Fourier分析在偏微分方程中的应用

Fourier分析在偏微分方程中的应用2008-01-02偏微分方程的研究对象是作为偏微分方程解的函数，什么是“知道”一个函数似乎是一个显而易见的问题，但事实上这是一个非常深刻并革命性地推动偏微分方程发展的重要问题。从时空域“知道”一个函数（经典分析）；从试验函数“知道”一个函数（广义函数）；从频谱域“知道”一个函数（Fourier分析）;更一般地，通过一个基底“知道”一个函数。从Fourier分析谈起；微局部分析：拟微分算子；仿微分算子；微局部分析的一个应用从Fourier分析谈起1822年Fourier发表了他的名著《热的解析理论》。自此我们有了Fourier级数、Fourier积分，总之有了调和分析。调和分析是数学中一百多年来为数不多地充满活力向前发展并对科学产生重大影响的数学分支。(JosephFourier,1768~1830)从Fourier分析谈起Fourier在1807年就提交了第一篇关于热传导的论文。当时Laplace（1749－1827）和Lagrange（1736－1813）等人是评阅人；Fourier在1811年呈上修改过的论文，并得到奖金，但未发表在当时科学院《报告》；1922年Fourier发表了他的名著《热的解析理论》；两年后Fourier成为科学院秘书，把1811年修改过的论文，发表在科学院《报告》。从Fourier分析谈起Fourier在他的《热的解析理论》里研究了有限长杆上的热传导方程的混合初边值问题的解，并用今天熟知的分离变量法将解写成级数。Fourier在他的《热的解析理论》的最后一部分讨论半无限长杆上的温度分布，得到Fourier积分，也就是我们后面讲到的Fourier变换。Fourier的工作是偏微分方程及其重要的一大步。Fourier的工作迫使对函数概念作一修改，即函数可以分段表示。从Fourier分析谈起Fourier级数：在[-π，π]是连续函数，那么或者用复形式其中，称为的Fourier系数，这里和分别形成一个正交基。)(xf10)sincos(2)(nnnnxnxxfbaa,)(ninxnecxfdxexfinxnc)(21cn)(xf}sin,{cosnxnx}{inxe从Fourier分析谈起Fourier定理告诉我们：一个周期函数总可被正弦函数和余弦函数表出：从Fourier分析谈起四个不同频率的基本波复合成一个波；高频，低频；从Fourier分析谈起示波器从Fourier分析谈起小提琴师演奏的一段声乐是：ttty3000sin01.02000sin02.01000sin06.0从Fourier分析谈起从频谱域知道一个乐音是远比从时域知道一个乐音要聪明的办法。乐音是适当的简单的声音（即正弦波）组合而成，单音称为泛音。泛音中频率最低的称为基音，次低的称为第二泛音等等。乐音有四要素，即音量、音调、音色和时值。从Fourier分析谈起音量：由振幅确定，粗略地说音量与振幅的平方成正比。音调：（即音的高低）由基音的频率确定，粗略地说频率增高到二倍，音调提高一个八度。时值：指振动延续的时间。音色：由声波的形状确定从Fourier分析谈起知道一个乐器或者一个人的声音只要知道相应的Fourier系数即可。正因为有对声音的数学研究，即Fourier分析的研究，人声辨识、电子音乐等等才成为可能。从Fourier分析谈起Fourier变换：与Fourier级数相对应的是Fourier变换，它是时—频分析的重要技术，通常记这里相当于Fourier级数的是频率变量。一个信号函数，既可以在时域内以给出，亦可以在频域内以给出，而且通过时—频之间的变换与分析，可以得到很多有用的信息。.)()(ˆdxxfefxin从Fourier分析谈起Fourier变换的性质：即函数的微分与乘法对偶。具体说：一个函数的微分对其Fourier变换而言是一个乘法。为方便，以后常用dfexfxixin))(ˆ()2()(1xiDx1从Fourier分析谈起基于Fourier变换的这一性质，将微分方程变为代数方程；将函数的光滑性变成其Fourier变换的有界性等；…...Fourier变换成为一种十分具“诱惑力”的办法但问题也接踵而来：由一个函数的Fourier变换写不出原来的函数；变系数的方程无法作Fourier变换；…...