解析几何经典题目200题

解析几何经典题目200题设圆上点A（2,3）关于直线02:1yxl的对称点Ｂ仍在圆上，且该圆的圆心在直线954:2yxl上，（１）求Ｂ点的坐标；（２）求圆的方程.答案：（1）B(－6/5，－17/5)(2)圆的方程:(x－6)2+(y+3)2=52来源：09年浙江金华市月考一题型：解答题，难度：中档已知圆C的方程2268240xyxy和点(1,1)A，过动点P作圆的切线PB（B为切点）且||||PAPB，（1）求动点P轨迹L的方程；（2）若动点Q，D分别在轨迹L和圆C上运动，且三角形APQ面积6APQS，求三角形DPQ面积DPQS的最小值.答案：(1)2268240xyxy（1）22(1)(1)0xy（2）（1）－（2）得43110xy(2)点(1,1)A，圆心C（3,4）到直线43110xy的距离分别是1213,551126||||525APQSPQPQ1135(1)422BPQS4BPQS来源：09年浙江金华月考一题型：解答题，难度：中档已知圆C：x2+y2+2x-4y+3=0。（Ⅰ）若圆C的切线在x轴和y轴上的截距相等，求此切线的方程。（Ⅱ）从圆C外一点P(x1,y1)向该圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有|PM|=|PO|，求使得|PM|取得最小值的点P的坐标。答案：（Ⅰ）将圆C配方得：(x+1)2+(y-2)2=2.)62()(x：ykx，y，i由直线与圆相切得设直线方程为截距为零时当直线在两坐标轴上的03010)(yxy：x，ayx，ii或由直线与圆相切得设直线方程为截距不为零时当直线在两坐标轴上的)53,103(034202.02||||034203422)2()1(||||)(1121212121点坐标为得解方程组的方程为直线直线取得最小值取最小值时即当上在直线即点得由Pyxyxyx：OPl。OP，OPPM，yxl：Pyxyxy：xPMPO来源：09年江苏高邮月考一题型：解答题，难度：中档已知点P到两定点)0,1(M、)0,1(N距离的比为2，点N到直线PM的距离为1，求直线PN的方程。答案：解：设P的坐标为),(yx，由题意有2||||PNPM，即2222)1(2)1(yxyx，整理得01622xyx因为点N到PM的距离为1，2||MN所以30PMN，直线PM的斜率为33直线PM的方程为)1(33xy将)1(33xy代入01622xyx整理得0142xx解得32x，32x则点P坐标为)31,32(或)31,32()31,32(或)31,32(直线PN的方程为1xy或1xy．来源：02全国高考题型：解答题，难度：中档如图，已知点F（0，1），直线L：y=-2，及圆C：1)3(22yx。⑴若动点M到点F的距离比它到直线L的距离小1，108642-2-4-6-8-10-15-10-551015xCyXOF求动点M的轨迹E的方程；⑵过点F的直线g交轨迹E于G（x1，y1）、H（x2，y2）两点，求证：x1x2为定值；⑶过轨迹E上一点P作圆C的切线，切点为A、B，要使四边形PACB的面积S最小，求点P的坐标及S的最小值。答案：①x2=4y②x1x2=-4⑶P(±2,1)SMIN=7来源：题型：解答题，难度：中档如图9-7，已知圆C：x2+y2=4,A(3,0)是圆内一点。Q是圆上一动点，AQ的垂直平分线交OQ于P，当点Q在圆C上运动一周时，点P的轨迹为曲线E。（1）求曲线E的方程；（2）过点O作倾斜角为θ的直线与曲线E交于B1、B2两点，当θ在范围（0，2）内变化时，求△AB1B2的面积S(θ)的最大值。答案：（1）∵P在AQ的垂直平分线上，又在半径OQ上，∴|PQ|=|PA|，且|OP|+|PA|=|OQ|=2，故P点的轨迹是以O、A为焦点，长轴长为2，中心在（23，0）的椭圆：(x-23)2+412y=1（2）设OB1=x，则AB1=2-x，在△OAB1中，由余弦定理得|AB1|2=|OB1|2+|OA|2-2|OB1|·|OA|cosθ，即(2-x)2=x2+3-23x·cosθ，解得x=cos3241,同理可得||cos32412OB,S(θ)=S21BAB△=S1AOB△+S2AOB△=21|OA|·|OB1|sinθ+21|OA|·|OB2|sin(π-θ)=21|OA|(cos324sin+cos324sin)=1sin3sin32=sin31sin31≤21当且仅当3sinθ=sin31，即θ=arcsin33时取等号，∴当θ=arcsin33时，Smax(θ)=21。来源：06重庆调研题型：解答题，难度：较难如图9-6，已知点A、B的坐标分别是（-3，0），（3，0），点C为线段AB上任一点，P、Q分别以AC和BC为直径的两圆O1，O2的外公切线的切点，求线段PQ的中点的轨迹方程。答案：作MC⊥AB交PQ于点M，则MC是两圆的公切线，∴|MC|=|MQ|，|MC|=|MP|，即M为PQ的中点。设M(x,y)，则点C，O1，O2的坐标分别是(x,0),(23x,0)（23x，0）。连O1M，O2M，由平几知识得：∠O1MO2=90°，∴有|O1M|2+|O2M|2=|O1O2|2，即：(x-23x)2+y2+(x-23x)2+y2=(23x-23x)2,化简得x2+4y2=9。又∵点C(x,0)在线段AB上，且AC，BC是圆的直径，∴-3x3。