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定义1),0(lim)2(CC如果,0lim)1(如果,1时当C是比就说);(o记作是与就说是与则称.~记作是同一过程中的两个无穷小,高阶的无穷小;同阶无穷小;等价无穷小,,设.0且Cklim)3(如果的是关于就说),0,0(kCk阶无穷小.常用等价无穷小,~sinxx,~tanxx,~arctanxx,~)1ln(xx,~1xex.21~cos12xx,~arcsinxx时当0x)0(~1)1(xx,ln~1axax间断点分为两类:第二类间断点:第一类间断点:)0(0xf及)0(0xf均存在,及中至少一个不存在.)0(0xf)0(0xf若称x0为可去间断点.若称x0为跳跃间断点.,)0(0xf定义2在闭区间上的连续函数最大值和最小值定理一定有最大值和最小值.有界性定理],,[)(baCxf设f(x)在[a,b]上有界.则零点定理],,[)(baCxf设),,(ba使得.0)(f且f(a),f(b)异号,则至少存在一点介值定理],,[)(baCxf设),()(bfaf,)(,)(BbfAaf且),,(ba则至少存在一点使得.)(CfC为介于A,B之间的任一数,xxfxxfxyxfxx)()(limlim)(00000.)()(lim)(0000hxfhxfxfh其它形式.)()(lim)(0000xxxfxfxfxx定义3导数的定义xxxxxxxCtansec)(secsec)(tancos)(sin0)(2基本初等函数的导数公式xxxxxxxxxcotcsc)(csccsc)(cotsin)(cos)(21axxaaaaxxln1)(logln)(xxeexx1)(ln)(2211)(arctan11)(arcsinxxxx2211)cot(11)(arccosxxxxarc)()()3(nx)()1ln()4(nx)()(sin)2(nx)()(cosnx)()()1(nxa;)()(xnxee)()11(nx常用高阶导数公式;)(lnnxaa);2sin(nx);2cos(nx;)1()1(nxn,)1()!1()1(1nnxn.)1(!)1(1nnxn)()11(nx.)1(!1nxn常用函数的麦克劳林公式)()!12()1(!5!3sin221253nnnxonxxxxx)()!2()1(!6!4!21cos122642nnnxonxxxxx)()1(32)1ln(132nnnxonxxxxx)(1112nnxoxxxx)0(xxe)(!!212nnxonxxx)(!)1()1(!2)1(1)1(2nnxoxnnxxx)0(x定义4.xAdy能表示成如果)()(00xfxxfy)0()(xxoxAy,0有关的常数而仅与是不依赖其中xxA,)(0可微在点那么称xxfy为并称xA,)(0的微分相应于在点xxxfy记作,dy即微分的定义定理.)(,)()(000Axfxxfyxxfy且处可导在点可微在点.xdx规定:.)(xxfdy,)(处的微分在任意点xxfy称为,的微分函数,dy记作即dxxfdy)(则)(xfdxdy.微商导数也叫基本初等函数的微分公式xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxCdcotcsc)(cscddtansec)(secddcsc)(cotddsec)(tanddsin)(cosddcos)(sindd)(d0)(d221xxxxxxxxxxxxxxxxaxxxxaaaaxxxxd11)cotarc(dd11)(arctandd11)(arccosdd11)(arcsindd1)(lnddln1)(logdde)e(ddln)(d2222基本积分表kCkxkdx()1(是常数);;ln)3(Cxxdxdxx211)4(;arctanCxdxx211)5(;arcsinCxxdxcos)6(;sinCxxdxsin)7(;cosCxxdxxtansec)10(;secCxxdxxcotcsc)11(;cscCxdxex;Cexdxax)12(;lnCaaxxdxsh)13(;Cxchxdxch)14(.Cxshxdx2sec)8(;tanCxxdx2csc)9(;cotCx基本积分表Cxxdxcoslntan)16(Cxxdxsinlncot)17(;tanseclnsec)18(Cxxxdx;cotcsclncsc)19(Cxxxdx;arctan11)20(22Caxadxxa;arcsin1)21(22CaxdxxaCxseclnCxcscln;ln211)23(22Cxaxaadxxa.ln1)25(2222Caxxdxax;ln211)22(22Caxaxadxax.)ln(1)24(2222Caxxdxax,0)(xfbaAxxfd)(曲边梯形的面积,0)(xfbaAxxfd)(曲边梯形的面积的负值baxxfd)(2A1A3A定积分的几何意义Oxyab)(xf1A2A3A1.设)0(],[)(aaaCxf,①若)(xf为偶函数,则aaadxxfdxxf0)(2)(;②若)(xf为奇函数,则aadxxf0)(.2200cossinxdxxdxInnnnnnnnnnnnn,3254231,22143231为正偶数为大于1的奇数2.;)()()1(0TTaadxxfdxxf3.为周期,是连续的周期函数,设Txf)().()()()2(0NndxxfndxxfTnTaa则通解]de)([ed)(d)(CxxQyxxPxxP.0)(yxPdxdy通解(1)一阶线性齐次).()(为任意常数CCeydxxP).()(xQyxPdxdy(2)一阶线性非齐次定理1)()(2211xyCxyCy的特解,那末是(1)的通解.如果y1(x)与y2(x)是(1)的两个线性无关)1(0)()(yxQyxPy(3)二阶线性方程的解的结构定理2yxQyxPy)()(的一个特解,yYy那么)(xf(2)Y是与(2)对应的齐次方程(1)的通解,(2)的通解.是(2)y设定理4若)(*1xy与)(*2xy分别是方程,)()()(1xfyxQyxPy)()()(2xfyxQyxPy的特解,则)()(*2*1xyxy是方程)()()()(21xfxfyxQyxPy的特解.解的叠加原理定理3)()(21xyxyy那末是(1)的一个特解.如果y1(x)与y2(x)是(2)的两个特解,二阶常系数齐次方程0qyypy02qprr特征方程23特征根的情况通解的表达式实根21rrxrxrCCy21ee21实根21rrxrxCCy2e)(21复根)sincos(e21xCxCyxir2,1)(xPeqyypymx)(*1110mmmmxkaxaxaxaexy,02;01;00222的重根是的单根是的根不是其中,qprrqprrqprrk定理5有如下形式的特解.),,1,0(是待定常数miai二阶常系数非齐次方程)(xfqyypy]sin)(cos)([xxPxxPeqyypynlx)sin)(cos)((*)2()1(xxRxxRexymmxk,01;0022的单根是的根不是其中,qprriqprrik定理6有如下形式的特解}.,max{,)2,1)(()(nlmmixRim次多项式是罗尔(Rolle)定理如果)(xf在],[ba上连续,在),(ba内可导,且)()(bfaf,那么),(ba,使得0)('f拉格朗日中值定理如果f(x)在],[ba上连续,在),(ba内可导,那么),(ba,使等式))(()()('abfafbf成立.柯西(Cauchy)中值定理如果)(xf及)(xg满足:(1)在],[ba上连续,(2)在),(ba内可导,(3)),(bax,0)(xg,那么),(ba,使等式)()()()()()(''gfagbgafbf成立.曲率的计算公式.)1(232yyK.d12xysba弧长的计算公式.d)()(22ttts.d)()(22rrs直角坐标参数方程极坐标
本文标题:大一微积分上册的定义、公式、定理
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