浙财东方学院微积分B第七章7-2

1二元函数极值示例示例1.处有极小值．在)0,0(4322yxz(1)示例2.处有极大值．在)0,0(22yxz(2)示例3.处无极值．在)0,0(xyz(3)2练习.)(4),(122的极值求函数yxyxyxf.)2(),(222的极值求函数yyxeyxfx3练习解答.)(4),(122的极值求函数yxyxyxf解024),(024),(yyxfxyxfyx由).2,2(得驻点为由于,2)2,2(xxfA,2)2,2(yyfC,02ACB0A,0)2,2(xyfB,22）取得极大值，故函数在点（8)2,2(f极大值为4.)2(),(222的极值求函数yyxeyxfx解0)22(),(0)1422(),(222yeyxfyyxeyxfxyxx由.121），得驻点为（)1,21(22)12(4)1,21(yyxefAxxx因02e0)1(4)1,21()1,21(2yefBxxyeefCxyy22)1,21()1,21(204,022eBACA2)1,21()1,21(ef处取得极小值故函数在点5多元函数的最值与一元函数相类似,我们可以利用函数的极值来求函数的最大值和最小值。求最值的一般方法：将函数在定义区域D内所有驻点处的函数值以及在D的边界上的最大值和最小值相互比较，其中最大者即为最大值，最小者即为最小值。特殊方法：区域D内只有唯一驻点且为极值点,即为相应的最值点。根据实际意义、实际经验判断是否为最值。6例题与讲解（重点）例：某企业生产两种商品的产量分别为x、y单位,利润函数为：L=64x-2x2+4xy-4y2+32y-14，求最大利润。解：由极值的必要条件04464yxLx04832xyLy解得唯一驻点(40,24).由04,4ALxx4,4BLxy08,8CLyy0162ACB可知,唯一驻点(40,24)为极大值点,亦即最大值点。最大值为：L(40,24)=1650答：两产品产量分别为40单位和24单位时,利润最大,最大利润为1650单位。7例题与讲解练习：已知某产品的需求函数为Q=200000p-1.5x0.1y0.3,其中Q为需求量,p为价格,x为广告费,y为推销费,若产品的可变成本为25元/件,固定成本(不含x,y)为8000元。求最佳经营时的价格、广告费和推销费。解：利润函数为)258000(yxQpQCRLyxQp8000)25(8000)25(200000:3.01.05.1yxyxppL整理得最佳经营时,应是总利润最大，故0)75(1000003.01.05.2pyxpLp01)25(200003.09.05.1yxppLx01)25(600007.01.05.1yxppLy唯一驻点：p=75x355554y10666628例1.要设计一个容量为V的长方体开口水箱,问求x,y,z令解方程组解:设x,y,z分别表示长、宽、高,下水箱表面积最小.使在条件02zyyz02zxxz0)(2yxyx0Vzyx水箱长、宽、高等于多少时所用材料最省？VzyxyxzyzxS)(2)()(2VzyxyxzyzxL⑴⑵⑶⑷90)1)((zxy⑴－⑵得,01z若于是,1z代入⑴式得,02不合题意.若0xy,xy代入⑶式得,4xy代入⑴式得,42zxy代入⑷式得324V10得唯一稳定点,223Vzyx324V由题意可知合理的设计是存在的,长、宽为高的2倍时，所用材料最省.因此,当高为,43V12例题与讲解例3：某厂生产A、B两产品,产量分别为x和y(单位:千件),利润函数为L=6x-x2+16y-4y2-2(单位:万元);已知生产这两产品时,每千件消耗某原料2000公斤,现有该原料12000公斤,问两产品各生产多少,总利润最大？解：条件极值问题1200020002000..24166),(22yxtsyyxxyxMaxL拉格朗日函数)6(24166),,(22yxyyxxyxF令060816026yxFyFxFyx解得唯一驻点：2.2,8.300yx由实际意义可知,最大值为72.36)2.2,8.3(L答：当A生产3.8千件,B生产2.2千件时,利润最大,最大利润为36.72万元。13课堂练习1某公司拟用甲、乙两个厂生产的同一种产品，若用x代表甲厂的产量，用y代表乙厂的产量，其总成本函数为C=X2+3Y2-XY求该公司在生产总量为30单位时使得总成本最低的产量？解：目标函数C=X2+3Y2-XY约束条件X+Y=30（即X+Y-30=0）14课堂练习1(续)495)9,21(339210300602)30(3),,(22CyxyxxLxyyLyxxLyxxyyxyxLLagrange成本最小时的产量为，得唯一驻点解函数构造15课堂练习2(条件极值)设某种产品的产量是劳动力x和原料y的函数，f(x,y)=60x¾y¼,若劳动力单价为100元，原料单价为200元，则在投入30000元资金用于生产情况下，如何安排劳动力和原料，可使产量最多？