常用统计分布

常用统计分布一、常见分布二、概率分布的分位数三、小结一、常见分布).(~,,)1,0(,,,6.522222221221nnXXXNXXXnn记为分布的度为服从自由＝则称统计量分布相互独立，同服从、设定义.:222212变量的个数中右端包含独立指自由度nXXX分布（卡方分布）2.1分布的概率密度为定理)(4.52n其它00)2(21)(2122xexnxpxnn.)(2图分布的概率密度曲线如n分布的性质2性质1).(~,,),(~),(~2122221222122221221nnnn则立独并且设)(2分布的可加性(此性质可以推广到多个随机变量的情形)).(~,),,2,1(),(~21212222mmiiiiinnnmin则独立相互并且设性质2.2)(,)(),(~2222nDnEn则若证明),1,0(~NXi因为,1)()(2iiXDXE所以2242)]([)()(iiiXEXEXD)(2分布的数学期望和方差dxexXExi24422123221xedxdxexexxx22232221321niiXEE122)(故niiXDD122)(niiXE12)(,nniiXD12)(.2n)(2iXD,213.,,2,1ni22213xedx3dxexexx22222133性质3dtexnnPxntxnn2221}2{lim,),(~222有则对任意设且独立同分布因而独立且每个其中由假设和定义证明,,,,),1,0(~,,,,,6.52222121122ninniiXXXNXXXXX),,2,1(2)(,1)(22niXDXEii}2{lim2xnnPn由中心极限定理得xniindtexnnXPt2221}{lim12).2,(~).1,0(2,,222nnNNnnn近似进而近似服从很大时当也即分布分布的极限分布是正态即.)()(,,)1,0(,,,12265432221121621分布服从使得求样本的一组为来自正态总体设例XXXXCXXCYCCNXXX)1,0(~2),2,0(~2121NXXNXX则解),(~),,(~1044065436543NXXXXNXXXX则同理221XX且46543XXXX与相互独立2212)(XX所以)2(~)4(226543XXXX.41,2121CC则).(~,/,,),(~),,(~.ntTtnnYXTYXnYNX记为分布的服从自由度为则称随机变量独立且设定义21075tntnnnthn,12π21)(212分布的概率密度函数为)(nt分布t2.图分布的概率密度曲线如t.0对称的显然图形是关于t当n充分大时,其图形类似于标准正态变量概率密度的图形.,π21)(lim22tneth因为,)1,0(分布分布近似于足够大时所以当Ntn.)1,0(,分布相差很大分布与但对于较小的Ntn演示t分布具有下列性质：性质5.6设,则当时有性质5.7设，是T的分布密度，则此性质说明，当时，T分布的极限分布是标准正态分布。)(~ntT2n0)(TE2)(nnTD)(~ntT)(tp2221)(limtnetpn.,,,),(~),,(~2222的概率分布试求相互独立且设例nYXTYXnYNX得由定理独立与则独立且又所以因为解7.5,,,),(~)1,0(~),,(~2222YXYXnYNXNX)(~/)/(/)(2ntnYXnYXT).,(~,),(//,,),(~),(~8.52121212212nnFFFnnnYnXFYXnYnX记为分布的服从自由度为则称随机变量独立且设定义分布F3.其概率密度为:其它,00,1222)(2212112221212111ynynnnynnnnynnnn图分布的概率密度曲线如F分布有以下性质F).,(~1),,(~1221nnFFnnFF则若(1))4(,)4()2()2(2)(),2(,2)(222212122222nnnnnnnFDnnnFE(2)演示这说明F分布极限分布也是正态分布.dtexFDFEFPxnnnFFtxn22121})()({lim,4),,(~221有对任意时则当设(3))1,(~1),1(~8.5222nFFTnFnYXT分布的性质知由有由定义,),1(~,,),(~),1,0(~7.5),(~2222独立与且那么独立且其中有由定义因为证明YXXYXnYNXnYXTntT).,1(~),(~32nFTntT试证已知例二、概率分布的分位数.}{,),10(9.5分位数的分布的上侧为则称使若存在和给定的对于总体定义XxxXPxXu正态分布的上侧分位数.1xeuXPuNNXuxdπ21101022}{),(),,(满足分位点的上服从标准正态分布设05.0u附表2-1025.0u根据正态分布的对称性知.uu1,645.1,96.1附表2-21)(u即.,的值可查得由附表给定u2)(}{uuXP11u).()()()}({,10,或分位点分位数分布的上为的点称满足条件对于给定的ntntnttP.分位数的值得上可以通过查表求由分布的对称性知).()(1ntnt.)(,untn时当45)(.2ntt分布的上侧分位数)10(05.0t附表3-1,8125.1)15(025.0t.1315.2附表3-2.)()()}({,10,2222分位数（分位点）分布的上为的点称满足条件对于给定的正数nnnP.,,分位点的值得上可以通过查表求对于不同的n)(.322n分布的上侧分位数)8(2025.0)10(2975.0)25(21.0附表4-1附表4只详列到n=45为止.,535.17,247.3附表4-2.382.34附表4-3在Matlab中求解..2)(,2分位数是标准正态分布的上其中充分大时当uunnnn例如64124012012021201200502050.)(..u..5145利用上公式,费歇资料.,45分位点的近似值上时可以求得n费歇(R.A.Fisher)证明:.,),(21可通过查表完成的值求nnF)7,8(025.0F)14,30(05.0F附表5-1,90.4.31.2附表5-2.),(),()},({,10,212121分位数分布的上为的点称满足条件对于给定的nnFnnFnnFFP),(214nnFF分布的上侧分位数:分位点具有如下性质分布的上F.),(1),(12211nnFnnF证明)},({1211nnFFP所以),(11211nnFFP),(111211nnFFP,),(111211nnFFP),,(~21nnFF因为,),(11211nnFFP故),,(~112nnFF因为,),(112nnFFP所以,),(),(11221-1nnFnnF比较后得.),(1),(12211nnFnnF即)9,21(59.0F例)12,9(105.0F8.21.357.0.分位点的一些上用来求分布表中未列出三、小结1.三大统计分布.,,2分布分布分布Ft的定义,性质.2.概率分布的分位数