层次分析法的建模

MathematicalContestinModeling第5讲:层次分析法(AHP)建模新余高等专科学校数学建模教练组(设计制作:syllen2005.8)1层次分析法基本简介层次分析法的基本步骤1.建立层次结构模型2.构造成对比较阵(判断矩阵)3.计算权向量并做一致性检验4.计算组合权向量并做组合一致性检验不完全层次结构模型层次分析法(AHP:AnalyticHierarchyProcess)是美国著名的运筹学家T.L.Saaty等人于20世纪70年代提出的一种简便,灵活而又实用的多准则决策方法.主要用于确定综合评价的决策问题.具备矩阵演算知识即可理解和应用.层次分析法简介一.层次分析法简介层次分析法应用领域应用遍及经济计划和管理,能源政策和分配,行为科学,军事指挥,运输,农业,教育,人才,医疗,环境等领域.MathematicalContestinModeling层次分析法新余高等专科学校数学建模教练组2005-082MathematicalContestinModeling层次分析法新余高等专科学校数学建模教练组2005-083二.层次分析法的基本步骤一般的思维过程首先,确定这些准则在你心目中各占的比重多大;最后,将这两个层次的比较判断进行综合,作出选择.其次,就每一准则将三个地点进行对比;例1:(假日旅游)有P1,P2,P3三个旅游地供选择,假如选择的标准和依据有:景色,费用,饮食,居住和旅途.层次分析法的步骤MathematicalContestinModeling层次分析法新余高等专科学校数学建模教练组2005-084建立层次结构模型1景色居住旅途饮食费用准则(x)层为实现总目标而采取的各种措施和方案P1P2P3方案(y)层用于解决问题的各种措施和方案选择旅游景点目标(Z)层解决问题的目的(也叫总目标)MathematicalContestinModeling层次分析法新余高等专科学校数学建模教练组2005-085构造成对比较矩阵(判断矩阵)2要比较某一层n个因素x1,x2,…,xn对上一层一个因素Z的影响,可从x1,x2,…,xn中任取xi与xj,比较他们对于Z的贡献(或重要性)大小.按照如下”1~9比例尺度”给xi/xj赋值.尺度xij1xi与xj的影响相同含义31,1/2,…,1/95792,4,6,8xi与xj的影响稍强xi与xj的影响强xi与xj的影响明显地强xi与xj的影响绝对地强xi与xj的影响之比在上述两个相邻等级之间xi与xj的影响之比为上面aij的互反数MathematicalContestinModeling层次分析法新余高等专科学校数学建模教练组2005-086某人用上述方法得到了”假日旅游”中景色,费用，居住,饮食,旅途5个因素对于目标Z的比较矩阵如下:得到:A=(xij),xij0,xji=1/xij判断矩阵其中,x12=1/2表示景色x1与费用x2对选择旅游地这个目标Z的重要性之比为1:2.即日认为费用更重要.其他类同.计算权向量并做一致性检验3什么是权重(权系数)?nnxwxwxwz2211在决策问题中，通常要把变量Z表成变量x1,x2,…,xn的线性组合:注意,x1,x2,…,xn中有的不是基数变量，而有可能是序数变量如舒适程度,积极性之类.nniiiww其中.则叫各因素对于目标Z的权重,叫权向量.Tn),...,,(21MathematicalContestinModeling层次分析法新余高等专科学校数学建模教练组2005-087小石块W1小石块Wn小石块W2…设想:把一块单位重量的石头砸成n块小石块做成对比较时得到于是,所谓的权重即指各小石块在大石头中所占的比重,即各wiMathematicalContestinModeling层次分析法新余高等专科学校数学建模教练组2005-088一般地,如果一个正互反矩阵A满足aij.ajk=aik,i,j,k=1,2,…,n则称A为一致性矩阵，简称一致阵.一致阵的性质:1.A的秩为1,A的唯一非零特征根为n;2.A的任一列向量都是对应于特征根n的特征向量.若A为一致阵,则对应于特征根n的,归一化的特征向量(即分量之和为1)即表示各因素对上一层因素Z的权权向量,各分量即为各因素对于Z的权重!由对于一般的判断矩阵(即A不一定一致)如何计算各因素xi对上一层因素Z的权重(权系数)?niijijijaaw1/~a.将A的每一列向量归一化得ijw~njijiww1~~b.对按行求和得iw~Tnniiii),...,,(,~/~211c.将归一化,即为近似特征根(权向量)niiiwAwn1)(1d.计算,作为最大特征根的近似值例:14/16/1412/1621A091.0077.01.0364.0308.03.0545.0615.06.0268.0972.0760.1w089.0324.0587.0列向量归一化按行求和归一化268.0974.0769.1Aw009.3)089.0268.0324.0974.0587.0769.1(31MathematicalContestinModeling层次分析法新余高等专科学校数学建模教练组2005-089010.3,)090.0,322.0,588.0(Tw精确值为1nnCI判断矩阵的一致性检验判断矩阵通常是不一致的,但是为了能用它的对应于特征根的的特征向量作为被比较因素的权向量,其不一致程度应在容许的范围内.