Mason公式

机电汽车工程学院2008年3月第1页第六节信号流图和梅逊(Mason)公式的应用通过前面的讲解大家都知道，框图及等效变换是分析控制系统的一种很奏效、很直观的图示方法，但对于较为复杂的控制系统来说，框图的简化过程是很繁杂费时的，也特别易于出错。如采用信号流图，则可利用梅逊(Mason)公式，不需作变换而直接得出系统中任何两个变量之间的数学关系。由于它具有使用方便的特点而在控制工程中广泛地应用。信号流图和框图类似，都可用来表示系统结构和信号传送过程中的数学关系。因而信号流图也是一种数学模型。机电汽车工程学院2008年3月第2页x1、x2分别为输入、输出变量。二者间线性关系用这样一个图形来表示：这就是信号流图最简单的形式。例：线性系统的方程表示为：一、信号流图及其等效变换（－）基本概念什么是信号流图？是线性方程组中变量间关系的一种图示方法。1122xaxa12x2x1机电汽车工程学院2008年3月第3页其基本组成单元有两个：节点和支路。节点在信号流图中用“O”表示，代表系统中的变量；两变量之间的因果关系用一被称为支路的有向线段来表示，支路的方向用箭头标明，信号只能沿箭头指向单向传递。两变量之间的因果关系叫做增益（权），又名传输系数，标明在相应的支路旁。上图中，有两个节点：节点x1代表输入量；节点x2代表输出量。一条支路：x1到x2的有向线段。增益：a12输出量x2等于输入量x1与增益a12的乘积。a12x2x1机电汽车工程学院2008年3月第4页例如：方程组00210210xdxcxbxxax将之写成因果关系式,绘制因果关系图：102201dxcxxbxaxx例如线性方程组表示为下式：4453355444334422335524423321122xaxaxxaxaxxaxxaxaxaxaxx1——输入变量x5——输出变量如何绘制其信号流图呢？机电汽车工程学院2008年3月第5页原始方程式：绘图步骤：4453355444334422335524423321122xaxaxxaxaxxaxxaxaxaxax机电汽车工程学院2008年3月第6页（二）常用术语；信号流图中除有节点和支路外，还常用到下述术语。以刚举过的例子(f图)来说明。1、节点代表系统中的变量，等于所有流入该节点的信号之和，自节点流出的信号不影响该节点变量的值。（1）输入节点（源点）：只有输出支路的节点，对应于自变量或外部输入，如x1节点。（2）输出节点（阱点）：又称汇节点只有输入支路的节点，对应于因变量。x5节点。（3）混合节点：既有入支路，又有出支路的节点。机电汽车工程学院2008年3月第7页通路（通道）：又称为路径，是指从一个节点出发，沿着支路的箭号方向相继经过多个节点间的支路，一个信号流图可以有多条通道。(1)开通路：如果通路从某个节点出发，终止于另一个节点上，并且通路中每个节点只经过一次，则称这样的通路为开通路。2、通路机电汽车工程学院2008年3月第8页（2）闭通路：如果通路的终点就是通路的起始点，且通路中每个节点只经过一次，则该通路称为闭通路或回路、回环等。如果一个通路从一个节点开始，只经过一个支路又回到该节点，则称这样的通道为自回环。闭通路又称为回路（重要概念）。（3）前向通路：如果从输入节点到输出节点的通路上，通过任何节点不多于一次，则称该通路为前向通路。机电汽车工程学院2008年3月第9页3、回路回路：就是闭通路。（1）不接触回路（互不接触回环）如果一些回路没有任何公共节点，就称它们为不接触回路。（最重要概念！）机电汽车工程学院2008年3月第10页(1)前向通道增益：指在前向通路中，各支路增益的乘积。(2)回路增益：又称为回环增益（传输），指闭通道中各支路增益的乘积。4、增益又称为传输。只有弄懂这些基本术语，才能深入理解梅逊（Mason）公式。机电汽车工程学院2008年3月第11页输入节点（源节点）——x0；输出节点（汇节点）——x6；混合节点——x1、x2、x3、x4和x5；前向通路——x0→x1→x2→x3→x4→x5→x6；图中共有四个回路——x1→x2→x1①；x2→x3→x2②；x3→x4→x3③；x4→x5→x4④；两个互不接触的回环有三种组合，即①和③，①和④，②和④。本系统没有三个及三个以上互不接触的回环。例：x0x1x2x3x4x5x6机电汽车工程学院2008年3月第12页基于上述的讨论，对信号流图的性质作如下的概述：1)信号流图只适用于线性系统；2)支路表示一个信号对另一个信号的函数关系；信号只能沿着支路上的箭头指向传递；3)在节点上可以把所有输入支路的信号叠加，并把相加后的信号传送到所有的输出支路；4)具有输入和输出支路的混合节点，通过增加一个具有单位增益的支路，可以把它作为输出节点来处理；5)对于一个给定的系统，其信号流图不是唯一的，这是由于描述同一个系统的方程可以表示为不同的形式。（三）信号流图的基本性质机电汽车工程学院2008年3月第13页（四）信号流图的简化简化规则如下：（l）串联支路的总增益等于各支路增益的乘积；（2）并联支路的总增益等于各支路增益之和；（3）混合节点可以用移动支路的方法消去；（4）回环可以用方框图中反馈连接化为等效支路。机电汽车工程学院2008年3月第14页表：信号流图的等效变换规则:机电汽车工程学院2008年3月第15页ab1cxrxcxmxcbcb1信号流图的等效变换规则中回路的消除：机电汽车工程学院2008年3月第16页例:试将图(a)所示的系统方框图化为信号流图并进行简化，求出系统的闭环传递函数。解：图(a)所示的框图可化为图(b)所示的信号流图，注意：框图中比较环节的正负号在信号流图中表现在支路传输的符号上。图(c)表示了信号流图的简化过程。