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学号：2009310753哈尔滨师范大学学士学位论文题目向量及其应用学生程雪指导教师赵健巍教授年级2009级专业数学与应用数学系别数学系学院数学科学学院哈尔滨师范大学学士学位论文开题报告论文题目向量及其应用学生姓名程雪指导教师赵健巍教授年级2009级专业数学与应用数学2013年3月课题来源：题目自拟课题研究的目的和意义：1、目的：本文展示了向量的强大功能并用向量把代数和几何结合在一起，从而使读者更进一步理解向量，在解题中达到事半功倍的效果，使学生轻松解题。2、意义：本文可以使读者认识到向量可以解决很多几何问题，帮助立体感图形感不强的同学很容易解决问题国内外同类课题研究现状及发展趋势：国内外对高中数学解题的思想及各种方法正不断研究加深使向量在高中课本中占有越来越重要的地位！在未来各种高中数学解题方法中向量的方法会发展的更广，更深刻和更方便应用。课题研究的主要内容和方法，研究过程中的主要问题和解决办法：通过此课题的研究，让大家理解向量能很好的把代数和集合的知识联系到一起。运用向量的方法可以解决距离问题，成角问题，还有证明平行和垂直。通过代数和集合的联系关系从而更好的解题。课题研究起止时间和进度安排：2012年11月——2012年12月：选定研究课题，搜集相关资料。2012年12月——2013年01月：阅读文献阶段。2013年01月——2013年02月：与导师讨论阶段。2013年02月——2013年03月：修改论文，定稿阶段。2013年03月——2013年04月：论文完成。课题研究所需主要设备、仪器及药品：计算机书籍外出调研主要单位，访问学者姓名：指导教师审查意见：指导教师（签字）年月教研室（研究室）评审意见：____________教研室（研究室）主任（签字）年月院（系）审查意见：____________院（系）主任（签字）年月学士学位论文题目向量及其应用学生程雪指导教师赵健巍教授年级2009级专业数学与应用数学系别数学系学院数学科学学院哈尔滨师范大学2013年03月向量及其应用程雪摘要：向量可以很好的把代数和集合的知识联系到一起。运用向量的方法可以解决距离问题，成交问题，还有证明平行和垂直。距离主要包括：两点之间的距离，点到直线的距离，点到平面的距离，平行直线之间的距离，异面之间的距离，面与面之间的距离。关键词：成角距离夹角一、向量介绍定义：数学中，既有大小又有方向的量叫做向量来源：向量（或矢量），最初被应用于物理学，很多物理量如力、速度、位移以电场强度、磁感应强度等都是向量。大约公元前350年前，古希腊著名学者亚里士多德就知道了力可以表示成向量，两个力的组合作用可用著名的平行四边形法则到。“向量”一词来自力学、解析几何中的有相线段。最先使用有相线段表示向量的是英国大科学家牛顿。从数学发展史来看，历史上很长一段时间，空间的向量巨额够并未被数学家们所认识，知道19世纪末20世纪初，人们才把空间的性质与向量运算联系起来，使向量成为具有一套优良运算通性的数学体系。向量能够进入数学并得到发展，首先应从复数的几何表示谈起，18世末期，挪威测量学家威塞尔首次利用坐标平面上的点来表示复数a＋bi，并利用具有几何意义的复数运算来定义向量的运算。把坐标平面上的点用向量表示出来，并把向量的几何表示用于研究几何问题与三角问题。人们逐步接受了复数，也学会了利用复数来表示和研究平面中的向量，向量就这样平静地进入了数学。但复数的利用是受限制的，因为它仅能用于表示平面，若有不在同一平面上的力作用于同一物体，则需要寻找所谓三维“复数”以及相应的运算体系。19世纪中期，英国数学家哈米尔顿发明了四元数（包括数量部分和向量部分），以代表空间的向量。他的工作为向量代数和向量分析的建立奠定了基础。随后，电磁理论的发现者，英国的数学物理学家麦克斯韦尔把四元数的数量部分和向量部分分开处理，从而创造了大量的分析。三维向量分析的开创，以同四元数的正式分裂，是英国的居伯斯和海维赛德于19世纪80年代各自独立完成的，他们提出，一个向量不过是四元数的向量部分，但不独立于任何四元数，他们引进了两种类型的乘法，即数量积和向量积。并把向量代数推广到变向量的向量微积分。从此，向量的方法被引进到分析和解析几何中来，并逐步完善，成为了一套优良的数学工具。表示：1、代数表示：一般印刷用黑体小写字母、、……或a、b、c…等来表示，用a、b、c…等字母表示时应在a、b、c上加一箭头表示。2、几何表示：向量可以用有向线段来表示。有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向。（若规定线段AB的端点A为起点，B为终点，则线段就具有了从起点A到终点B的方向和长度。这种具有方向和长度的线段叫做有向线段。3、坐标表示：1)在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为一组基底。a为平面直角坐标系内的任意向量，以坐标原点O为起点作向量OP=a。由平面向量基本定理知，有且只有一对实数（x，y）。是得a=xi+yj，因此把实数对（x，y）叫做向量a的坐标，记作a=（x，y）。这就是向量a的坐标表示。其中（x，y）就是点P的坐标。向量OP称为点P的位置向量。2）在立体三维坐标系中，分别取与x轴、y轴，z轴方向相同的3个单位向量i，j，k作为一组基底。若a为该坐标系内的任意向量，以坐标原点O为起点向量OP=a。有空间基本定理知，有且只有一组实数（x，y，z），使得a=向量OP=xi+yj+zk，因此把实数对（x，y，k）叫做向量a的坐标，记作a=（x，y，z）。这就是向量a的坐标表示。其中（x，y，k），也就是点P的坐标。向量OP称为点P的位置向量。向量简介：在数学中，通常用点表示位置，用射线表示方向。在平面内，从任一点出发的所有射线，可以分别用来表示平面内的各个方向。向量的表示常用一条有向线段来表示，有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向。