故所求的轨迹方程为x2+4y2=9(-3x3)。来源：06重庆调研题型：解答题，难度：较难（1）已知两定圆222221)2(:,12)2(:yxCyxC圆=12，求经过一定圆圆心且与另一定圆内切的圆的圆心轨迹C的方程；（2）若直线)0(:mmkxyl与（1）中所求的曲线C交于A、B两点，且||||BDAD，其中定点D（0，－1），试求m的取值范围.答案：解：（1）解：C1（2，0），C2（－2，0），设经过圆C2的圆心（－2，0）且与定圆C1内切的圆的圆心P（x，y）则32||||32||||1221PCPCPCPC即………………………………2分∴点P的轨迹是以C1、C2为焦点的双曲线右支…………………………………3分可设双曲线方程为)(12222axbyax则,42,322ca故点P的轨迹方程为)3(1322xyx………………5分同理，经过C1且与定圆C2内切的圆的圆心轨迹方程)3(1322xyx……6分∴所求轨迹C的方程是1322yx………………………………………………7分mkxymkmxxkyx0336)31(13)2(22222………………………8分显然),(),,(0)13(12,0312211222yxByxAkmk设20200022131,313),(,316kmykmkxyxABkmkxx则中点设则……9分AB的垂直平分线方程为)0)(313)(1(3122kkmkxkkmy|AD|=|BD|，∴D在AB的垂直平分线上∴D（0，－1）代入上式得1342km…04031222mmkm由04mm或………………11分又4111342mkm……………………………………………12分而k=0时，显然适合题意，41m…………………………………………13分综上，),4()0,41[m……………………………………………………14分来源：题型：解答题，难度：中档设圆C同时满足：①圆心在直线y=2x+1；②与x轴相切；③在y轴上截得的弦长为52。求圆C的方程。答案：设圆C的圆心为C（a，b），半径为r，则.)5(,||,12222rarbab消去b、r整理得04432aa，解得：,3,3,2rba或.37,37,32rba故圆C的方程为9)3()2(22yx或949)37()32(22yx。来源：1题型：解答题，难度：容易一个动圆恒通过坐标原点O，并且与定直线4:xl相切.（1）求动圆圆心M的轨迹方程；（2）过原点且倾斜角为3的直线交（1）中轨迹P、Q两点，PQ的中垂线交x轴N.求三角形PQN的面积.答案：（1）设圆心M（),yx则168|4|222xyxyx得……4分（2）直线xy3代入方程得016832xxPQ中点坐标为（34,34）……6分PQ中垂线方程34)34(33xy令0y得N)0,316(……8分N到直线03yx的距离为38……10分|PQ|=3912833223162PQNS……12分来源：题型：解答题，难度：较难已知点)1,0(F，一动圆过点F且与圆8)1(22yx内切.（Ⅰ）求动圆圆心的轨迹C的方程；（Ⅱ）设点)0,(aA，点P为曲线C上任一点，求点A到点P距离的最大值)(ad；（Ⅲ）在10a的条件下，设三角形POA的面积为1S（O是坐标原点，P是曲线C上横坐标为a的点），以)(ad为边长的正方形的面积为2S.若正数m满足21mSS，问m是否存在最小值，若存在，请求出此最小值，若不存在，请说明理由.答案：（Ⅰ）设动圆圆心为),(yxM，半径为r，已知圆圆心为)1,0(E，由题意知rMF||，rME22||，于是22||||MFME，所以点M的轨迹C是以E、F为焦点，长轴长为22的椭圆，其方程为1222yx.（Ⅱ）设),(yxP，则2222)()(||2222222aaxxxaxyaxPA22)(22aax，令22)()(22aaxxf，]1,1[x，所以，当1a，即1a时)(xf在]1,1[上是减函数，2max)1()1()(afxf；当11a，即11a时，)(xf在],1[a上是增函数，在]1,[a上是减函数，则22)()(2maxaafxf；当1a，即1a时，)(xf在]1,1[上是增函数，2max)1()1()(afxf.所以，1,111,221,1)(2aaaaaaad.（Ⅲ）当10a时,)22,(2aaP,于是)1(22121aaS,2222aS,（12分）若正数m满足条件，则)22()1(22122amaa，即)1(4)1(222aaam，22222)1(8)1(aaam，令2222)1(8)1()(aaaaf，设12at，则)2,1(t，12ta，于是641431411328123818)2)(1()(22222tttttttttaf，所以，当431t，即)2,1(34t时，641)]([maxaf，即6412m，81m.所以，m存在最小值81.来源：09年湖北黄冈月考一题型：解答题，难度：较难已知a,b都是正数，△ABC是平面直角坐标系xOy内,以两点A(a,0)和B(0,b)为顶点的正三角形，且它的第三个顶点C在第一象限内.（1）若△ABC能含于正方形D={(x,y)|0x1,0y1}内，试求变量a,b的约束条件，并在直角坐标系aOb内（见答题卷）内画出这个约束等条件表示的平面区域；（2）当(a,b)在（1）所得的约束条件内移动时，求△ABC面积S的最大值，并求此时（a,b）的值.答案：解:（1）顶点C是以A、B为圆心|AB|为半径的两圆在第一象限的交点，由圆A