一阶电路和二阶电路

第七章一阶电路和二阶电路7.1动态电路的方程及其初始条件7.2一阶电路的零输入响应7.3一阶电路的零状态响应7.4一阶电路的全响应7.5一阶电路的阶跃响应7.6一阶电路的冲激响应7.7二阶电路的时域分析7.1动态电路的方程及其初始条件由前面已知，电容、电感有记忆的元件，又是储能元件，它们的电压与电流的约束关系是通过导数或微分表达的，所以也是动态元件。1、含动态元件的电路称为动态电路根据KCL、KVL和元件VCR方程可以列出动态电路的微分方程。由一阶微分方程描述的电路，称为一阶电路。由二阶微分方程描述的电路，称为二阶电路。一般来说：由n阶微分方程描述的电路，称为n阶电路。例1列出如图所示电路的一阶微分方程。得到)()(d)(dSCCtututtuRC＝这是常系数非齐次一阶微分方程，图(a)是一阶电路。在上式中代入:ttuCtid)(d)(C)()()()()(CCRStutRitututu解：对于图(a)所示RC串联电路，可以写出以下方程对于图(b)所示RL并联电路，可以写出以下方程)()()()()(LLLRStitGutititi在上式中代入：ttiLtud)(d)(LL得到)()(d)(dSLLtitittiGL＝这是常系数非齐次一阶微分方程。图(b)是一阶电路。当电路结构或元件参数发生变化时（换路），动态电路会从一个稳态转变到另一个稳态，稳态间的过度过程称为暂态。假设换路都是在t=0时刻进行，把换路前一瞬间记为t=0-，换路后一瞬间记为t=0+。什么是电路暂态呢稳态:电路中的激励及响应均是恒定量或按某种周期规律变化。U暂态暂态（过渡）过程:旧稳态新稳态0uCUuCtCu电路暂态：RkU+_CCuit=0开关K合下电路处于稳态RU+_UuCC++__稳态稳态(1)电容电压的连续性tttiCtuiCtuC0CCC0d)(1)(d)(1)(令t0=0-，t=0+有：00CCCd)(1)0()0(iCuu有界时，当)(iC)0()0(CCuu(2)电感电流的连续性tttuLtiuLtiL0LLL0d)(1)(d)(1)(有界时当)(uL)0()0(LLii令t0=0-，t=0+有：00LLLd)(1)0()0(uLii换路定律2、动态电路的初始条件求解n阶微分方程时，需要知道n个初始条件。利用电感电流和电容电压的连续性，可以求出动态电路在电路结构和元件参数变化(换路)后，电路变量（电压、电流）的初始值。由于电感中电流恒定时，电感电压等于零，电感相当于短路；由于电容上电压恒定时，电容电流等于零，电容相当于开路。我们用短路代替电感以及用开路代替电容后，得到一个直流电阻电路，由此电路可以求出t=0-的各电压电流。在开关转换后的一瞬间t=0+，根据电感电流和电容电压不能跃变的连续性质，我们可以得到此时刻的电感电流iL(0+)=iL(0-)和电容电压uC(0+)=uC(0-)用数值为iL(0+)的电流源代替电感以及用数值为uC(0+)的电压源代替电容后，得到一个直流电阻电路，由此电路可以求出t=0+时刻各电压电流值，根据这些数值可以得到求解微分方程所需的初始条件。下面举例加以说明。例2图(a)所示电路的开关闭合已久，求开关在t=0断开时电容电压和电感电流的初始值uC(0+)和iL(0+)。解：由于开关打开前各电压电流均为恒定值，电感相当于短路；电容相当于开路，如图(b)所示。A164V10)0(Li4V=V2V10646)0(Cu当开关断开时，电感电流不能跃变；电容电压不能跃变。V4)0()0(A1)0()0(CCLLuuii)0()0()0()0(CCLLuuii初始条件是电路中所求解的变量在t=0+时的值。2、利用换路定律求得iL(0+)或uC(0+)3、通过已知的iL(0+)和uC(0+)画出0+等效电路，求出电路中其它的电流、电压，称之为0+等效电路法。0+等效电路：把t=0+时的电容电压、电感电流分别用独立电压源uC(0+)和独立电流源iL(0+)等效替代，原电路中独立源取t=0+时的值，其它元件照搬。小结：1、在t=0-时的等效电路中求得iL(0-)或uC(0-)7.2一阶电路的零输入响应零输入响应：外施激励(电源)为零，由动态元件初始储能引起的响应。1、RC电路的零输入响应(C对R放电)iK(t=0)+–uRC+–uCRuC(0-)=U0i=-CdtdCudtdCuuC+RC=0uC(t)=Aept特征方程RCp+1=0RC1ptRCcAeu10ptptRCApeAe电路微分方程：其解的形式为：初始值uC(0+)=uC(0-)=U0A=U0令=RC,具有时间的量纲,称为时间常数量纲：欧法=欧库/伏=欧安秒/伏=秒0010UAeUttRCC）（RCtceUu0即：dtduCiCCRCteRU0I0tic0U0tuc0)0(t)0(ttRCcAeu1越大，过渡过程时间越长（放电的速度越慢）。CRC不断释放能量被R吸收,直到全部消耗完毕.t0235U00.368U00.135U00.05U00.007U0tceUu0能量关系：202000221)(CURdteRURdtiWRCtR理论上过渡过程需很长时间才能到达稳态，工程上一般认为就可认为电路已进入稳态。)5~3(t2、RL电路的零输入响应iK(t=0)USL+–uLR2R1iL(0+)=iL(0-)=uL=Ldtdi其解的形式为：i(t)=Aept特征方程Lp+R=0L+Ri=0dtdii(0+)=i(0-)=I0i(0+)=A=I0021IRRUS)0(t)0(t电路微分方程：LRptLRAeti）（tLReIti0）（即：uL=Ldtdi量纲：L/R=亨/欧=韦/安*欧=韦/伏=伏*秒/伏=秒令=L/R,称为RL电路的时间常数一般认为，t=3-5过渡过程结束。)