一阶与二阶常系数线性微分方程及其解法

德国数学家Leibniz在一切理论成就中，未必有什么像十七世纪下半叶微积分的发明那样，能被看做人类精神的卓越胜利了。如果在某个地方我们有人类精神的、纯粹和专有的功绩，那就正在这里。─F.恩格斯英国数学家Newton微积分学创始人Theonerealobjectofeducationistohaveamanintheconditionofcontinuallyaskingquestions.（教育的真正目的是使人处于不断发问的状态）------MandellCreighton（克莱顿）Brevityisthesoulofwit.（简洁是智慧的灵魂）------WilliamShakespeare（莎士比亚）Wisdomdenotesthepursuingofthebestendsbythebestmeans.（智慧意味着以最佳手法获得最佳结果）------FrancisHutcheson（哈奇森）一位年迈的法国数学家说：“只有当你使数学变得如此明白易懂、可以向任何一个人阐述其内容的时候，数学理论才可以认为是完善的。”------D.Hilbert（希尔伯特）Brevityisthesoulofwit.（简洁是智慧的灵魂）------WilliamShakespeare（莎士比亚）Wisdomdenotesthepursuingofthebestendsbythebestmeans.（智慧意味着以最佳手法获得最佳结果）------FrancisHutcheson（哈奇森）退出四五二一退出专题三退出返回本章只讨论常微方程。简例如下：2.常微方程分类命名法含一元未知函数的导函数或因变量(3)(5)15cos0yx13(3)xxdyedx(1)30yxy28(4)0yx222(2)dyxydxxy1.何谓常微分方程经验指出，常微方程中未知函数及其非线性方程，剩下的都是线性方程。显然，简例中阶数最高的方程是(5)，它们统称为高阶方程）。剩下的方程全为三阶方程；其次是(4)，为二阶方程（是一阶方程（尤其含有微分者更如此）的微分以及自变量的微分的等式称为数或因变量的微分及其多个自变量的常微分方程；含多元未知函数的偏导(6)33yxyx常微方程按其内所含未知函数的最高阶数来分类并命名。最高阶数是几，方程就被称为几阶方程。导数的幂次是否全为一次，决定了未知函数的具体结构能否被解出来的难度。全为一次的方程称为线性方程，否则称为非线性方程。易见，简例唯有(2)是的微分的等式称为偏微分方程。退出返回3.常微方程的特解与通解常微方程的通解多数都能囊括方程的例外）。不被通解囊括的以及通解中的例1-1验证方程的通解任何含自变量与因变量的表达式，若能由之恒等地推出给定的常微方程时，都称为该常微方程的解；解若含有任意所有可能存在的解（仅非线性方程鲜有常数、且不能合并的任意常数的个数恰任意常数取特定值后所得出的对应解称证22,xyCy是22.xyCy222dyxydxxy好等于方程的阶数时称为方程的通解。为方程的特解。22,xdxydyCdy(2)2,Cydyxdx22dyxdxCy222xyCyy22222xyxyy222xyxy由于表达式中仅含一个任意常数，个数可见，给定的表达式是给定方程的解；明显与方程的阶数（一阶）相等，故此解是方程的通解。证毕。退出返回222,dyxydxxy222dyxydxxy222,xydxxdyydy的通解。22()2,xydyxydx222();ydxxdyydy解2xyCy222(),ydxxdydyy2();xddyy故原方程的通解为2()0.xdyy22.xyCy*例2-1求一阶非线性微分方程即非线性方程的通解（包括特解）往往用隐函数的形式书写比较简洁。有些非线性方程偶尔可经变元代换化成线性方程再求解（有兴趣者可参阅教材P236之例4与例5），但转换过程琐碎，明显不如凑微分法来得直接和明快。可见，退出返回22,dyydxxyx22dyydxxyx22,xydyydxxdy的通解。22();xyxdyydx2;xxdyydxdyy解1ln||yyCx2;xdyydxdyxy()(ln||);yddyx故原方程的通解为(ln||)0.ydyx1ln||,yCyxeee*例2-2求一阶非线性微分方程即用凑微分法解常微方程，需要纯熟地掌握凑微分的四则运算技巧，特别是商的微分运算法则；其掌控的要点在于认准何为分母，何为分子。（本例即教材P236之例4）可见，.yxeCy1||,yCxeey退出返回解的通解。12xxdyedx例2-3求一阶线性微分方程12,xxdyedx121xdyedxx11()xedx1(),xde故1()0,xdye1,xyeC1.xyeC凑微分法解一阶微分方程时，只要可能，应坚持因变量按因变量凑，自变量按自变量凑；然后再合并归总得通解。解微分方程的过程，本质上是求出的特解和通解又常常被分别称做历经曲折求原函数的过程。因此，被微分方程的积分曲线和积分曲线族（我们知道，同时含有因变量和自变量的等式在解析几何中表示平面曲线）在极理想的情况下，原方程有可能被重组成因变量与自变量全都各居一侧的形式，人们常称其为已分离变量的形式。