微局部分析经典的偏微分方程是在考虑，微局部分析则在考虑。或者说在余切丛考虑。从空间和频域两个侧面了解一个函数。直观地讲，多维空间定义的一个函数，在一个点附近的形态是局部的，但函数还与这点不同方向有关。点与方向就是微局部。nRx)0\(),(nRx0\*T微局部分析－拟微分算子问题的提出：一维空间的波算子的分解:多维空间的波算子的分解如何进行？椭圆算子的逆算子如何定义？))((22xtxtxt)(,2221nxxt)(),()(),())((),(1||xfDxAxuxfuDxauDxAmx微局部分析－拟微分算子拟微分算子成为一种系统理论是20世纪60年代中期的事,集大成者当数瑞典数学家,菲尔兹奖得主Hormander.拟微分算子的直接前身是Calderon,Zygmund所建立的奇异积分算子理论。微局部分析－拟微分算子拟微分算子的形式定义：其中称为象征(symbol)。若则其为通常的微分算子。但一般地可推广为有条件限制的光滑函数。例如算子就不是微分算子，其象征是duxaexAuxin)(ˆ),()2()(),(xa)(),(||xaxam2/122221)(||),(nxa微局部分析－拟微分算子有了拟微分算子的定义，可以回答上面的问题：同时，分数阶导、无理数阶导、负导数都有了定义。))((2iitttmxDxaDxA||11))((),(微局部分析－拟微分算子经典的偏微分方程是在考虑，拟微分算子则要考虑他的对偶变量，故是在上考虑。拟微分算子理论的发展为解决线性偏微分方程的重大问题做出了重大贡献。例如：Cauchy问题解的唯一性、椭圆算子的指标问题（Atiyah-Singer指标定理）。nRx)0\(),(nRx微局部分析－拟微分算子以拟微分算子为代表的微局部分析是一个很大的理论体系，反映出微局部分析已超出偏微分方程的领域，成为现代分析的重要思想。这方面最完整的概括是Hormander的四卷本巨著。微局部分析－仿微分算子问题的提出：在研究非线性偏微分方程解的正则性时,会讨论系数的正则性会影响解的正则性的讨论。这就催生新的工具。0uuuxt微局部分析－仿微分算子J.M.Bony在上世纪80年代提出仿微分算子理论。其工作基于上世纪30年代的Littlewood-Paley分解。微局部分析的新的发展。微局部分析－仿微分算子其基本思想是分解：其中：分别是高频占优，并确定它的正则性。),()()(vuRuTvTxvxuvu}1||2/1;{supp)2(),2(,NkhhkkkkkuDSDvuSvTvTuTuv,vu,微局部分析拟微分算子和仿微分算子实际也在调和分析的范畴，微局部分析和调和分析实际很难有一个分界：E.M.Stein的专著“HarmonicAnalysis”有四章讲拟微分算子和Fourier积分算子；拟微分算子的核表示就是一个奇异积分算子；仿微分算子的基础L-P分解本身就是出自调和分析。微局部分析的一个应用问题的提出：线性Navier-Stoke方程组的基本解的估计00,002tttmmdivmcmmdiv微局部分析的一个应用先看输送方程：再看热传导方程：tcittxteututuicxuucuˆ1),(ˆ0),(ˆ))(()(|00tttteuutuxuu2||20ˆ1)0,(ˆ0),(ˆ)||()(|0)(微局部分析的一个应用将线性Navier-Stoke方程组作Fourier变换，并解之得：22422||4||)(21||)(21***),(ˆceetGtt微局部分析的一个应用关键思想：解的衰减主要是由其低频部分确定。办法：先考虑低频部分，做零点的Taylor展示：粗略地讲，解可有估计：)|(|||)(21||22ociNntctxtCLtxG)1)|(|1()1(|),(|22/tticeetG2||||),(ˆ微局部分析的一个应用体现微局部考虑问题的优越性。文章可参考：【1】T.P.Liu&W.K.Wang,Comm.M.P.,(1998),V196,145-173.【2】W.K.Wang&T.Yang,JDE,(2001),V173,410-450.【3】S.J.Deng、W.K.Wang&S.H.Yu,(toappearinComm.M.P.,(2008)).谢谢！