解答题重难点题型[八]第23题二次函数综合题

WORD格式整理专业知识分享解答题重难点题型(八)第23题二次函数综合题在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2＋bx＋2的图象与x轴交于A(－3，0)，B(1，0)两点，与y轴交于点C.点P是直线AC上方的抛物线上一动点，设点P的横坐标是m.(1)求这个二次函数的解析式；(2)过点P作PM⊥x轴于点M，交AC于点Q，求线段PQ的最大值；(3)在(2)的条件下，过点P作PH⊥AC于点H，求△PHQ周长的最大值；(4)是否存在点P，使△APC的面积最大？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；(5)在平面直角坐标系中，是否存在点Q，使△BCQ是以BC为腰的等腰直角三角形？若存在，写出点Q的坐标；若不存在，说明理由；(6)点Q是直线AC上方的抛物线上一动点，过点Q作QE垂直于x轴，垂足为E.是否存在点Q，使以点B，Q，E为顶点的三角形与△AOC相似？若存在，写出点Q的坐标；若不存在，说明理由；(7)点M为抛物线上一动点，在x轴上是否存在点Q，使以A，C，M，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，写出点Q的坐标；若不存在，说明理由．(1)【思路点拨】要求抛物线y＝ax2＋bx＋2的解析式，该解析式中有两个未知数，故需要知道经过该抛物线上的两个点的坐标，结合题意，点A和点B是该抛物线上两点，将这两个点的坐标代入，利用待定系数法可求得抛物线的解析式．【自主解答】解：∵抛物线y＝ax2＋bx＋2过点A(－3，0)，B(1，0)，∴9a－3b＋2＝0，a＋b＋2＝0.解得a＝－23，b＝－43.∴二次函数的解析式为y＝－23x2－43x＋2.(2)【思路点拨】设出点P的坐标，并用含有字母的代数式表示出PQ的长度，结合字母的取值范围，求出PQ的最大值．【自主解答】解：如图1，由题知，C(0，2)，A(－3，0)，图1∴可得直线AC的解析式为y＝23x＋2.设点P(m，－23m2－43m＋2)．∵PQ⊥x轴且点Q在直线y＝23x＋2上，WORD格式整理专业知识分享∴Q(m，23m＋2)．∴PQ＝(－23m2－43m＋2)－(23m＋2)＝－23m2－2m＝－23(m＋32)2＋32.∴当m＝－32时，PQ取得最大值，最大值为32.(3)【思路点拨】在Rt△PHQ中，将PH，QH的边长用PQ的长度表示出来，从而要求△PHQ周长的最大值转化为即求PQ长度的最大值．【自主解答】解：如图2，由题知AO＝3，CO＝2，∴AC＝13.图2∵PH⊥AC，PQ∥y轴，∴∠QPH＝∠CAO.则sin∠QPH＝sin∠CAO＝COAC＝21313，cos∠QPH＝cos∠CAO＝AOAC＝31313，∴C△PHQ＝PQ＋QH＋PH＝PQ＋PQsin∠QPH＋PQcos∠QPH＝(1＋sin∠QPH＋cos∠QPH)PQ.,由(2)知，PQ＝－23m2－2m，则C△PHQ＝(1＋sin∠QPH＋cos∠QPH)PQ＝(1＋21313＋31313)·(－23m2－2m)＝13＋51313·－23（m＋32）2＋32＝－26＋101339(m＋32)2＋39＋151326.∵－26＋1013390，且－3m0，∴x＝－32时，C△PHQ最大为39＋151326.∴△PHQ周长的最大值为39＋151326.(4)【思路点拨】要使△ACP的面积最大，可先把△APC的面积用含有字母的式子表示出来，再利用二次函数的性质讨论其最值，进而求得点P坐标．【自主解答】解：设点P坐标为(m，－23m2－43m＋2)．方法一：由(2)知PQ＝－23m2－2m，∴S△ACP＝S△PQC＋S△PQA＝12·PQ·(xC－xP)＋12·PQ·(xP－xA)＝12·PQ·(xC－xA)＝12·(－23m2－2m)·[0－(－3)]＝－m2－3m＝－(mWORD格式整理专业知识分享＋32)2＋94.