如何确定这个范围?1一致性指标CI=0时A一致;CI越大,A的不一致性程度越严重!RICICR3一致性比率(用于确定A的不一致性的容许范围)n1234567891011RI000.580.901.121.241.321.411.451.491.512随机一致性指标RI当CR0.1时,A的不一致性程度在容许范围内,此时可用A的特征向量作为权向量!MathematicalContestinModeling层次分析法新余高等专科学校数学建模教练组2005-0810),...,,()2(5)2(2)2(1)2(在”旅游问题”中已经得到了第2层(准则层)对于第1层(目标层)的权向量,记为Tw)110.0,099.0,055.0,475.0,263.0(即用同样的方法构造第3层(方案层)对于第2层的每一个准则的成对比较矩阵,不妨设为:12/15/1212/15211B1383/1138/13/112B13/13/13113113B1444/1114/1115B114/1113/14313BMathematicalContestinModeling层次分析法新余高等专科学校数学建模教练组2005-0811计算权组合向量并做一致性检验4计算组合权向量k,最大特征根,以及一致性指标CIk如下表:)3(kw根据前面计算的方法计算各所对应的权向量kB010.3,)090.0,322.0,588.0(Tw010.3,)090.0,322.0,588.0(TwkB123450.5950.0820.4290.6330.1663.0053.00233.00930.0030.00100.0050)3(kwkkCIk0.2770.2360.4290.1930.1660.1290.6820.1420.1750.668由于n=3时,RI=0.58,因此由CR=CI/RI,知A以及各Bk均通过一致性检验!注意:若以上有没通过一致性检验者,则必须在返回重新构造判断矩阵(叫一致性改进)!MathematicalContestinModeling层次分析法新余高等专科学校数学建模教练组2005-0812组合权向量:由各准则对目标的权向量和各方案对每一准则的权向量计算各方案对目标的权向量,该向量就叫组合权向量.选择旅游地景色P1P2P3费用P1P2P3居住P1P2P3饮食P1P2P3旅途P1P2P30.2630.4750.0550.0990.1100.5950.2770.1290.0820.2630.6820.4290.4290.1420.6330.1930.1750.1660.1660.668W(2)W1(3)W2(3)W3(3)W4(3)W5(3)方案P1在目标中的组合权重应为相应项的两两乘积之和,即:300.0110.0166.0099.0633.0055.0429.0475.0082.0263.0595.0MathematicalContestinModeling层次分析法新余高等专科学校数学建模教练组2005-0813Tn),...,,()2()2(2)2(1)2(nk),...,,()3()3(2)3(1)3(同理可得方案P2,P3在目标中的组合权重分别为0.264和0.456于是得到方案层对于目标层的权向量为:w(3)=(0.300,0.264,0.456)T说明应以P3作为第一选择地点由上面的计算可得一般的计算步骤如下:对于3个层次的决策问题,若第一层只有一个因素,第2,3层分别有n,m个因素,记第2层对第1层与第3层对第2层的权向量分别为:],...,,[)3()3(2)3(1)3(n)3(kw以为列向量构成矩阵)2()3()3(则第3层对第1层的组合权向量为:MathematicalContestinModeling层次分析法新余高等专科学校数学建模教练组2005-0811)2()3()1()()(sk)1()()(更一般地，若共有s层,则第k层对第1层(设只有一个因素)的组合权向量满足:其中,是以第k层对第k-1层的权向量为列向量组成的矩阵.于是最下层(第s层)对第最上层(目标层)的组合权向量为:MathematicalContestinModeling层次分析法新余高等专科学校数学建模教练组2005-0815spRICICRppp,,4,3,)()()(组合一致性检验进行组合一致性检验,以确定组合权向量是否可以作为最终的决策依据.)1()()(1)()1()()(1)(],[],,[pPnPPpPnPPwRIRIRIwCICICIspPCRCR2)(*)()(1,,PnPCICI组合一致性检验可逐层进行.若第p层的一致性指标为,(n)()(1,,PnPRIRI是第n-1层因素的数目),随机一致性指标为,定义则第p层的组合一致性比率为1.0)(1PCR第p层通过组合一致性检验的条件为定义最下层(第s层)对第1层的组合一致性比率为对于重大项目,仅当CR(*)适当地小时,才认为整个层次的比较判断通过一致性检验.MathematicalContestinModeling层次分析法新余高等专科学校数学建模教练组2005-0816旅游问题中:CI(3)=0.00176,RI(3)=0.58,CR(3)=0.003已有CR(2)=0.016于是CR*=0.019通过一致性检验!MathematicalContestinModeling新余高等专科学校数学建模教练组2005-08例2.干部选拔有三个干部候选人Y1,Y2,Y3,选拔的标准有5个:品德,才能,资力,年龄,群众关系.如何选择三人之一?MathematicalContestinModeling层次分析法新余高等专科学校数学建模教练组2005-0817选拔干部品德资力群众关系年龄才能Y1Y2Y3科技成果评价效益水平规模直接经济效益间接经济效益学术创新学识水平社会效益技术水平技术创新