第四章频域分析法

1/25/20201第四章频域分析法二、典型环节的频率特性图三、系统开环频率特性图四、频域稳定性判据○、概述一、频率特性的基本概念五、小结1/25/20202O、概述4.0.1时域分析的缺陷高阶系统的分析难以进行；难以研究系统参数和结构变化对系统性能的影响；当系统某些元件的传递函数难以列写时，整个系统的分析工作将无法进行。1/25/202034.0.2频域分析的目的频域分析：以输入信号的频率为变量，在频率域，研究系统的结构参数与性能的关系。无需求解微分方程，图解(频率特性图)法间接揭示系统性能并指明改进性能的方向；易于实验分析；优点：可推广应用于某些非线性系统（如含有延迟环节的系统）；可方便设计出能有效抑制噪声的系统。1/25/20204一、频率特性的基本概念4.1.1频率响应与频率特性的概念22()()()()()()()()oiiMsMsXXsGsXsXsNsNss12()()()()()()()nMsMsGsNsspspsp考虑线性定常系统：当正弦输入xi(t)=Xsint时，相应的输出为：1/25/20205对于稳定的系统，其特征根-pi具有负实部，此时其对正弦输入的稳态响应不因初始条件而改变，因此，可认为系统处于零初始状态。1212()nonAAAAAXssjsjspspsp假设系统只具有不同的极点，则：,AA其中为一对待定共轭复常数Ai(i=1,2,…,n)为待定常数。1/25/202061212()(0)nptptptjtjtonxtAeAeAeAeAet从而：(0,1,2,,1)jjkptjjtekr如果系统包含有rj个重极点pj，则xo(t)将包含有类似：的这样一些项。对稳定的系统而言，这些项随t趋于无穷大都趋近于零。1/25/20207因此，系统的稳态响应为：()jtjtoxtAeAe22()()()2sjXXGjAGssjsj()()()()()jjGjGjeGje22()()()2sjXXGjAGssjsj其中：()Im[()]()()()()Re[()]jGjGjGjeGjarctgGj由于：1/25/20208上式表明，稳定的线性定常系统在正弦激励下的稳态输出仍然为同频率的正弦信号，且输出与输入的幅值比为|G(j)|，相位差为G(j)。[()][()]()()2jtjtoeextXGjj因此：()sin[()]sin[()]()XGjtYtYXGj显然输出信号的幅值和相角是频率的函数，随频率而变化。1/25/20209频率响应：系统对正弦输入信号的稳态响应。频率特性：系统在不同频率的正弦信号输入时，其稳态输出随频率而变化(由0变到)的特性。幅频特性与相频特性一起构成系统的频率特性。幅频特性：当由0到变化时，|G(j)|的变化特性，记为A()。相频特性：当由0到变化时，G(j)的变化特性称为相频特性，记为()。1/25/202010频率特性与传递函数的关系()()sjGjGs示例正弦输入xi(t)=Xsint作用下的频率响应。()1KGsTs求一阶系统的频率特性及在()()1sjKGjGsjT解：1/25/20201122()()1KAGjT()()GjarctgT22()sin()1oXKxttarctgTT对于正弦输入xi(t)=Xsint，根据频率特性的定义：由上式可见，当T1时，A()1()0当T1时，A()1/T()-901/25/202012几点说明频率特性是传递函数的特例，是定义在复平面虚轴上的传递函数，因此频率特性与系统的微分方程、传递函数一样反映了系统的固有特性。尽管频率特性是一种稳态响应，但系统的频率特性与传递函数一样包含了系统或元部件的全部动态结构参数，因此，系统动态过程的规律性也全寓于其中。1/25/202013应用频率特性分析系统性能的基本思路：实际施加于控制系统的周期或非周期信号都可表示成由许多谐波分量组成的傅立叶级数或用傅立叶积分表示的连续频谱函数，因此根据控制系统对于正弦谐波函数这类典型信号的响应可以推算出它在任意周期信号或非周期信号作用下的运动情况。1/25/202014频率特性的物理意义：频率特性表征了系统或元件对不同频率正弦输入的响应特性；()大于零时称为相角超前，小于零时称为相角滞后。tx(t),y1(t),y2(t)x(t)y1(t)y2(t)01()2()1/25/2020154.1.2频率特性图奈奎斯特(Nyquist)图（极坐标图、幅相频率特性图）()()()Re[()]Im[()]()()()()jGjjGjGjjGjPjQGjeAe22()()()()()()QAPQarctgP其中，P()、Q()分别称为系统的实频特性和虚频特性。显然：1/25/202016在复平面上，随（0~）的变化，向量G(j)端点的变化曲线（轨迹），称为系统的幅相频率特性曲线。得到的图形称为系统的奈奎斯特图或极坐标图。易知，向量G(j)的长度等于A(j)（|G(j)|）；由正实轴方向沿逆时针方向绕原点转至向量G(j)方向的角度等于()（G(j)）。1/25/202017波德(Bode)图（对数频率特性图）对数幅频特性图横坐标：以10为底的对数分度表示的角频率单位—rad/s或Hz纵坐标：线性分度，表示幅值A()对数的20倍，即：L()=20logA()单位—分贝（dB）1/25/202018对数相频特性图横坐标：与对数幅频特性图相同。