解：目标函数f(x,y)=60x¾y¼约束条件x+2y=300（即x+2y-300=0）16课堂练习2(续)即为原问题的解得唯一驻点解函数构造,5.37225030020215045)3002(60),,(434341414143yxyxxLyxyLyxxLyxyxyxLLagrange17二重积分的性质(1~5)性质1（k为常数）DDdfxfkdyxkf,,性质2DDDdyxgdyxfdyxgyxf,,,,性质32121,,,DDDDDdyxfdyxfdyxf性质4若为D的面积,则.1DDdd性质5若在D上),,(),(yxgyxf.),(),(DDdyxgdyxf则有特别地:.),(),(DDdyxfdyxf18二重积分的性质(6~7)性质6(估值不等式)设M、m分别是f(x,y)在闭区域D上的最大值和最小值,为D的面积,则DMdyxfm),(性质7(二重积分中值定理)设函数f(x,y)在闭区域D上连续,则在D上至少存在一点(,),使得),(),(fdyxfD19D例解：围成．由其中计算2,1,.22xxyxyDdyxDX-型xxDdyyxdxdyx12221222112dxyxxx213)(dxxx.49.21,1:xxyxD），左边交点坐标为（1120所围成的闭区域。及是由抛物线其中计算2,2xyxyDxydD练习解：（如图）将D作Y型2212yyDxydxdyxyddyyyydyyxyy21522212])2([2122855]62344[21216234yyyy2,4-122yx2yx1,1xy)(yx后先21例求Ddxdyyx)(2，其中D是由抛物线2xy和2yx所围平面闭区域.解：两曲线的交点),1,1(,)0,0(22yxxy2xy2yx2xy2yx［X－型］xyxx21022Ddxdyyx)(2dxdyyxxx])([1022dxxxxxx)](21)([42102.140332xy2yx［Y－型］yxyy210Ddxdyyx)(2dydxyxyy1022])([.1403326极坐标下化二次积分(2)若积分区域特征如下图AoD)(r.)sin,cos()(0rdrrrfd,).(0rDrdrdrrf)sin,cos(27例计算二重积分DdxdyyxRI,222其中DRyyx22是由圆围成区域.D,sin0Rr解取极坐标系,区域可表成,20yxorR2820sin0222RrdrrRdI)()(2222sin0212220rRdrRdR20sin02322)(32drRR2033)cos1(32dR.94333RR故29极坐标下化二次积分(3)若积分区域特征如下图Drdrdrrf)sin,cos(.)sin,cos()(020rdrrrfd极坐标系下区域的面积.Drdrd).(0rDoA)(r,2030例题与讲解例:计算deIDyx22分析：由于积分区域为圆环，被积函数是f(x2+y2)形式，故采用极坐标计算41),(22yxyxD其中rdedrrdrdeIrr202122Ω＝解：)(242122122eedredrrerr31例题与讲解例：计算dxdyeDyx22其中D是由中心在原点,半径为a的圆周所围成的闭区域。解：由于积分区域为圆域，被积函数是f(x2+y2)形式，故采用极坐标计算在极坐标系下D：ar0，20.dxdyeDyx22arrdred0202).1(2ae32练习(1)计算下列二重积分1;}1,1),{(,)()1(22yxyxDdyxD其中.),()0,(),0,0(,)cos()2(的三角形闭区域和是顶点分别为其中DdyxxD.1,)1ln(62222一象限的闭区域及坐标轴所围成的在第是由圆周其中利用极坐标计yxDdyxD33练习解答计算下列二重积分：1}1,1),{(,)()1(22yxyxDdyxD其中解积分区域下图所示Ddyx)(22112211)(dyyxdx1231111[]3xyydx112)322(dxx113]3232[xx38xyD34练习解答.),()0,(),0,0(,)cos()2(的三角形闭区域和是顶点分别为其中DdyxxD解积分区域下图所示Ddyxx)cos(xdyyxxdx00)cos(00[sin()]xxxydx0)sin2(sindxxxx0)cos2cos21(xxxddxxxxxx)cos2cos21()cos2cos21(00.23xyDo35练习解答.1,)1ln(62222一象限的闭区域及坐标轴所围成的在第是由圆周其中利用极坐标计yxDdyxD解Ddyx)1ln(2210220)1ln(rdrrd1022)1()1ln(212rdr]2)1ln()1[(4101022rdrrr)12ln2(4xy11rD如下图所示D