图3∵－10，－3m0，∴当m＝－32时，S△PAC最大，此时，点P(－32，52)．∴存在点P(－32，52)，使△PAC的面积最大．方法二：如图3，连接PO，作PM⊥x轴于M，PN⊥y轴于N轴于N.∴PM＝－23m2－43m＋2，PN＝－m，AO＝3.由题知，C(0，2)，∴OC＝2.S△PAC＝S△PAO＋S△PCO－S△ACO＝12AO·PM＋12CO·PN－12AO·CO＝12×3·(－23m2－43m＋2)＋12×2·(－m)－12×3×2＝－m2－3m＝－(m＋32)2＋94.∵a＝－1＜0，－3m0，∴当m＝－32时，S△PAC有最大值．此时－23×(－32)2－43×(－32)＋2＝52，∴存在点P(－32，52)，使△PAC的面积最大．(5)【思路点拨】△BCQ是以BC为腰的等腰直角三角形，则需分以点C或点B为直角顶点的等腰直角三角形两种情况讨论．【自主解答】解：如图4所示，以BC为边在两侧作正方形BCQ1Q2、正方形BCQ4Q3，则点Q1，Q2，Q3，Q4为符合题意要求的点．图4过点Q1作Q1D⊥y轴于点D，∵∠BCQ1＝90°，WORD格式整理专业知识分享∴∠Q1CD＋∠OCB＝90°.又∵在直角△OBC中，∠OCB＋∠CBO＝90°，∴∠Q1CD＝∠CBO.又∵Q1C＝BC，∠Q1DC＝∠BOC，∴△Q1CD≌△CBO(AAS)．∴Q1D＝OC＝2，CD＝OB＝1，∴OD＝OC＋CD＝3.∴Q1(2，3)．同理求得Q2(3，1)，Q3(－1，－1)，Q4(－2，1)．∴存在点Q，使△BCQ是以BC为腰的等腰直角三角形．点Q坐标为Q1(2，3)，Q2(3，1)，Q3(－1，－1)，Q4(－2，1)．(6)【思路点拨】因为∠QEB＝∠AOC＝90°，要使以点B，Q，E为顶点的三角形与△AOC相似，则需分△AOC∽△BEQ或△AOC∽△QEB两种情况分别求解．【自主解答】解：如图5所示，设Q(n，－23n2－43n＋2)，E(n，0)，∴BE＝1－n，QE＝－23n2－43n＋2.图5假设以点B，Q，E为顶点的三角形与△AOC相似，则有两种情况：①若△AOC∽△BEQ，则有QECO＝BEAO，即－23n2－43n＋22＝1－n3，化简得n2＋n－2＝0，解得n1＝－2，n2＝1(与点B重合，舍去)，∴n＝－2，QE＝2.∴Q(－2，2)．②若△AOC∽△QEB，则有QEAO＝BECO，即－23n2－43n＋23＝1－n2，化简得4n2－n－3＝0，解得n1＝－34，n2＝1(与点B重合，舍去)，∴n＝－34，QE＝218.∴Q(－34，218)．综上所述，存在点Q，使以点B，Q，E为顶点的三角形与△AOC相似．Q点坐标为(－2，2)或(－34，218)．(7)【思路点拨】因为题干中没有指明是以哪一条线段为边，哪一条为对角线，所以需要分情况讨论．,【自主解答】解：假设存在点Q，使以A，C，M，Q为顶点的四边形是平行四边形．①若AC为对角线，此时CM平行于x轴，如图6所示，有符合要求的点Q1，此时Q1A＝CM.∵CM∥x轴，WORD格式整理专业知识分享∴点M，点C(0，2)关于抛物线对称轴直线x＝－1对称，∴M(－2，2)．∴CM＝2.由Q1A＝CM＝2，得到Q1(－1，0)；②若AC为边，当CM∥x轴时，符合要求的点有1个，如图6所示的Q2，由Q2A＝CM＝2，得到Q2(－5，0)；当CM与x轴不平行时，如图7所示，过点M作MG⊥x轴于G，易证△MGQ≌△COA(AAS)，得QG＝OA＝3，MG＝OC＝2，即yM＝－2.设M(x，－2)，则有－23x2－43x＋2＝－2，解得x＝－1±7.又QG＝3，∴xQ＝xG＋3＝2±7.∴Q3(2＋7，0)，Q4(2－7，0)．综上所述，存在点Q，使以A，C，M，Q为顶点的四边形是平行四边形，Q点坐标为Q1(－1，0)，Q2(－5，0)，Q3(2＋7，0)，Q4(2－7，0)．图6图7,类型1探究线段问题1．(2014·河南)如图，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于点A(－1，0)，B(5，0)两点，直线y＝－34x＋3与y轴交于点C，与x轴交于点D.