向量的有向线段的起点和重点字母表示。向量的大小，也就是向量的长度（或称模），记作a长度为0的向量叫做零向量，记作。长度等于1个单位长度的向量，叫做单位向量。平行向量与相等向量方向相同或相反的非零向量叫做平行向量。向量a、b、c平行，记作a∥b∥c。零向量长度为零，是起点与重点重合的向量，其方向不确定，数学上规定0与任一向量平行。长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。向量a与b相等，记作ab。零向量与零向量相等。任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关。向量的模和数量向量的大小，也就是向量的长度（或称模）。注：1、向量的模是非负实数，是可以比较大小的。2、因为方向不能比较大小，所以向量也就不能比较大小。对于向量来说“大于”和“小于”的概念是没有意义的。例如，“b＞a”是没有意义的。单位向量：长度为单位1的向量，叫做单位向量。与向量a同向且长度为单位1的向量，叫做a方向上的单位向量。零向量：长度为0的向量，叫做零向量，记作0.零向量的始点和终点重合，所以零向量没有确定的方向，或说零向量的方向是任意的。相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做西欧昂等向量。向量a与b相等，记作a=b。规定：所有的零向量都相等。当用有向线段表示向量时，起点可以任意选取。任意两个相等的非零向量，都可用相同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关。同向且等长的有向线段都表示同一向量。自由向量：始点不固定的向量，它可以任意的平行移动，而且移动后的向量仍然然代表原来的向量。在自由向量的意义下，相等的向量都看作是同一个向量。位置向量对于坐标平面内的任意一点P，我们把向量OP叫做点P的位置向量，记作：向量P。方向向量：直线l上的向量a以及与向量a共线的向量叫做直线l上的方向向量相反向量：与a长度相等、方向相反的向量叫做a的相反向量，记作-a。有-（-a）=a；零向量的相反向量仍是零向量。平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行（或共线）向量。向量a、b平行（共线），记作a∥b。零向量长度为零，是起点与终点重合的向量，其方向不确定，我们规定：零向量与任一向量平行，平行于同一直线的一组向量时共线向量。若a=（x，y）b=(m，n)。a//b=a·b=xn-ym=0共面向量：平行于同一平面的三个（或多于三个）向量叫做共面向量。空间中的向量有且只有以下两种位置关系：（1）共面；（2）不共面。只有三个或三个以上向量才谈共面不共面。法向量直线l⊥a，取直线l的方向向量a，则向量a叫做平面的法向量。向量的运算设a=（x，y），b=(m，n)。1、向量的加法向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。向量OB加向量BC等于向量OC。a＋b=(x＋m，y＋n)。a＋0=0+a=a向量加法的运算律：交换律：a+b=b+a；结合律：a+b+c=a+（b+c）。2、向量的减法如果a、b是互为相反的向量，那么a=﹣b，b=﹣a，a+b=0。0的反向量为0。向量AB减向量AC等于向量CB。即“共同起点，指向被减”a=（x，y），b=(m，n),则a-b=(x-m，y-n)。3、数乘向量实数λ和向量a的乘积是一个向量，记作a，且a=·a。当＞0时，a与a同方向；当＜0时，a与a反方向；当λ=0时，λa=0，方向任意。当a=0时，对于任意实数，都有a=0。注：按定义知，如果a=0，那么=0或a=0。实数叫做向量a的系数，乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩。当＞1时，表示向量a的有向线段在原方向（＞0）或反方向（＜0﹚上伸长为原来的倍；当＜1时，表示向量a的有向线段在原方向（＞0）或反向（＜0﹚上缩短原来的倍。数与向量的乘法满足下面的运算律结合律：（a·b=（a·b﹚=（a·b﹚。向量对于数的分配律（第一分配率）：（+）a=a+a。数对于向量的分配律（第二分配律）：（a+b﹚=a+b。数乘向量的消去律：①如果实数≠0且a=b，那么a=b。②如果a≠0且a=a，那么=4、向量的数量积定义：一直两个非零向量a，b。作OA=a，OB=b，则角BOA称向量a和向量b的夹角，记作﹤a，b﹥并规定0≤﹤a，b﹥≤。定义：两个向量的数积（内积、点积）是一个数量，记作a·b，可以表示为a·b=abAOBcos向量的数量积的坐标表示：a·b=xm+yn。向量的数量积的运算律a·b=b·a（交换律）；（λa﹚·b=λ（a·b﹚（关于数乘法的结合律﹚；（a+b﹚·c=a·b+b·c﹙分配律﹚；向量的数量积的性质a·a=a的平方。a⊥ba·b=0。b·a≤b·a。﹙该公式证明如下。b·a=b·a·cos，因为0cos11，所以b·ab·a﹚向量的数量积与实数运算的主要不同点1.向量的数量积不满足结合律，即：﹙a·b﹚·c≠a·﹙b·c﹚；向量的数量积不满足消去律，即：由a·b=a·c﹙a补≠0﹚，不可以推出b=c。2.b·a≠a·b3.由a=b，推不出a=b或a=-b。5、向量的共线和垂直共线的条件：若b≠0，则a∥b的充要条件是存在唯一实数，使a=b。若设a=（x，y），b=(m，n)。则有，xn-ym=0。零向量平行于任何向量。向量垂直的充要条件：a⊥b的充要条件是a·b=0，即xn+ym=0。零向量垂直于任何向量。平面向量的分解定理：如果i，j是同一平面内的两个不平行向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数1，2使a=1i+2j我们把不平行向量i，j叫做这一平面内所有向