求出系统的闭环传递函数（总增益）为：)(1sG)(3sGC(s)H1(s)++R(s)+H2(s))(2sG(a)机电汽车工程学院2008年3月第17页)(1sG)(3sGC(s)H1(s)++R(s)+H2(s))(2sGR(s))(1sG)(2sG)(3sGH1(s)-H2(s)-1111C(s)机电汽车工程学院2008年3月第18页R(s)C(s)C(s)111G1G2G3-H2H1-1(b)R(s)C(s)C(s)111G1G2G3-H2/G1H1-1机电汽车工程学院2008年3月第19页R(s)C(s)C(s)111-H2/G11213211HGGGGGR(s)C(s)C(s)112321213211HGGHGGGGG3212321213211)()()(GGGHGGHGGGGGsRsCsGB-1-1机电汽车工程学院2008年3月第20页二、梅逊(Mason)增益公式及其应用信号流图上从输入节点（源节点）输出节点到(汇节点)的总增益公式，即梅逊公式(Mason)，表达式为：一定要记住的公式！nkkkPsRsCsGT11)()()(式中：T——G(s)从输入节点到输出节点之间的总增益(即传递函数)；n——为从输入节点到输出节点之间前向通路的总数；Pk——为第K条前向通路的增益；——信号流图特征式，是信号流图所表示的代数方程组的系数行列式；机电汽车工程学院2008年3月第21页式中：L1——信号流图中所有不同回环的增益之和；L2——所有两个互不接触回环增益的乘积之和；L3——所有三个互不接触回环增益的乘积之和；…………………Lm——所有m个互不接触回环增益的乘积之和。)()()(1增益乘积之和所有三个互不接触回路益乘积之和增所有两个互不接触回路所有不同回路增益之和mmLLLL)1(1321机电汽车工程学院2008年3月第22页k——第K条前向通路的信号流图特征式的余子式，即从中除去与第K条前向通路相接触的闭环回路后余下的部分(又称为因子)。这个公式看起来是不是很难呢？实际上它很容易掌握的，我们来做几个例题吧！mmLLLL)1(1321机电汽车工程学院2008年3月第23页R(s)C(s)11G2G3G4-G6G1-G5-G7②①③例试用梅逊公式计算图示系统的总增益。解：输入节点R(s)和输出节点C(s)之间只有一条前向通路。n=1，通路增益为：P1=G1G2G3G4三个回路：L1=—G2G3G6L2=—G3G4G5L3=—G1G2G3G7L1=-G2G3G6-G3G4G5-G1G2G3G7机电汽车工程学院2008年3月第24页三个回环之间都有公共节点，流图特征式为：=1-L1-L2-……..=1+G2G3G6+G3G4G5+G1G2G3G7三个回环均与前向通路P1接触，所以1=1根据梅逊公式，系统总增益为：743215436324321111)()()(GGGGGGGGGGGGGGGPsRsCsGR(s)C(s)11G2G3G4-G6G1-G5-G7②①③nkkkPsRsCsGT11)()()(机电汽车工程学院2008年3月第25页)(1sG)(3sGC(s)H1(s)+—+R(s)+—H2(s))(2sG—R(s)C(s)111G1G2G3-H2-H1-1机电汽车工程学院2008年3月第26页3211GGGP1211HGGL3213GGGL3212321213111GGGHGGHGGLii113212321213211111)()(GGGHGGHGGGGGPsRsCT2322HGGL①②③R(s)C(s)111G1G2G3-H2-H1-1机电汽车工程学院2008年3月第27页例：求系统的总增益。)(1sG)(4sGC(s)G5(s)++R(s)+)(3sG)(7sG)(2sG+G6(s)①②③R(s)C(s)11G1G2G3-G5①③G4G6-G7②机电汽车工程学院2008年3月第28页解：两条前向通路:P1=G1G2G3G4P2=G1G6闭环回路三条:L1=-G3G5L2=-G1G2G3G4G7L3=-G1G6G7互不接触回路为:L1和L3=1-Li+LiLj=1+G3G5+G1G2G3G4G7+G1G6G7+G1G3G5G6G71=12=1+G3G576531761743215365316143211)(GGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGsGTR(s)C(s)11G1G2G3-G5①③G4G6-G7②机电汽车工程学院2008年3月第29页解：首先确定信号流图中由输入节点到输出节点间的前向通路数,由图可知：例:试利用梅逊公式求下图所示信号流的总增益。n=2，且有：P1=acegiP2=kgiL1=ab＋cd＋ef＋gh＋ij＋kfdbL2=abef+abgh+abij+cdgh+cdij+efij+kfdbijL3=abefij机电汽车工程学院2008年3月第30页=1-L1+L2-L3=1-（ab＋cd＋ef＋gh＋ij＋kfdb）+（abef+abgh+abij+cdgh+cdij+efij+kfdbij）-abefij第一条前向通路与所有回路均有接触，所以1=1第二条前向通路与回路cd不接触，所以2=1-cd])()(1[/)(1)(3212211abefijkfabijefijcdijcdghabijabghabefkfabijghefcdabkgicdkgiacegiLLLPPsGT机电汽车工程学院2008年3月第31页+R(s)+++G1G2G3C(s)H1H2E(s)G4+教材P56例题2-5分析：求C(s)/R(s)与E(s)/R(s)机电汽车工程学院2008年3月第32页①C(s)/R(s)R(s)C(s)11G1G2G3-H2③-H1②1-1G4①④⑤4123211GGPGGGP前向通道：反馈回