点P是x轴上方的抛物线上一动点，过点P作PF⊥x轴于点F，交直线CD于点E.设点P的横坐标为m.(1)求抛物线的解析式；(2)若PE＝5EF，求m的值(3)若点E′是点E关于直线PC的对称点，是否存在点P，使点E′落在y轴上？若存在，请直接写出相应的点P的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)∵抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于A(－1，0)，B(5，0)两点，∴0＝－1－b＋c，0＝－25＋5b＋c.∴b＝4，c＝5.∴抛物线的解析式为y＝－x2＋4x＋5.(2)∵点P的横坐标为m，∴P(m，－m2＋4m＋5)，E(m，－34m＋3)，F(m，0)．WORD格式整理专业知识分享∵点P在x轴上方，要使PE＝5EF，点P应在y轴右侧，∴0m5.∴PE＝－m2＋4m＋5－(－34m＋3)＝－m2＋194m＋2.分两种情况讨论：①当点E在点F上方时，EF＝－34m＋3.∵PE＝5EF，∴－m2＋194m＋2＝5(－34m＋3)．即2m2－17m＋26＝0，解得m1＝2，m2＝132(舍去)；②当点E在点F下方时，EF＝34m－3.∵PE＝5EF，∴－m2＋194m＋2＝5(34m－3)．即m2－m－17＝0，解得m3＝1＋692，m4＝1－692(舍去)；∴m的值为2或1＋692.(3)点P的坐标为P1(－12，114)，P2(4，5)，P3(3－11，211－3)．2．(2015·河南)如图，边长为8的正方形OABC的两边在坐标轴上，以点C为顶点的抛物线经过点A，点P是抛物线上点A，C间的一个动点(含端点)，过点P作PF⊥BC于点F.点D，E的坐标分别为(0，6)，(－4，0)，连接PD，PE，DE.(1)请直接写出抛物线的解析式；(2)小明探究点P的位置发现：当点P与点A或点C重合时，PD与PF的差为定值．进而猜想：对于任意一点P，PD与PF的差为定值．请你判断该猜想是否正确，并说明理由；(3)小明进一步探究得出结论：若将“使△PDE的面积为整数”的点P记作“好点”，则存在多个“好点”，且使△PDE的周长最小的点P也是一个“好点”．请直接写出所有“好点”的个数，并求出△PDE的周长最小时“好点”的坐标．解：(1)抛物线解析式为y＝－18x2＋8.(2)正确，理由：设P(x，－18x2＋8)，则PF＝8－(－18x2＋8)＝18x2.过点P作PM⊥y轴于点M，则PD2＝PM2＋DM2＝x2＋[6－(－18x2＋8)]2＝164x4＋12x2＋4＝(18x2＋2)2.∴PD＝18x2＋2.WORD格式整理专业知识分享∴PD－PF＝18x2＋2－18x2＝2.∴猜想正确．(3)“好点”共有11个．在点P运动时，DE大小不变，∴PE与PD的和最小时，△PDE的周长最小．∵PD－PF＝2，∴PD＝PF＋2.∴PE＋PD＝PE＋PF＋2.当P，E，F三点共线时，PE＋PF最小．此时点P，E的横坐标都为－4.将x＝－4代入y＝－18x2＋8，得y＝6.∴P(－4，6)，此时△PDE的周长最小，且△PDE的面积为12，点P恰好是“好点”．∴△PDE的周长最小时“好点”的坐标为(－4，6)．提示：△PDE的面积S＝－14x2－3x＋4＝－14(x＋6)2＋13.由－8≤x≤0，知4≤S≤13，∴S的整数值有10个．由函数图象知，当S＝12时，对应的“好点”有2个，∴“好点”共有11个．3．(2017·滨州)如图，直线y＝kx＋b(k，b为常数)分别与x轴，y轴交于点A(－4，0)，B(0，3)，抛物线y＝－x2＋2x＋1与y轴交于点C.(1)求直线y＝kx＋b的解析式；(2)若点P(x，y)是抛物线y＝－x2＋2x＋1上的任意一点，设点P到直线AB的距离为d，求d关于x的函数解析式，并求d取最小值时点P的坐标；(3)若点E在抛物线y＝－x2＋2x＋1的对称轴上移动，点F在直线AB上移动，求CE＋EF的最小值．解：(1)∵直线y＝kx＋