这种方程的解几乎显而易见：()(),fxdxgydy若00()(),xydftdtdgtdt则00()().xyftdtgtdtC通解即退出返回1(1)0yyx*(2)20yy0,xdyydx()0;dxy1(1)0yyx(2)20,yy20,dyydx22(2)0,xxedyyedx2xyeC22()0,xxedyyde2()0,xdye2.xyCe解0,xyyxyC故原方程的通解为.Cyx或者故原方程的通解为或者例2-4解下列一阶线性齐次方程方程两边同乘以2xe得线性方程中不含未知函数及其导函数的项称为非齐次项。非齐次项为零的方程称为线性齐次方程(2)0,dyydx12150yy的通解是？54..xAnsyCe的特解。退出返回1,xeyyxxxxdyydxedx；满足初始条件,xxyye()(),xdxyde(1),ye解()0;xdxye1xeyyxx故方程的通解为xxyeC1.xCyexx亦即又(1)ye(1),eyeC0,C故欲求的特解为0xxye1.xyex或者例2-5求一阶线性微分方程亦即退出返回22,yxyx22()()dyydxdx；22,dyxydxxdx22222()()xxxedyeydxedx；解22()(),xxdyede22()0;xxdyee故方程的通解为22xxyeeC21.xyCe或者0|0,xy又0(0)1,yC即1,C故原方程欲求的特解为221xxyee21.xye或者的特解。满足初始条件22yxyx0|0xy例2-6求一阶线性微分方程2222()()xxxedyydeedx；*例2-7求一阶线性微分方程与退出返回(1)tancos,yyxx2cossincosxdyyxdxxdx；tancos,dyyxdxxdx2cos(cos)cosxdyydxxdx；解2cos(cos)cosxdyydxdxx,()0;cosydxx故方程的通解为cosyxCxcoscos.yxxCx即的通解。tan0yyxtancosyyxx(2)tan0,yyxcossin0xdyyxdx；tan0,dyyxdxcos(cos)0xdyydx；2cos(cos)0cosxdyydxx,()0;cosydx故方程的通解为cosyCxcos.yCx即退出返回()(),yPxyQx[()]();xadyydPtdtQxdx解()(),dypxydxQxdx()xaPtdte得()()().xuaaxPtdtPtdtayeeQuduC()()()(());xuaaxPtdtPtdtadyedeQudu()()()(())(),xxxaaaxPtdtPtdtPtdtaedyyedPtdteQxdxx的连续函数。()()yPxyQx()()[()].xuaaxPtdtPtdtayeeQuduC所得等式的两边同乘以参考课本P237公式(6)故方程的通解为可见()()(())0;xuaaxPtdtPtdtadyeeQudu**例2-8求一阶线性微分方程的通解，其中P，Q都是()()()()();xxxaaaPtdtPtdtPtdtedyydeeQxdx()()[()].pxdxpxdxyeeQxdxC()pxdx但应强调指出的是，其中的不定积分仅用以特指P(x)的某一积函数的某个原函数而非全体原函数。而非全体原函数。该公式在教材的P237的公式(6)中借不定积分的形式表述为()()yPxyQx的通解求算公式：**例2-8的求解结果实际上给出了一阶线性微分方程()()[()].xuaaxPtdtPtdtayeeQuduC类似地，不定积分()()pxdxeQxdx也仅用以特指被显然，使用变积分上限的函数表示某指定函数的原函数，较之上述采取将全体原函数声明混用于单个原函数的过于简单的做法要严谨。退出返回退出返回()()0,yxdyxydx()()0yxdyxydx22,xdyydxxydyxdxx的通解。;xdyydxydyxdx22222222()();xydxydxyxxy解222arctanln()yxyCx2221()();2yxddxyx222222()();1()yxydxydxxy故原方程的通解为22(2arctanln()0.ydxyx**例2-9求一阶线性微分方程用凑微分法解常微方程，除应纯熟地掌握凑微分的四则运算技巧、特别是商的运算法则之外，对已经选凑成形的微分间的相互关联性，尤其应保持住丰富的联想空间。何谓规律？不就是相互关联性吗？“想象力比知识更重要”，本例即为又一值得体味的佐例（请与教材P236之例4相比对）可见，退出返回1.分离变量法2.公式法已分离变量的方程。对可分离变量若一阶常微方程已被改写成关于通解表达式，把未知函数的系数和若一阶常微方程已被改写成等号两边各自分别是同一变量疑似为某全微分的方程，则这种方程就称为所求得的一阶任意线性微分方程的非齐次项的信息直接代入计算，而一举得出通解的解法称为公式法。这种奠基性的解法一旦与微分方程的具体构形特征挂上钩之后，凑微分法是微分方程求解的奠基性解法。还能衍生出许多其它的经典解法。的方程分离变量，各边再分头关于自身的变量求不定积分常能求出方程的解。这种解法称为分离变量法。某个变量为未知函数的一阶线性微分方程的规范形式()()MydyNxdx()()yPxyQx，则借用例2-8退出返回34,dyxdxy340,dyxydx*例3-1用分离变量法求微分方程340,yxy323xyxyxe340yxy34,dyxydx34,dyxdxy41ln||,yxC41||,xCye41,Cxyee4.xyCe（因y＝0显然是方程之解，故任意常（若y≠0）数C取0时通解就可将之囊括其内）的通解。解故*例3-2用公式法求一阶线性微分方程的通解。解323,xpxQxe22333[]xdxxdxxeexedxC[]pdxpdxyeeQdxC