以A，P，M为顶点的三角形与△OAC相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．xyOCBAxyOCBA使用日期：2019中考数学压轴专题——几何版块第3页共9页例3（2018武汉24题）如图，抛物线nmxxy221与直线321xy交于A，B两点，交x轴于D，C两点，连接AC，BC，已知A（0,3），C（3,0）（Ⅰ）求抛物线的解析式和tan∠BAC的值；（Ⅱ）在（Ⅰ）条件下：（1）P为y轴右侧抛物线上一动点，连接PA，过点P作PQ⊥PA交y轴于点Q，问：是否存在点P使得以A，P，Q为顶点的三角形与△ACB相似？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．（2）设E为线段AC上一点（不含端点），连接DE，一动点M从点D出发，沿线段DE以每秒一个单位速度运动到E点，再沿线段EA以每秒2个单位的速度运动到A后停止，当点E的坐标是多少时，点M在整个运动中用时最少？使用日期：2019中考数学压轴专题——几何版块第4页共9页例4抛物线L：cbxxy2经过点A(0，1)，与它的对称轴直线x＝1交于点B(1)直接写出抛物线L的解析式；(2)如图1，过定点的直线y＝kx－k＋4（k＜0）与抛物线L交于点M、N．若△BMN的面积等于1，求k的值；(3)如图2，将抛物线L向上平移m（m＞0）个单位长度得到抛物线1L，抛物线1L与y轴交于点C，过点C作y轴的垂线交抛物线1L于另一点D．F为抛物线1L的对称轴与x轴的交点，P为线段OC上一点．若△PCD与△POF相似，并且符合条件的点P恰有2个，求m的值及相应点P的坐标使用日期：2019中考数学压轴专题——几何版块第5页共9页练习：1.如图1，在直角坐标系xOy中，设点A（0，t），点Q（t，b）．平移二次函数2txy的图象，得到的抛物线F满足两个条件：①顶点为Q；②与x轴相交于B、C两点（∣OB∣∣OC∣），连结A，B．（1）是否存在这样的抛物线F，使得OCOBOA2？请你作出判断，并说明理由；（2）如果AQ∥BC，且tan∠ABO＝23，求抛物线F对应的二次函数的解析式．使用日期：2019中考数学压轴专题——几何版块第6页共9页2.如图1，抛物线cbxaxy2(a＞0)交x轴于A、B两点（A点在B点左侧），交y轴于点C．已知B（8，0），tan∠ABC＝0.5，△ABC的面积为8．（1）求抛物线的解析式；（2）若动直线EF（EF//x轴）从点C开始，以每秒1个长度单位的速度沿y轴负方向平移，且分别交y轴、线段BC于E、F两点，动点P同时从点B出发，在线段OB上以每秒2个单位的速度向原点O运动．联结FP，设运动时间t秒．是否存在t的值，使以P、B、F为顶点的三角形与△ABC相似．若存在，试求出t的值；若不存在，请说明理由．图1使用日期：2019中考数学压轴专题——几何版块第7页共9页3.如图1，△ABC中，AB＝5，AC＝3，cosA＝310．D为射线BA上的点（点D不与点B重合），作DE//BC交射线CA于点E.．(1)若CE＝x，BD＝y，求y与x的函数关系式，并写出函数的定义域；(2)当点D在AB边上时，BC边上是否存在点F，使△ABC与△DEF相似？若存在，请求出线段BF的长；若不存在，请说明理由．图1备用图备用图使用日期：2019中考数学压轴专题——几何版块第8页共9页4.（2017九上海珠区期末25题）如图，已知二次函数0,02cacbxaxy与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，且以AB为直径的圆经过点C.（1）若点A（-2,0），点B（8,0），求ac的值；（2）若点A0,1x，B0,2x，试探索ac是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由.（3）若点D是圆与抛物线的交点（D与A，B，C不重合），在（1）的条件下，坐标轴上是否存在一点P，使得以P、B、C为顶点的三角形与△CBD相似？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由.使用日期：2019中考数学压轴专题——几何版块第9页共9页5.如图1，已知点A(-2，4)和点B(1，0)都在抛物线22ymxmxn上．（1）求m、n；（2）向右平移上述抛物线，记平移后点A的对应点为A′，点B的对应点为B′，若四边形AA′B′B为菱形，求平移后抛物线的表达式；（3）记平移后抛物线的对称轴与直线AB′的交点为C，试在x轴上找一个点D，使得以点B′、C、D为顶点的三角形与△ABC相似．图1