0(ttLReIi0)0(tI0tiL0-I0RuLtRLteRI/0teI0t=0时,打开开关K,iL(0+)=iL(0-)=1A=I0uV=-RViLuV(0+)=-10000V造成V击穿。例3iLK(t=0)+–uVL=4HR=10VRV10k10V现象：电压表烧坏tLeIi0电压表量程：50VsVRRL4104100004V(t0)te250010000零状态响应：动态元件初始储能为零，电路在外施激励（电源）作用下，产生的响应。iK(t=0)US+–uRC+–uCRdtdCuRC+uC=US特解：uC'=US1、RC电路的零状态响应电路微分方程：uC(0-)=07.3一阶电路的零状态响应非齐次线性常微分方程解答形式为：'cccuuu特解通解tRC1=US+AeuC(0+)=A+US=0A=-USuC=AetRC1对应齐次方程通解uC“自由分量(暂态分量)dtdCuRC+uC=0全解uC=uC+uC')0(V)1(teUeUUuRCtSRCtSSctuc-UsuC'uCUsuC(0-)=0强制分量(稳态)自由分量(暂态)tRC1i=CdtdCueRUSAitRUS0能量关系：RC电源提供能量一部分消耗在电阻上，一部分储存在电容中，且WC=WR充电效率为50%)0(V)1(teUuRCtScRdt)eRU(RdtiW2RCt00S2R0222RCtSeRURCc2SW2CUiK(t=0)US+–uRC+–uCRuC(0-)=U01.全响应：非零初始状态的电路受到激励时产生的响应7.4一阶电路的全响应全响应=零输入响应+零状态响应dtdCuRC+uC=US电路微分方程：tRC1=US+Ae全解：uC=uC+uC'由初始条件有：uC(0+)=A+US=U0(t0)强制（稳态）分量自由（暂态）分量tSSceUUUu)(0也可表示为：2.三要素法分析一阶电路iK(t=0)US+–uRC+–uCRuC(0-)=U0解为:更一般形式为tcccceuuuu)]()0([)(零状态响应零输入响应)0(0teUeUUuttSScteffftf)]()0([)()(tSSceUUUu)(0时间常数初始值稳态值三要素)0()(ffRL电路：=L/RRC电路：=RCteffftf)]()0([)()(是在经典法的基础上总结出来的一种快捷的方法。只适用于一阶电路。分析方法三要素法经典法由列解微分方程，求未知量的时间函数式。一阶电路暂态过程的分析方法:例41、求起始值:)0(fVuC0)0(已知各电路参数，t=0时开关闭合；换路前求开关闭合后、、、的变化规律。1i2iCu1RuVuuCC0)0()0(Ai0)0(1sRUu)0(112)0(RUisCUs+_t=0R1R2uR1i1i2uCt=0+时的电路:CUs+_R1uR1R2i2i1uC2、求稳态值：)(f激励为直流,令C开路。Ai0)(2RRUis211)(例4VuC0)0(已知各电路参数，t=0时开关闭合；换路前求开关闭合后、、、的变化规律。1i2iCu1RuCUs+_t=0R1R2uR1i1i2uCtCUs+_R1uR1R2i2i1uCVRRRUuRRRUuscsR2122111)()(3、求时间常数:21//'RRRCR'2R1RVuC0)0(已知各电路参数，t=0时开关闭合；换路前求开关闭合后、、、的变化规律。1i2iCu1RuCUs+_t=0R1R2uR1i1i2uC4、求开关闭合后、、、的变化规律。Cu1Ru1i2i将各量的三要素代入一般表达式：teffftf)()0()()(2iCu)1()(212eRRRUtutsC1RUs212RRRUsCUs+_t=0R1R2uR1i1i2uC4、求开关闭合后、、、的变化规律。Cu1Ru1i2i211RRRUs1Rut2Ri21RRUs2Ru212RRRUstUsuR1、iR2、uR2的波形图:CUs+_t=0R1R2uR1i1i2uC例5电路如图所示，开关合在1时已达稳定状态。t=0时，开关由1合向2，求t0时的电压uL。解：AAiiLL42800）（）（换路后，应用戴维南定理得出其等效电路，其中1012eqocRVu，sRLAieqL01.02.1）（例5电路如图所示，开关合在1时已达稳定状态。t=0时，开关由1合向2，求t0时的电压uL。VedtdiLuAeeitLLttL10010001.01522.52.1]2.142.1[）（）（7.5一阶电路的阶跃响应1、单位阶跃函数1）定义0)(10)(0)(tttK+–uC1VRC0)(0)(0)(tEttE2）延迟单位阶跃函数)(1)(0)(000ttttttt(t-t0)t0t(t)10EE延迟单位阶跃函数可以起始任意函数f(t)t0tf(t)(t-t0)t0t)t(t)t(f)t(t)tt()t(f00001t0tf(t)t0t-(t-t0)(t))()()(0ttttf),0(0)0(1)(00ttttttf)5.0(10)(10ttuS求图示电路中电流iC(t）例610k10kus+-ic100FuC(0－)=00.510t(s)us(V)05k0.5us+-ic100FuC(0－)=0等效)5.0(10)(10ttuS应用叠加定理)(5t5k+-ic