4.2 导数的乘法与除法法则

4.2导数的乘法与除法法则])()([xgxf)()(xgxf前面学习了导数的加法与减法法则，下面进行复习回顾：对于导数的乘法与除法法则，我们能否给出这样的结论呢？)()()()(),()()()(xgxfxgxfxgxfxgxf答案是否定的，那么如何求导数的乘法与除法？请进入本节课的学习！××探究点1导数乘法公式的推导应用提示：计算导数的步骤求导的三个步骤：求y求xy求xyx0lim20020yf(x)xf(x),g(x)x.yf(x)g(x)xf(x)x设函数在处的导数为我们来求在处的导数.解析：给定自变量x0的一个改变量△x，则函数值y的改变量为)()()()()()()()()()()()()(y),()(020200020020200020020020020020xfxxxxxxfxxfxxxxfxxxxfxxfxxxxfxxxfxxxxfxxxfxxy成相应的平均变化率可写0202000000202002)(lim)()()(lim,)(lim0xxxxxxxfxxfxxfxxxxxx由于令)()()(2xfxxgxf).(2)(00020xfxxfx知在x0处的导数值为因此，的导数为)(2xfx22xf(x)(x)f(x).【抽象概括】一般地，若两个函数f(x)和g(x)的导数分别是，我们有)()(xgxf和).()()()(])()([xgxfxgxfxgxf2f(x)f(x)g(x)f(x)g(x).g(x)g(x)比较与加减法则的不同特别地，若时，有.kxg)()()(xfkxkf【即时训练】求下列函数的导数(1)y＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)；（2）y＝x－1x＋1.解析：(1)解法1：y′＝[(x＋1)(x＋2)(x＋3)]′＝[(x＋1)(x＋2)]′(x＋3)＋(x＋1)(x＋2)(x＋3)′＝[(x＋1)′(x＋2)＋(x＋1)(x＋2)′](x＋3)＋(x＋1)(x＋2)＝(x＋2＋x＋1)(x＋3)＋(x＋1)(x＋2)＝(2x＋3)(x＋3)＋x2＋3x＋2＝3x2＋12x＋11；解法2：因为(x＋1)(x＋2)(x＋3)＝(x2＋3x＋2)(x＋3)＝x3＋6x2＋11x＋6，所以y′＝[(x＋1)(x＋2)(x＋3)]′＝(x3＋6x2＋11x＋6)′＝3x2＋12x＋11；例1求下列函数的导数：解：（1）函数y=x2ex是函数f（x）=x2与g（x）=ex之积，由导数公式表分别得出xf(x)2x,g(x)e.2xx2x2x(xe)2xexe(2xx)e.根据两函数之积的求导法则，可得2x(1)yxe;(2)yxsinx;(3)y=xlnx.（2）函数是函数之积，由导数公式表分别得出yxsinxf(x)x与1f(x),g(x)cosx.2xsinx(xsinx)xcosx.2x根据两个函数之积的求导法则，可得g(x)sinx（3）函数是函数之积，由导数公式表分别得出根据函数乘法的求导法则，可得xxylnxxgxxfln)()(与1f(x)1,g(x).x1(xlnx)1lnxxlnx1.x例2求下列函数的导数：2sinxx(1)y;(2)y.xlnxxxysin.1)(,cos)(xgxxf解（1）函数是函数f（x）=sinx与g（x）=x之商，根据导数公式表分别得出由求导的除法法则得22sinxcosxxsinx1xcosxsinx().xxx（2）函数是函数f（x）=x2和函数g（x）=lnx之商，根据导数公式表分别得出xxyln2.1)(,2)(xxgxxf由求导的除法法则得222212xlnxxxx(2lnx1)x().lnx(lnx)lnx探究点2导数四则运算法则的灵活运用较为复杂的求导运算，一般综合了和、差、积、商的几种运算，要注意：(1)先将函数式化简，化为基本初等函数的和、差、积、商；(2)根据导数的四则运算法则和公式求导，注意公式法则的层次性．例3求下列函数的导数：22cosxx(1)yx(lnxsinx);(2)y.xxxxgxxfcos1)(,2)(解：（1）函数y=x2(lnx+sinx)是函数f（x）=x2与g（x）=lnx+sinx的积，由导数公式表及和函数的求导法则分别得出由求导的乘法法则得2221xlnxsinx2xlnxsinxx(cosx)xx2xlnx2xsinxxcosx.2cosxxxy.2)(,1sin)(xxgxxf（2）函数可以看成是函数f（x）=cosx-x与g(x)=x2的商.由导数公式表及差函数的求导法则分别得出由求导的除法法则得222233sinx1xcosxx2xcosxx()x(x)(1sinx)x2cosx2xxsinx2cosxx.xx求下列函数的导数：22x(1)y2x(x3);(2)y.x1解：222222(1)y2(x3)2x4x6.2(x1)2x2x(2)y(x1)22x.(x1)【变式训练】例4求曲线上点（1,0）处的切线方程.xxxxfxln211)(xxxxfxln211)(解：首先求出函数的导函数.根据导数公式表及导数的四则运算法则可得)(ln2ln)2()1()1)(1()1()1()(2xxxxxxxxfxx探究点3应用导数运算法则求曲线切线xx2xx2x11(1x)(1x)22x2x(2ln2)lnxx(1x)122ln2lnx.xx(1x)7x1f(x),f(1).41xf(x)2lnx1,01x7y(x1).4将代入得所求切线斜率曲线上点（）处的切线方程为1．函数y＝(x－a)(x－b)在x＝a处的导数为()A．abB．－a(a－b)C．0D．a－bD2．设y＝sinx1＋cosx，－πxπ，当y′＝2时，x等于()A．±13πB．±16πC．±14πD．±23π【解析】因为y＝sinx1＋cosx，所以y′＝cosx(1＋cosx)－sinx(－sinx)(1＋cosx)2＝1＋cosx(1＋cosx)2＝11＋cosx，因为y′＝2，所以11＋cosx＝2，所以cosx＝－12，又－πxπ，所以x＝±23π.D3．若f(x)＝1－sinxx，则f′(π)＝________.【解析】f′(x)＝(1－sinx)′x－(x)′(1－sinx)x2＝－xcosx－1＋sinxx2所以f′(π)＝－πcosπ－1＋sinππ2＝π－1π2.π－1π24.求曲线y=xlnx平行于x-y+1=0的切线方程.【解析】设切点坐标为,，00pxy由题意得切线的斜率为1,'''y'(xlnx)(x)lnxx(lnx)lnx1，0lnx0，所以01lnx1，所以所以切线方程为y=x-1.即x-y-1=0.001y=0.所以，x回顾本节课的收获导数的乘法与除法法则导数乘法、除法公式导数四则运算法则的灵活运用应用导数运算法则求曲线切线