纵坐标：线性分度，频率特性的相角()单位—度()几点说明在对数频率特性图中，由于横坐标采用了对数分度，因此=0不可能在横坐标上表示出来，横坐标上表示的最低频率由所感兴趣的频率范围确定；此外，横坐标一般只标注的自然数值；1/25/202019在对数频率特性图中，角频率变化的倍数往往比其变化的数值更有意义。为此通常采用频率比的概念：频率变化十倍的区间称为一个十倍频程，记为decade或简写为dec；频率变化两倍的区间称为一个二倍频程，记为octave或简写为oct。它们也用作频率变化的单位。可以注意到，频率变化10倍，在对数坐标上是等距的，等于一个单位。1/25/202020通常用L()简记对数幅频特性，也称L()为增益；用()简记对数相频特性。对数坐标的优点幅值相乘变为相加，简化作图；对数坐标拓宽了图形所能表示的频率范围两个系统或环节的频率特性互为倒数时，其对数幅频特性曲线关于零分贝线对称，相频特性曲线关于零度线对称1/25/202021可以利用渐近直线绘制近似的对数幅频特性曲线；将实验获得的频率特性数据绘制成对数频率特性曲线，可以方便地确定系统的传递函数；尼柯尔斯(Nichols)图（对数幅相特性图）L()—()图1/25/2020224.2.1比例环节二、典型环节的频率特性图传递函数：G(s)=K频率特性：G(j)=K=Kej0实频特性：P()=K虚频特性：Q()=0对数幅频特性：L()=20lgK对数相频特性：()=0幅频特性：A()=K相频特性：()=01/25/202023比例环节的频率特性图：BodeDiagram(rad/sec)()L()/(dB)-20020406010-1100101102-180°-90°0°90°180°20lgKK0ReImNyquistDiagram1/25/2020244.2.2惯性环节传递函数：1()1GsTs频率特性：2211()11jarctgTGjejTT相频特性：()=-arctgT幅频特性：221()1AT1/25/202025实频特性：221()1PT虚频特性：22()1TQT注意到：22211()()22PQ即惯性环节的奈氏图为圆心在(1/2,0)处，半径为1/2的一个圆。0ReIm1/21=0=45=1/TNyquistDiagramG(j)惯性环节的Nyquist图1/25/202026惯性环节的Bode图低频段(1/T)22()20lg10LT即低频段可近似为0dB的水平线，称为低频渐近线。对数相频特性：()=-arctgT对数幅频特性：22()20log1LT1/25/202027高频段(1/T)20lg20lgT即高频段可近似为斜率为-20dB/dec的直线，称为高频渐近线。22()20lg120lgLTT1/25/202028转折频率-30-20-10010-90°-45°0°1/TL()/(dB)()BodeDiagram(rad/sec)实际幅频特性渐近线-20dB/dec1/25/202029转折频率（＝1/T)低频渐近线和高频渐近线的相交处的频率点＝1/T，称为转折频率（截止频率）。在转折频率处，L()-3dB，()＝-45。渐近线误差惯性环节具有低通滤波特性。222220lg1,1/()20lg120lg,1/TTLTTT1/25/202030-4-3-2-100.1110T转折频率惯性环节对数幅频特性渐近线误差曲线1/25/2020314.2.3一阶微分环节对数相频特性：()=arctg传递函数：()1Gss频率特性：22()11jarctgGjje对数幅频特性：22()20log1L幅频特性：22()1A相频特性：()=arctg1/25/202032一阶微分环节的Nyquist图0ReIm=0=221arctg1实频特性：()1P虚频特性：()Q1/25/202033一阶微分环节的Bode图注意到一阶微分环节与惯性环节的频率特性互为倒数(=T)，根据对数频率特性图的特点，一阶微分环节与惯性环节的对数幅频特性曲线关于0dB线对称，相频特性曲线关于零度线对称。显然，一阶微分环节的对数幅频特性曲线也可由渐近线近似描述。1/25/202034010203090°45°0°1/TL()/(dB)()BodeDiagram(rad/sec)0.1/T10/T转折频率实际幅频特性渐近线20dB/dec1/25/2020354.2.4积分环节传递函数：1()Gss频率特性：211()jGjej幅频特性：1()A相频特性：()=-90°实频特性：()0P1/25/202036虚频特性：1()Q对数幅频特性：()20logL积分环节的Nyquist图0ReIm=0=对数相频特性：()=-90°1/25/202037积分环节的Bode图-40-200200°-45°-90°-135°-180°0.1110100L()/(dB)()BodeDiagram(rad/sec)－20dB/dec1/25/2020384.2.5理想微分环节传递函数：()Gss频率特性：2()jGjje实频特性：()0P对数相频特性：()=90°虚频特性：()Q对数幅频特性：()20logL幅频特性：()A相频特性：()=90°1/25/202039理想微分环节的Nyquist图0ReIm=0=1/